Diskrēts To sauc par nejaušu mainīgo, kas ar noteiktām varbūtībām var iegūt atsevišķas, izolētas vērtības.
1. PIEMĒRS. Reižu skaits, kad ģerbonis parādās trīs monētu metienos. Iespējamās vērtības: 0, 1, 2, 3, to varbūtības ir attiecīgi vienādas:
P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .
2. PIEMĒRS. Neveiksmīgo elementu skaits ierīcē, kas sastāv no pieciem elementiem. Iespējamās vērtības: 0, 1, 2, 3, 4, 5; to varbūtības ir atkarīgas no katra elementa uzticamības.
Diskrēts nejaušības lielums X var norādīt ar sadalījuma sēriju vai sadalījuma funkciju (integrālā sadalījuma likums).
Blakus izplatīšanai ir visu iespējamo vērtību kopa Xi un to atbilstošās varbūtības Ri = P(X = xi), to var norādīt kā tabulu:
| x i | x n |
|||
| p i | р n |
Tajā pašā laikā varbūtības Ri apmierināt nosacījumu
Ri= 1, jo 
kur ir iespējamo vērtību skaits n var būt ierobežots vai bezgalīgs.
Sadalījuma sērijas grafiskais attēlojums sauc par sadales daudzstūri . Lai to izveidotu, iespējamās nejaušā mainīgā vērtības ( Xi) ir attēlotas gar x asi, un varbūtības Ri- pa ordinātu asi; punktus Ai ar koordinātām ( Xi,рi) ir savienoti ar pārtrauktām līnijām.
Sadales funkcija nejaušais mainīgais X sauc par funkciju F(X), kuras vērtība punktā X ir vienāda ar varbūtību, ka nejaušais mainīgais X būs mazāka par šo vērtību X, tas ir
F(x) = P(X< х).
Funkcija F(X) Priekš diskrētais gadījuma mainīgais aprēķina pēc formulas
F(X) = Ri , (1.10.1)
kur tiek veikta visu vērtību summēšana i, par kuru Xi< х.
3. PIEMĒRS. No partijas, kurā ir 100 produkti, no kuriem 10 ir bojāti, pēc nejaušības principa tiek atlasīti pieci produkti, lai pārbaudītu to kvalitāti. Izveidojiet nejauša skaitļa sadalījumu sēriju X paraugā esošajiem produktiem ar trūkumiem.
Risinājums. Tā kā izlasē bojāto produktu skaits var būt jebkurš vesels skaitlis no 0 līdz 5 ieskaitot, tad iespējamās vērtības Xi nejaušais mainīgais X ir vienādi:
x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.
Varbūtība R(X = k) ka paraugs satur tieši k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) preces ar defektiem, vienāds
P (X = k) = .
Aprēķinu rezultātā, izmantojot šo formulu ar precizitāti 0,001, mēs iegūstam:
R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;
R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.
Vienlīdzības izmantošana, lai pārbaudītu Rk=1, pārliecināmies, ka aprēķini un noapaļošana veikti pareizi (skat. tabulu).
| x i | ||||||
| p i |
4. PIEMĒRS. Dota nejauša lieluma sadalījuma sērija X :
| x i | |||||
| p i |
Atrodiet varbūtības sadalījuma funkciju F(X) no šī nejaušā mainīgā lieluma un izveidojiet to.
Risinājums. Ja X£10 tad F(X)= P(X<X) = 0;
ja 10<X£20 tad F(X)= P(X<X) = 0,2 ;
ja 20<X£30 tad F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;
ja 30<X£40 tad F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;
ja 40<X£50 tad F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;
Ja X> 50, tad F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.
IZPLATĪŠANAS LIKUMS UN RAKSTUROJUMS
NEJAUŠI MAINĪGIE
Nejaušie lielumi, to klasifikācija un aprakstīšanas metodes.
Nejaušs lielums ir lielums, kas eksperimenta rezultātā var iegūt vienu vai otru vērtību, bet kurš nav iepriekš zināms. Tāpēc nejaušam mainīgajam var norādīt tikai vērtības, no kurām vienu tas noteikti izmantos eksperimenta rezultātā. Turpmāk šīs vērtības sauksim par iespējamām nejaušā mainīgā vērtībām. Tā kā gadījuma lielums kvantitatīvi raksturo eksperimenta nejaušo rezultātu, to var uzskatīt par nejauša notikuma kvantitatīvu raksturlielumu.
Nejaušie mainīgie parasti tiek apzīmēti ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem, piemēram, X..Y..Z, un to iespējamās vērtības ar atbilstošiem mazajiem burtiem.
Pastāv trīs veidu nejaušie mainīgie:
Diskrēts; Nepārtraukts; Jaukti.
Diskrēts ir nejaušs lielums, kura iespējamo vērtību skaits veido saskaitāmu kopu. Savukārt kopu, kuras elementus var numurēt, sauc par saskaitāmu. Vārds "diskrēts" nāk no latīņu vārda discretus, kas nozīmē "pārtraukts, kas sastāv no atsevišķām daļām".
1. piemērs. Diskrēts gadījuma lielums ir bojāto daļu X skaits n-produktu partijā. Patiešām, šī nejaušā mainīgā iespējamās vērtības ir veselu skaitļu virkne no 0 līdz n.
2. piemērs. Diskrēts nejaušības lielums ir šāvienu skaits pirms pirmā trāpījuma mērķī. Šeit, tāpat kā 1. piemērā, iespējamās vērtības var numurēt, lai gan ierobežojošā gadījumā iespējamā vērtība ir bezgalīgi liels skaitlis.
Nepārtraukta ir nejaušs lielums, kura iespējamās vērtības nepārtraukti aizpilda noteiktu skaitliskās ass intervālu, ko dažreiz sauc par šī nejaušā mainīgā pastāvēšanas intervālu. Tādējādi jebkurā ierobežotā pastāvēšanas intervālā nepārtraukta gadījuma lieluma iespējamo vērtību skaits ir bezgalīgi liels.
3. piemērs. Nepārtraukts gadījuma lielums ir uzņēmuma mēneša elektroenerģijas patēriņš.
4. piemērs. Nepārtraukts gadījuma lielums ir kļūda augstuma mērīšanā, izmantojot altimetru. Lai no altimetra darbības principa būtu zināms, ka kļūda ir diapazonā no 0 līdz 2 m. Tāpēc šī nejaušā lieluma pastāvēšanas intervāls ir intervāls no 0 līdz 2 m.
Nejaušo lielumu sadalījuma likums.
Nejaušais lielums tiek uzskatīts par pilnībā noteiktu, ja tā iespējamās vērtības ir norādītas uz skaitliskās ass un ir izveidots sadalījuma likums.
Gadījuma lieluma sadalījuma likums ir sakarība, kas nosaka saikni starp iespējamām gadījuma lieluma vērtībām un atbilstošajām varbūtībām.
Tiek uzskatīts, ka nejaušais mainīgais ir sadalīts saskaņā ar noteiktu likumu vai ir pakļauts noteiktam sadalījuma likumam. Kā sadalījuma likumi tiek izmantotas vairākas varbūtības, sadalījuma funkcija, varbūtības blīvums un raksturīgā funkcija.
Sadales likums sniedz pilnīgu iespējamo gadījuma lieluma aprakstu. Saskaņā ar sadalījuma likumu pirms eksperimenta var spriest, kuras iespējamās gadījuma lieluma vērtības parādīsies biežāk un kuras retāk.
Diskrētam gadījuma mainīgajam sadalījuma likumu var norādīt tabulas veidā, analītiski (formulas veidā) un grafiski.
Vienkāršākā diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likuma precizēšanas forma ir tabula (matrica), kurā augošā secībā uzskaitītas visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības un tām atbilstošās varbūtības, t.i.
Šādu tabulu sauc par diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma sēriju. 1
Notikumi X 1, X 2,..., X n, kas sastāv no tā, ka testa rezultātā nejaušais lielums X pieņems attiecīgi vērtības x 1, x 2,... x n nekonsekventi un vienīgie iespējamie (jo tabulā ir uzskaitītas visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības), t.i. veido pilnu grupu. Tāpēc to varbūtību summa ir vienāda ar 1. Tātad jebkuram diskrētam gadījuma mainīgajam
(Šī vienība ir kaut kādā veidā sadalīta starp nejaušā mainīgā vērtībām, tāpēc termins "izplatījums").
Sadalījuma sēriju var attēlot grafiski, ja gadījuma lieluma vērtības ir attēlotas pa abscisu asi, un tām atbilstošās varbūtības ir attēlotas pa ordinātu asi. Iegūto punktu savienojums veido lauztu līniju, ko sauc par varbūtības sadalījuma daudzstūri vai daudzstūri (1. att.).
Piemērs Loterijā ietilpst: automašīna 5000 den vērtībā. vienības, 4 televizori maksā 250 den. vienības, 5 videoreģistratori 200 den vērtībā. vienības Kopā uz 7 dienām tiek pārdotas 1000 biļetes. vienības Sastādiet sadales likumu loterijas dalībnieka, kurš iegādājies vienu biļeti, saņemto neto laimestu.
Risinājums. Iespējamās gadījuma lieluma X vērtības - neto laimests uz vienu biļeti - ir vienādas ar 0-7 = -7 nauda. vienības (ja biļete neuzvarēja), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. vienības (ja biļetē ir attiecīgi videomagnetofona, televizora vai automašīnas laimests). Ņemot vērā, ka no 1000 biļetēm neieguvušo skaits ir 990, un norādītie laimesti ir attiecīgi 5, 4 un 1, un izmantojot klasisko varbūtības definīciju, iegūstam.
1. nodaļa. Diskrēts nejaušības lielums
§ 1. Gadījuma lieluma jēdzieni.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums.
Definīcija : Nejaušs ir lielums, kas pārbaudes rezultātā no iespējamās vērtību kopas izņem tikai vienu vērtību, kas iepriekš nav zināma un ir atkarīga no nejaušiem iemesliem.
Pastāv divu veidu nejaušie mainīgie: diskrētie un nepārtrauktie.
Definīcija : tiek izsaukts gadījuma lielums X diskrēts (pārtraukts), ja tās vērtību kopa ir ierobežota vai bezgalīga, bet saskaitāma.
Citiem vārdiem sakot, diskrēta gadījuma lieluma iespējamās vērtības var pārnumurēt.
Gadījuma lielumu var aprakstīt, izmantojot tā sadalījuma likumu.
Definīcija : Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums izsaukt atbilstību starp iespējamām gadījuma lieluma vērtībām un to varbūtībām.
Diskrētā gadījuma lieluma X sadalījuma likumu var norādīt tabulas veidā, kuras pirmajā rindā ir norādītas visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības augošā secībā, bet otrajā rindā - to atbilstošās varbūtības. vērtības, t.i.
kur р1+ р2+…+ рn=1
Šādu tabulu sauc par diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma sēriju.
Ja gadījuma lieluma iespējamo vērtību kopa ir bezgalīga, tad rinda p1+ p2+…+ pn+… saplūst un tās summa ir vienāda ar 1.
Grafiski var attēlot diskrēta gadījuma lieluma X sadalījuma likumu, kuram taisnstūrveida koordinātu sistēmā tiek konstruēta lauzta līnija, kas secīgi savieno punktus ar koordinātām (xi; pi), i=1,2,…n. Iegūto līniju sauc sadales daudzstūris (1. att.).
Organiskā ķīmija" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organiskā ķīmija ir attiecīgi 0,7 un 0,8. Sastādiet sadalījuma likumu nejaušajam mainīgajam X - eksāmenu skaitam, ko skolēns nokārtos.
Risinājums. Izskatāmais nejaušais lielums X eksāmena rezultātā var iegūt vienu no šādām vērtībām: x1=0, x2=1, x3=2.
Atradīsim šo vērtību varbūtību. Apzīmēsim notikumus:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Tātad gadījuma lieluma X sadalījuma likumu nosaka tabula:
Kontrole: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Sadales funkcija
Pilnu gadījuma lieluma aprakstu sniedz arī sadalījuma funkcija.
Definīcija: Diskrētā gadījuma lieluma X sadalījuma funkcija tiek saukta par funkciju F(x), kas katrai vērtībai x nosaka varbūtību, ka nejaušajam mainīgajam X būs vērtība, kas mazāka par x:
F(x)=P(X<х)
Ģeometriski sadalījuma funkcija tiek interpretēta kā iespējamība, ka nejaušais lielums X pieņems vērtību, kas skaitļu taisnē ir attēlota ar punktu, kas atrodas pa kreisi no punkta x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) ir nesamazinoša funkcija uz (-∞;+∞);
3) F(x) - nepārtraukts pa kreisi punktos x= xi (i=1,2,...n) un nepārtraukts visos pārējos punktos;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Ja diskrēta gadījuma lieluma X sadalījuma likums ir dots tabulas veidā:
tad sadalījuma funkciju F(x) nosaka pēc formulas:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 x≤ x1,
р1 pie x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 pie x2< х≤ х3
1 x>xn.
Tās grafiks ir parādīts 2. attēlā:
§ 3. Diskrēta gadījuma lieluma skaitliskie raksturlielumi.
Viens no svarīgākajiem skaitliskiem raksturlielumiem ir matemātiskās cerības.
Definīcija: Matemātiskā cerība M(X) Diskrētais gadījuma lielums X ir visu tā vērtību un atbilstošo varbūtību produktu summa:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Matemātiskā cerība kalpo kā gadījuma lieluma vidējās vērtības raksturlielums.
Matemātiskās cerības īpašības:
1)M(C)=C, kur C ir nemainīga vērtība;
2) M(C X) = C M(X),
3) M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), kur X, Y ir neatkarīgi gadījuma lielumi;
5)M(X±C)=M(X)±C, kur C ir nemainīga vērtība;
Lai raksturotu diskrēta gadījuma lieluma iespējamo vērtību izkliedes pakāpi ap tā vidējo vērtību, tiek izmantota dispersija.
Definīcija: dispersija D ( X ) gadījuma lielums X ir gadījuma lieluma kvadrātiskās novirzes no tā matemātiskās cerības matemātiskā cerība:
Izkliedes īpašības:
1)D(C)=0, kur C ir nemainīga vērtība;
2)D(X)>0, kur X ir gadījuma lielums;
3)D(C X)=C2 D(X), kur C ir nemainīga vērtība;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), kur X, Y ir neatkarīgi gadījuma lielumi;
Lai aprēķinātu dispersiju, bieži ir ērti izmantot formulu:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
kur M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Dispersijai D(X) ir gadījuma lieluma kvadrātā izmērs, kas ne vienmēr ir ērti. Tāpēc vērtību √D(X) izmanto arī kā nejauša lieluma iespējamo vērtību izkliedes indikatoru.
Definīcija: Standarta novirze σ(X) gadījuma lielumu X sauc par dispersijas kvadrātsakni:
Uzdevums Nr.2. Diskrēto gadījuma lielumu X nosaka sadalījuma likums:
Atrodiet P2, sadalījuma funkciju F(x) un uzzīmējiet tās grafiku, kā arī M(X), D(X), σ(X).
Risinājums: Tā kā nejaušā lieluma X iespējamo vērtību varbūtību summa ir vienāda ar 1, tad
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Atradīsim sadalījuma funkciju F(x)=P(X Ģeometriski šo vienādību var interpretēt šādi: F(x) ir iespējamība, ka nejaušais mainīgais pieņems vērtību, kas uz skaitļa ass ir attēlota ar punktu, kas atrodas pa kreisi no punkta x. Ja x≤-1, tad F(x)=0, jo uz (-∞;x) nav nevienas šī gadījuma lieluma vērtības; Ja -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Ja 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) ir divas vērtības x1=-1 un x2=0; Ja 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Ja 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Ja x>3, tad F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, jo četras vērtības x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 ietilpst intervālā (-∞;x) un x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 pie x≤-1, 0,1 pie -1<х≤0, 0,2 pie 0<х≤1, F(x)= 0,5 pie 1<х≤2, 0,7 pie 2<х≤3, 1 pie x>3 Attēlosim funkciju F(x) grafiski (3. att.): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845. §
4. Binomiālā sadalījuma likums diskrētais gadījuma lielums, Puasona likums. Definīcija: Binomiāls
sauc par diskrēta gadījuma lieluma X sadalījuma likumu - notikuma A gadījumu skaitu n neatkarīgos atkārtotos izmēģinājumos, kuros katrā notikums A var notikt ar varbūtību p vai nenotikt ar varbūtību q = 1-p. Tad P(X=m) - notikuma A iestāšanās varbūtība precīzi m reizes n izmēģinājumos tiek aprēķināta, izmantojot Bernulli formulu: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Saskaņā ar bināro likumu sadalīta gadījuma lieluma X matemātiskās cerības, dispersiju un standartnovirzi nosaka, izmantojot formulas: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Notikuma A varbūtība — “piecinieka izlikšana” katrā izmēģinājumā ir vienāda un vienāda ar 1/6 , t.i., P(A)=p=1/6, tad P(A)=1-p=q=5/6, kur - "nespēja iegūt A." Nejaušajam lielumam X var būt šādas vērtības: 0;1;2;3. Mēs atrodam katras iespējamās X vērtības varbūtību, izmantojot Bernulli formulu: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Tas. gadījuma lieluma X sadalījuma likumam ir šāda forma: Kontrole: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Atradīsim nejaušā lieluma X skaitliskos raksturlielumus: M(X) = np = 3 (1/6) = 1/2, D(X) = npq = 3 (1/6) (5/6) = 5/12, Uzdevums Nr.4. Automātiska mašīna apzīmogo detaļas. Varbūtība, ka ražotajai daļai būs defekts, ir 0,002. Atrodiet varbūtību, ka starp 1000 atlasītajām daļām būs: a) 5 bojāti; b) vismaz viens ir bojāts. Risinājums:
Skaitlis n=1000 ir liels, defektīvas detaļas saražošanas varbūtība p=0.002 maza, un apskatāmie notikumi (detaļa izrādās bojāta) ir neatkarīgi, tāpēc Puasona formula ir spēkā: Рn(m)= e-
λ
λm Atradīsim λ=np=1000 0,002=2. a) Atrodiet varbūtību, ka būs 5 bojātas detaļas (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Atrodiet varbūtību, ka būs vismaz viena bojāta daļa. Notikums A — “vismaz viena no atlasītajām daļām ir bojāta” ir pretējs notikumam — “visas atlasītās daļas nav bojātas.” Tāpēc P(A) = 1-P(). Tādējādi vēlamā varbūtība ir vienāda ar: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Uzdevumi patstāvīgam darbam.
1.1
1.2.
Izkliedēto gadījuma lielumu X nosaka sadalījuma likums: Atrodiet p4, sadalījuma funkciju F(X) un uzzīmējiet tās grafiku, kā arī M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Kastītē ir 9 marķieri, no kuriem 2 vairs neraksta. Paņemiet 3 marķierus pēc nejaušības principa. Nejaušais mainīgais X ir rakstīšanas marķieru skaits starp uzņemtajiem. Sastādiet nejauša lieluma sadalījuma likumu. 1.4.
Bibliotēkas plauktā nejauši izkārtotas 6 mācību grāmatas, no kurām 4 ir iesietas. Bibliotekārs pēc nejaušības principa paņem 4 mācību grāmatas. Nejaušais lielums X ir iesieto mācību grāmatu skaits starp paņemtajām. Sastādiet nejauša lieluma sadalījuma likumu. 1.5.
Uz biļetes ir divi uzdevumi. Pirmās problēmas pareiza risināšanas varbūtība ir 0,9, otrā ir 0,7. Nejaušais mainīgais X ir pareizi atrisināto problēmu skaits biļetē. Sastādiet sadalījuma likumu, aprēķiniet šī gadījuma lieluma matemātisko cerību un dispersiju, kā arī atrodiet sadalījuma funkciju F(x) un izveidojiet tās grafiku. 1.6.
Trīs šāvēji šauj mērķī. Varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu ir 0,5 pirmajam šāvējam, 0,8 otrajam, bet 0,7 trešajam. Nejaušais mainīgais X ir trāpījumu skaits mērķī, ja šāvēji izšauj vienu šāvienu vienlaikus. Atrodiet sadalījuma likumu, M(X),D(X). 1.7.
Basketbolists met bumbu grozā ar katra sitiena varbūtību 0,8. Par katru sitienu viņš saņem 10 punktus, un, ja viņš netrāpa, punkti viņam netiek piešķirti. Sastādiet sadalījuma likumu nejaušajam lielumam X - basketbolista iegūto punktu skaits 3 metienos. Atrodiet M(X),D(X), kā arī varbūtību, ka viņš iegūs vairāk par 10 punktiem. 1.8.
Uz kartītēm rakstīti burti, kopā 5 patskaņi un 3 līdzskaņi. Pēc nejaušības principa tiek izvēlētas 3 kārtis, un katru reizi paņemtā kartīte tiek atgriezta atpakaļ. Nejaušais mainīgais X ir patskaņu skaits starp ņemtajiem. Sastādiet sadalījuma likumu un atrodiet M(X),D(X),σ(X). 1.9.
Vidēji zem 60% līgumu apdrošināšanas sabiedrība izmaksā apdrošināšanas summas saistībā ar apdrošināšanas gadījuma iestāšanos. Izstrādāt sadales likumu nejaušam lielumam X - līgumu skaitam, par kuriem tika samaksāta apdrošināšanas summa starp četriem nejauši izvēlētiem līgumiem. Atrodiet šī daudzuma skaitliskos raksturlielumus. 1.10.
Radiostacija sūta izsaukuma signālus (ne vairāk kā četrus) noteiktos intervālos, līdz tiek izveidoti divvirzienu sakari. Varbūtība saņemt atbildi uz izsaukuma signālu ir 0,3. Nejaušais mainīgais X ir nosūtīto izsaukuma zīmju skaits. Sastādiet sadales likumu un atrodiet F(x). 1.11.
Ir 3 atslēgas, no kurām tikai viena der slēdzenei. Sastādiet likumu par nejaušā lieluma X-skaita slēdzenes atvēršanas mēģinājumu sadalījumu, ja izmēģinātā atslēga nepiedalās turpmākajos mēģinājumos. Atrodiet M(X), D(X). 1.12.
Trīs ierīču secīgi neatkarīgi testi tiek veikti uzticamības noteikšanai. Katra nākamā ierīce tiek pārbaudīta tikai tad, ja iepriekšējā izrādījās uzticama. Testa nokārtošanas varbūtība katrai ierīcei ir 0,9. Sastādiet sadalījuma likumu izlases veidam X-pārbaudīto ierīču skaits. 1.13
.Diskrētajam gadījuma mainīgajam X ir trīs iespējamās vērtības: x1=1, x2, x3 un x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Elektronisko ierīču blokā ir 100 identiski elementi. Katra elementa atteices varbūtība laikā T ir 0,002. Elementi darbojas neatkarīgi. Atrodiet varbūtību, ka laika T laikā neizdosies vairāk kā divi elementi. 1.15.
Mācību grāmata izdota 50 000 eksemplāru tirāžā. Varbūtība, ka mācību grāmata ir nepareizi iesieta, ir 0,0002. Atrodiet varbūtību, ka cirkulācija satur: a) četras bojātas grāmatas, b) mazāk nekā divas bojātas grāmatas. 1
.16.
Katru minūti PBX pienākošo zvanu skaits tiek sadalīts pēc Puasona likuma ar parametru λ=1,5. Atrodiet varbūtību, ka pēc minūtes ieradīsies: a) divi zvani; b) vismaz vienu zvanu. 1.17.
Atrodiet M(Z), D(Z), ja Z=3X+Y. 1.18.
Ir doti divu neatkarīgu gadījuma lielumu sadalījuma likumi: Atrodiet M(Z),D(Z), ja Z=X+2Y. Atbildes:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 pie x≤-2, 0,3 pie -2<х≤0, F(x)= 0,5 pie 0<х≤2, 0,9 pie 2<х≤5, 1 pie x>5 0,3 pie -1<х≤0, 0,4 pie 0<х≤1, F(x)= 0,6 pie 1<х≤2, 0,7 pie 2<х≤3, 1 pie x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 pie x≤0, 0.03 pie 0<х≤1, F(x)= 0,37 pie 1<х≤2, 1 — x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X) = 15/8; D(X) = 45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. 2. nodaļa. Nepārtraukts gadījuma mainīgais
Definīcija: Nepārtraukta
ir lielums, kura visas iespējamās vērtības pilnībā aizpilda skaitļu līnijas ierobežotu vai bezgalīgu laidumu. Acīmredzot nepārtraukta gadījuma lieluma iespējamo vērtību skaits ir bezgalīgs. Nepārtrauktu gadījuma lielumu var norādīt, izmantojot sadalījuma funkciju. Definīcija: F sadales funkcija
nepārtrauktu gadījuma lielumu X sauc par funkciju F(x), kas katrai vērtībai nosaka xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Sadales funkciju dažreiz sauc par kumulatīvo sadalījuma funkciju. Sadales funkcijas īpašības:
1)1 ≤ F(x) ≤1 2) Nepārtrauktam gadījuma mainīgajam sadalījuma funkcija ir nepārtraukta jebkurā punktā un diferencējama visur, izņemot, iespējams, atsevišķos punktos. 3) Varbūtība, ka gadījuma lielums X nonāks vienā no intervāliem (a;b), [a;b], [a;b], ir vienāda ar starpību starp funkcijas F(x) vērtībām. punktos a un b, t.i. R(a)<Х 4) Varbūtība, ka nepārtraukts gadījuma lielums X iegūs vienu atsevišķu vērtību, ir 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Nepārtraukta gadījuma lieluma norādīšana, izmantojot sadalījuma funkciju, nav vienīgais veids. Ieviesīsim varbūtības sadalījuma blīvuma (sadales blīvuma) jēdzienu. Definīcija
:
Varbūtību sadalījuma blīvums
f
(
x
)
nepārtraukta gadījuma lieluma X ir tā sadalījuma funkcijas atvasinājums, t.i.: Varbūtības blīvuma funkciju dažreiz sauc par diferenciālā sadalījuma funkciju vai diferenciālā sadalījuma likumu. Tiek izsaukts varbūtības blīvuma sadalījuma f(x) grafiks varbūtības sadalījuma līkne
.
Varbūtības blīvuma sadalījuma īpašības:
1) f(x) ≥0, vietnē xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx + ∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/) 2-4))=8s; b) Ir zināms, ka F(x)= ∫ f(x)dx Tāpēc x ja x≤2, tad F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 ja x>6, tad F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Tādējādi 0 pie x≤2, F(x)= (x-2) 2/16 pie 2<х≤6, 1 — x>6. Funkcijas F(x) grafiks parādīts 3. att https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 pie x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π pie 0<х≤√3, 1 — x>√3. Atrodiet diferenciālā sadalījuma funkciju f(x) Risinājums:
Tā kā f(x)= F’(x), tad DIV_ADBLOCK93"> · Matemātiskā cerība M (X)
nepārtrauktu gadījuma lielumu X nosaka vienādība: M(X)= ∫ x f(x)dx, ar nosacījumu, ka šis integrālis saplūst absolūti. · Izkliede
D
(
X
)
nepārtrauktu gadījuma lielumu X nosaka vienādība: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx vai D(X)= ∫ x2 f(x)dx – (M(x))2 · Standarta novirze σ(X)
nepārtrauktu gadījuma lielumu nosaka vienādība: Visas matemātiskās gaidīšanas un izkliedes īpašības, kas iepriekš tika apspriestas izkliedētajiem gadījuma mainīgajiem, ir derīgas arī nepārtrauktajiem. Uzdevums Nr.3. Nejaušo lielumu X nosaka diferenciālfunkcija f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6 = 31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Problēmas patstāvīgam risinājumam.
2.1.
Nepārtrauktu gadījuma lielumu X nosaka sadalījuma funkcija: 0 pie x ≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤ π/6, F(x)= - cos 3x pie π/6<х≤ π/3, 1 — x > π/3. Atrodiet diferenciālā sadalījuma funkciju f(x), un arī Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 pie x≤2, f(x)= c x pie 2<х≤4, 0 — x>4. 2.4.
Nepārtrauktu gadījuma lielumu X nosaka sadalījuma blīvums: 0 pie x ≤0, f(x)= c √x pie 0<х≤1, 0 — x>1. Atrodi: a) skaitli c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> pie x, 0 pie x. Atrodi: a) F(x) un izveido tā grafiku; b) M(X), D(X), σ(X); c) varbūtība, ka četros neatkarīgos izmēģinājumos X vērtība būs tieši 2 reizes lielāka par vērtību, kas pieder intervālam (1;4). 2.6.
Nepārtraukta gadījuma lieluma X varbūtības sadalījuma blīvums ir dots: f(x)= 2(x-2) pie x, 0 pie x. Atrodi: a) F(x) un izveido tā grafiku; b) M(X), D(X), σ (X); c) varbūtība, ka trīs neatkarīgos izmēģinājumos X vērtība būs tieši 2 reizes lielāka par segmentam piederošo vērtību. 2.7.
Funkcija f(x) tiek dota šādi: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Funkcija f(x) tiek dota šādi: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Atrodi: a) konstantes c vērtību, pie kuras funkcija būs kāda gadījuma lieluma X varbūtības blīvums; b) sadalījuma funkcija F(x). 2.9.
Nejaušais lielums X, kas koncentrēts uz intervālu (3;7), tiek norādīts ar sadalījuma funkciju F(x)= . Atrodi varbūtību, ka gadījuma lieluma X vērtība būs: a) mazāka par 5, b) ne mazāka par 7. 2.10.
Nejaušs mainīgais X, koncentrēts uz intervālu (-1;4), tiek dota ar sadalījuma funkciju F(x)= . Atrodi varbūtību, ka gadījuma lieluma X vērtība būs: a) mazāka par 2, b) ne mazāka par 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Atrodi: a) skaitli c; b) M(X); c) varbūtība P(X> M(X)). 2.12.
Nejaušo lielumu nosaka diferenciālā sadalījuma funkcija: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Atrast: a) M(X); b) varbūtība P(X≤M(X)) 2.13.
Rem sadalījumu nosaka varbūtības blīvums: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0. Pierādiet, ka f(x) patiešām ir varbūtības blīvuma funkcija. 2.14.
Nepārtraukta gadījuma lieluma X varbūtības sadalījuma blīvums ir dots: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(5. att.) 2.16.
Nejaušais lielums X tiek sadalīts atbilstoši “taisnā trijstūra” likumam intervālā (0;4) (5. att.). Atrodiet analītisko izteiksmi varbūtības blīvumam f(x) uz visas skaitļu līnijas. Atbildes
0 pie x ≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x pie π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 — x≤a, f(x)= a<х 0 x≥b. Funkcijas f(x) grafiks parādīts att. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Uzdevums Nr.1. Nejaušais lielums X ir vienmērīgi sadalīts segmentā. Atrast: a) varbūtības sadalījuma blīvumu f(x) un attēlo to; b) sadalījuma funkciju F(x) un attēlo to; c) M(X), D(X), σ(X). Risinājums:
Izmantojot iepriekš aprakstītās formulas ar a = 3, b = 7, mēs atrodam: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7, 0 — x >7 Izveidosim tā grafiku (3. att.): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 pie x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">4. att. D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 pie x<0, f(x)= λе-λх ja x≥0. Gadījuma lieluma X sadalījuma funkciju, kas sadalīts saskaņā ar eksponenciālo likumu, nosaka pēc formulas: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> 6. att. Eksponenciālā sadalījuma matemātiskās cerības, dispersija un standarta novirze ir attiecīgi vienādas ar: M(X)= , D(X)=, σ (Х)= Tādējādi eksponenciālā sadalījuma matemātiskā cerība un standartnovirze ir vienādas viena ar otru. Varbūtību, ka X nonāks intervālā (a;b), aprēķina pēc formulas: P(a<Х Uzdevums Nr.2. Ierīces vidējais bezatteices darbības laiks ir 100 stundas. Pieņemot, ka ierīces bezatteices darbības laikam ir eksponenciāls sadalījuma likums, atrodiet: a) varbūtības sadalījuma blīvums; b) sadales funkcija; c) iespējamība, ka ierīces bezatteices darbības laiks pārsniegs 120 stundas. Risinājums:
Saskaņā ar nosacījumu matemātiskais sadalījums M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 pie x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x, ja x ≥0. b) F(x)= 0 pie x<0, 1-e -0,01x pie x ≥0. c) Mēs atrodam vēlamo varbūtību, izmantojot sadalījuma funkciju: P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1,2)=e -1,2≈0,3. §
3.Normālās sadales likums Definīcija:
Nepārtrauktam gadījuma mainīgajam X ir parastās sadales likums (Gausa likums),
ja tā sadalījuma blīvumam ir šāda forma: kur m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Tiek saukta normālā sadalījuma līkne parastā vai Gausa līkne
(7. att.) Gadījuma lieluma X sadalījuma funkciju, kas sadalīta saskaņā ar normālo likumu, izsaka caur Laplasa funkciju Ф (x) pēc formulas: kur ir Laplasa funkcija. komentēt:
Funkcija Ф(x) ir nepāra (Ф(-х)=-Ф(х)), turklāt pie x>5 varam pieņemt, ka Ф(х) ≈1/2. Sadalījuma funkcijas F(x) grafiks parādīts att. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Varbūtību, ka novirzes absolūtā vērtība ir mazāka par pozitīvu skaitli δ, aprēķina pēc formulas: Konkrēti, m=0 spēkā ir šāda vienādība: "Trīs sigmu likums"
Ja gadījuma lielumam X ir normālā sadalījuma likums ar parametriem m un σ, tad ir gandrīz droši, ka tā vērtība atrodas intervālā (a-3σ; a+3σ), jo https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Izmantosim formulu: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> No funkciju vērtību tabulas Ф(х) atrodam Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Tātad vēlamā varbūtība: P(28 Uzdevumi patstāvīgam darbam
3.1.
Nejaušais lielums X ir vienmērīgi sadalīts intervālā (-3;5). Atrast: b) sadalījuma funkcija F(x); c) skaitliskie raksturlielumi; d) varbūtība P(4<х<6). 3.2.
Nejaušais lielums X ir vienmērīgi sadalīts segmentā. Atrast: a) sadalījuma blīvums f(x); b) sadalījuma funkcija F(x); c) skaitliskie raksturlielumi; d) varbūtība P(3≤х≤6). 3.3.
Uz šosejas ir automātiskais luksofors, kurā 2 minūtes deg zaļā gaisma, 3 sekundes dzeltenā, 30 sekundes sarkanā u.tml. Pa šoseju nejaušā brīdī brauc automašīna. Atrodiet varbūtību, ka automašīna, neapstājoties, pabrauks garām luksoforam. 3.4.
Metro vilcieni kursē regulāri ar 2 minūšu intervālu. Pasažieris iekāpj platformā nejaušā laikā. Kāda ir varbūtība, ka pasažierim uz vilcienu būs jāgaida vairāk nekā 50 sekundes? Atrodiet nejaušā lieluma X matemātisko cerību - vilciena gaidīšanas laiku. 3.5.
Atrodiet sadalījuma funkcijas eksponenciālā sadalījuma dispersiju un standartnovirzi: F(x)= 0 pie x<0, 1.–8. x ≥0. 3.6.
Nepārtrauktu gadījuma lielumu X nosaka ar varbūtības sadalījuma blīvumu: f(x)= 0 pie x<0, 0,7 e-0,7 x ≥0. a) Nosauciet aplūkojamā gadījuma lieluma sadalījuma likumu. b) Atrodi sadalījuma funkciju F(X) un gadījuma lieluma X skaitliskos raksturlielumus. 3.7.
Nejaušais lielums X tiek sadalīts saskaņā ar eksponenciālo likumu, ko nosaka varbūtības sadalījuma blīvums: f(x)= 0 pie x<0, 0,4 e-0,4 x pie x ≥0. Atrodi varbūtību, ka testa rezultātā X ņems vērtību no intervāla (2,5;5). 3.8.
Nepārtraukts gadījuma lielums X tiek sadalīts saskaņā ar sadalījuma funkcijas norādīto eksponenciālo likumu: F(x)= 0 pie x<0, 1.-0,6x pie x≥0 Atrodiet varbūtību, ka testa rezultātā X no segmenta ņems vērtību. 3.9.
Normāli sadalīta gadījuma lieluma paredzamā vērtība un standartnovirze ir attiecīgi 8 un 2. Atrast: a) sadalījuma blīvums f(x); b) varbūtība, ka testa rezultātā X iegūs vērtību no intervāla (10;14). 3.10.
Nejaušais lielums X parasti ir sadalīts ar matemātisko paredzamo vērtību 3,5 un dispersiju 0,04. Atrast: a) sadalījuma blīvums f(x); b) varbūtība, ka testa rezultātā X no segmenta ņems vērtību. 3.11.
Nejaušais lielums X parasti ir sadalīts ar M(X)=0 un D(X)=1. Kurš no notikumiem: |X|≤0,6 vai |X|≥0,6 ir ticamāks? 3.12.
Nejaušais lielums X ir sadalīts normāli ar M(X)=0 un D(X)=1. No kura intervāla (-0,5;-0,1) vai (1;2) ir lielāka iespēja iegūt vērtību viena testa laikā? 3.13.
Pašreizējo vienas akcijas cenu var modelēt, izmantojot parastās sadales likumu ar M(X)=10 den. vienības un σ (X) = 0,3 den. vienības Atrast: a) varbūtība, ka pašreizējā akcijas cena būs no 9,8 den. vienības līdz 10,4 dienām vienības; b) izmantojot “trīs sigmu likumu”, atrodiet robežas, kurās atradīsies pašreizējā akciju cena. 3.14.
Viela tiek nosvērta bez sistemātiskām kļūdām. Nejaušas svēršanas kļūdas ir pakļautas parastajam likumam ar vidējo kvadrātisko attiecību σ=5g. Atrodiet varbūtību, ka četros neatkarīgos eksperimentos absolūtajā vērtībā 3r nenotiks kļūda trijos svērumos. 3.15.
Nejaušais lielums X parasti ir sadalīts ar M(X)=12,6. Varbūtība, ka gadījuma lielums iekritīs intervālā (11,4;13,8), ir 0,6826. Atrodiet standarta novirzi σ. 3.16.
Nejaušais lielums X ir sadalīts normāli ar M(X)=12 un D(X)=36. Atrodi intervālu, kurā nejaušais lielums X iekritīs testa rezultātā ar varbūtību 0,9973. 3.17.
Detaļa, kas izgatavota ar automātu, tiek uzskatīta par bojātu, ja tās kontrolētā parametra novirze X no nominālvērtības pārsniedz modulo 2 mērvienības. Tiek pieņemts, ka gadījuma lielums X ir normāli sadalīts ar M(X)=0 un σ(X)=0,7. Cik procentuāli mašīna ražo bojātās daļas? 3.18.
Daļas X parametrs ir sadalīts normāli ar matemātisko paredzamo vērtību 2, kas vienāds ar nominālvērtību un standarta novirzi 0,014. Atrodiet varbūtību, ka X novirze no nominālvērtības nepārsniegs 1% no nominālvērtības. Atbildes
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 — x≤-3, F(x)= pa kreisi> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. X; nozīmē F(5); varbūtība, ka nejaušais mainīgais Xņems vērtības no segmenta . Izveidojiet sadalījuma daudzstūri. Iestatiet nejauša lieluma sadalījuma likumu X tabulas veidā. Atrodiet gadījuma lieluma sadalījuma funkciju X. Izveidojiet funkciju grafikus un . Aprēķiniet nejaušā lieluma matemātisko cerību, dispersiju, režīmu un mediānu X. A paraugs: 6 9 7 6 4 4 B paraugs: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 17. variants. Aprēķiniet tā matemātisko cerību un dispersiju. Atrodiet gadījuma lieluma sadalījuma funkciju X. Izveidojiet funkciju grafikus un . Aprēķiniet nejaušā lieluma X matemātisko cerību, dispersiju, režīmu un mediānu. · izlases vidējais rādītājs; · izlases dispersija; Režīms un mediāna; A paraugs: 0 0 2 2 1 4 · izlases vidējais rādītājs; · izlases dispersija; standarta parauga novirze; · režīms un mediāna; B paraugs: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 18. variants. Aprēķiniet tā matemātisko cerību un dispersiju. Atrodiet gadījuma lieluma X sadalījuma funkciju. Uzzīmējiet funkciju grafikus un . Aprēķiniet nejaušā lieluma matemātisko cerību, dispersiju, režīmu un mediānu X. · izlases vidējais rādītājs; · izlases dispersija; standarta parauga novirze; · režīms un mediāna; A paraugs: 4 7 6 3 3 4 · izlases vidējais rādītājs; · izlases dispersija; standarta parauga novirze; · režīms un mediāna; B paraugs: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 19. variants. 1. Objektā strādā 16 sievietes un 5 vīrieši. 3 cilvēki tika atlasīti pēc nejaušības principa, izmantojot viņu personāla numurus. Atrodiet varbūtību, ka visas izvēlētās personas būs vīrieši. 2. Tiek izmestas četras monētas. Atrodiet varbūtību, ka tikai divām monētām būs “ģerbonis”. 3. Vārdu “PSIHOLOĢIJA” veido kartītes, uz kurām katrā ir uzrakstīts viens burts. Kartes tiek sajauktas un izņemtas pa vienai, neatgriežot. Atrodi varbūtību, ka izņemtie burti veido vārdu: a) PSIHOLOĢIJA; b) PERSONĀLS. 4. Urnā ir 6 melnas un 7 baltas bumbiņas. Pēc nejaušības principa tiek izlozētas 5 bumbiņas. Atrodiet varbūtību, ka starp tiem ir: a. 3 baltas bumbiņas; b. mazāk nekā 3 baltas bumbiņas; c. vismaz viena balta bumbiņa. 5. Notikuma iestāšanās varbūtība A vienā izmēģinājumā ir vienāds ar 0,5. Atrodiet šādu notikumu iespējamības: a. notikumu A parādās 3 reizes 5 neatkarīgu izmēģinājumu sērijā; b. notikumu A 50 izmēģinājumu sērijā parādīsies vismaz 30 un ne vairāk kā 40 reizes. 6. Ir 100 vienādas jaudas mašīnas, kas darbojas neatkarīgi viena no otras vienā režīmā, kurā to piedziņa tiek ieslēgta uz 0,8 darba stundām. Kāda ir iespējamība, ka jebkurā brīdī tiks ieslēgtas no 70 līdz 86 mašīnas? 7. Pirmajā urnā ir 4 baltas un 7 melnas bumbiņas, bet otrajā urnā ir 8 baltas un 3 melnas bumbiņas. No pirmās urnas nejauši tiek izvilktas 4 bumbiņas, bet no otrās - 1 bumbiņa. Atrodi varbūtību, ka starp izvilktajām bumbiņām ir tikai 4 melnās bumbiņas. 8. Automašīnu tirdzniecības salons katru dienu saņem trīs marku automašīnas apjomos: “Moskvich” – 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% no visām importētajām automašīnām. Starp automašīnām Moskvich pretaizdzīšanas ierīce ir 0,5%, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Atrodiet varbūtību, ka pārbaudei nogādātajā automašīnā ir pretaizdzīšanas ierīce. 9. Cipari un tiek izvēlēti nejauši segmentā. Atrodiet varbūtību, ka šie skaitļi apmierina nevienādības. 10. Dots gadījuma lieluma sadalījuma likums X: Atrodiet gadījuma lieluma sadalījuma funkciju X; nozīmē F(2); varbūtība, ka nejaušais mainīgais Xņems vērtības no intervāla . Izveidojiet sadalījuma daudzstūri. Varbūtību teorijas pielietojumos eksperimenta kvantitatīvie raksturlielumi ir primāri svarīgi. Tiek saukts daudzums, ko var kvantitatīvi noteikt un kurš eksperimenta rezultātā var iegūt dažādas vērtības atkarībā no gadījuma nejaušais mainīgais. Nejaušo mainīgo piemēri: 1. Reižu skaits, kad desmit kauliņa metienos parādās pāra punktu skaits. 2. Šāvēja sitienu skaits mērķī, kurš veic šāvienu sēriju. 3. Sprāgstoša čaulas fragmentu skaits. Katrā no sniegtajiem piemēriem nejaušajam mainīgajam var būt tikai izolētas vērtības, tas ir, vērtības, kuras var numurēt, izmantojot dabisku skaitļu sēriju. Tādu nejaušu lielumu, kura iespējamās vērtības ir atsevišķi izolēti skaitļi, kurus šis mainīgais ņem ar noteiktām varbūtībām, sauc diskrēts. Diskrēta gadījuma lieluma iespējamo vērtību skaits var būt ierobežots vai bezgalīgs (skaitāms). Sadales likums Diskrēts gadījuma lielums ir tā iespējamo vērtību un to atbilstošo varbūtību saraksts. Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu var norādīt tabulas veidā (varbūtības sadalījuma rindas), analītiski un grafiski (varbūtības sadalījuma daudzstūris). Veicot eksperimentu, kļūst nepieciešams novērtēt pētāmo vērtību “vidēji”. Gadījuma lieluma vidējās vērtības lomu spēlē skaitlisks raksturlielums, ko sauc matemātiskās cerības, ko nosaka pēc formulas Kur x 1 , x 2
,.. , x n– gadījuma lieluma vērtības X, A lpp 1 ,lpp 2 ,
... , lpp n– šo vērtību varbūtības (ņemiet vērā, ka lpp 1
+
lpp 2
+…+
lpp n =
1). Piemērs. Šaušana tiek veikta mērķī (11. att.). I trāpījums dod trīs punktus, II – divus punktus, III – vienu punktu. Viena šāvēja vienā šāvienā gūto punktu skaitam ir formas sadalījuma likums Lai salīdzinātu šāvēju meistarību, pietiek salīdzināt iegūto punktu vidējās vērtības, t.i. matemātiskās cerības M(X) Un M(Y):
M(X)
=
1
0,4
+ 2
0,2
+ 3
0,4
= 2,0, M(Y)
=
1
0,2
+ 2
0,5
+ 3
0,3
= 2,1. Otrais šāvējs dod vidēji nedaudz lielāku punktu skaitu, t.i. tas dos labākus rezultātus, ja to atlaidīs atkārtoti. Atzīmēsim matemātiskās cerības īpašības: 1. Pastāvīgās vērtības matemātiskā sagaidāmā vērtība ir vienāda ar pašu konstanti: M(C)
=C. 2. Nejaušo lielumu summas matemātiskā cerība ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu: M =(X 1 +
X 2 +…+
X n)=
M(X 1)+
M(X 2)+…+
M(X n). 3. Savstarpēji neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar faktoru matemātisko gaidu reizinājumu. M(X 1 X 2 …
X n)
=
M(X 1)M(X 2)…
M(X n). 4. Binoma sadalījuma matemātiskais noliegums ir vienāds ar mēģinājumu skaita un notikuma iespējamības reizinājumu vienā izmēģinājumā (4.6. uzdevums). M(X)
= pr. Lai novērtētu, kā nejaušs mainīgais “vidēji” novirzās no tā matemātiskās cerības, t.i. Lai raksturotu gadījuma lieluma vērtību izplatību varbūtības teorijā, tiek izmantots dispersijas jēdziens. dispersija nejaušais mainīgais X sauc par novirzes kvadrātā matemātisko cerību: D(X)
=
M[(X
-
M(X)) 2 ]. Izkliede ir gadījuma lieluma izkliedes skaitlisks raksturlielums. No definīcijas ir skaidrs, ka jo mazāka ir nejaušā lieluma izkliede, jo tuvāk tā iespējamās vērtības atrodas ap matemātisko cerību, tas ir, jo labāk nejaušā lieluma vērtības raksturo tā matemātiskā gaida. . No definīcijas izriet, ka dispersiju var aprēķināt, izmantojot formulu Ir ērti aprēķināt dispersiju, izmantojot citu formulu: D(X)
=
M(X 2)
- (M(X)) 2 .
Dispersijai ir šādas īpašības: 1. Konstantes dispersija ir nulle: D(C)
=
0.
2. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no dispersijas zīmes, sadalot to kvadrātā: D(CX)
=
C 2 D(X). 3. Neatkarīgo gadījuma lielumu summas dispersija ir vienāda ar terminu dispersijas summu: D(X 1 +
X 2 +
X 3 +…+
X n)=
D(X 1)+
D(X 2)+…+
D(X n) 4. Binomiālā sadalījuma dispersija ir vienāda ar mēģinājumu skaita un notikuma iestāšanās un nenotikšanas varbūtības reizinājumu vienā izmēģinājumā: D(X)
= npq. Varbūtības teorijā bieži tiek izmantots skaitlisks raksturlielums, kas vienāds ar nejauša lieluma dispersijas kvadrātsakni. Šo skaitlisko raksturlielumu sauc par vidējo kvadrātveida novirzi un apzīmē ar simbolu Tas raksturo nejauša lieluma novirzes aptuveno lielumu no tā vidējās vērtības, un tam ir tāda pati dimensija kā nejaušajam mainīgajam. 4.1.
Šāvējs izšauj trīs šāvienus mērķī. Varbūtība trāpīt mērķī ar katru šāvienu ir 0,3. Izveidojiet izplatīšanas sēriju trāpījumu skaitam. Risinājums. Trāpījumu skaits ir diskrēts gadījuma mainīgais X. Katra vērtība x n
nejaušais mainīgais X atbilst noteiktai varbūtībai P n . Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma likumu šajā gadījumā var norādīt tuvu izplatīšanai. Šajā problēmā Xņem vērtības 0, 1, 2, 3. Saskaņā ar Bernulli formulu Atradīsim nejaušā lieluma iespējamo vērtību varbūtības: R 3 (0)
= (0,7) 3 =
0,343, R 3 (1)
= R 3 (2)
= R 3 (3)
= (0,3) 3 =
0,027. Sakārtojot nejaušā lieluma vērtības X pieaugošā secībā iegūstam sadalījuma sēriju: X n Ņemiet vērā, ka summa nozīmē varbūtību, ka nejaušais mainīgais Xņems vismaz vienu vērtību no iespējamām vērtībām, un tāpēc šis notikums ir ticams 4.2
.Urnā ir četras bumbiņas ar cipariem no 1 līdz 4. Izņem divas bumbiņas. Izlases vērtība X– bumbiņu skaitļu summa. Izveidojiet nejauša lieluma sadalījuma sēriju X. Risinājums. Nejauši mainīgo vērtības X ir 3, 4, 5, 6, 7. Atradīsim atbilstošās varbūtības. Gadījuma mainīgā vērtība 3 X var pieņemt vienīgajā gadījumā, ja vienai no izvēlētajām bumbiņām ir skaitlis 1, bet otrai 2. Iespējamo pārbaudes rezultātu skaits ir vienāds ar četru kombināciju skaitu (iespējamo bumbiņu pāru skaits) no diviem. Izmantojot klasisko varbūtības formulu, mēs iegūstam Tāpat R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6. Summa 5 var parādīties divos gadījumos: 1 + 4 un 2 + 3, tātad X ir šāda forma: Atrodiet sadales funkciju F(x) nejaušais mainīgais X un uzzīmējiet to. Aprēķināt par X tā matemātiskā cerība un dispersija. Risinājums. Gadījuma lieluma sadalījuma likumu var norādīt ar sadalījuma funkciju F(x)
= P(X
x).
Sadales funkcija F(x) ir nesamazinoša, pa kreisi nepārtraukta funkcija, kas definēta visā skaitļu rindā, while F
(-
)=
0,F
(+
)=
1. Diskrētam gadījuma mainīgajam šo funkciju izsaka ar formulu Tāpēc šajā gadījumā Sadales funkcijas grafiks F(x) ir pakāpju līnija (12. att.) F(x) Paredzamā vērtībaM(X) ir vērtību vidējā svērtā aritmētiskā vērtība X 1 , X 2 ,……X n nejaušais mainīgais X ar svariem ρ
1,
ρ
2, ……
, ρ
n
un to sauc par nejaušā mainīgā lieluma vidējo vērtību X. Pēc formulas M(X)= x 1
ρ
1 + x 2
ρ
2 +……+ x n
ρ
n M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72. Izkliede raksturo nejauša lieluma vērtību izkliedes pakāpi no tā vidējās vērtības un tiek apzīmēta D(X): D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2)
–[M(X)] 2 . Diskrētam gadījuma mainīgajam dispersijai ir forma vai arī to var aprēķināt, izmantojot formulu Aizvietojot uzdevuma skaitliskos datus formulā, mēs iegūstam: M(X 2)
=
3 2
∙ 0,14+5 2
∙ 0,2+7 2
∙ 0,49+11 2
∙ 0,17 = 50,84 D(X)
= 50,84-6,72 2
= 5,6816. 4.4.
Divus kauliņus met divas reizes vienlaicīgi. Uzrakstiet diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma binominālo likumu X- pāra kopējo punktu skaitu uz diviem kauliņiem. Risinājums. Ieviesīsim nejaušu notikumu A= (divi kauliņi ar vienu metienu kopā radīja pāra punktu skaitu). Izmantojot klasisko varbūtības definīciju, mēs atrodam R(A)=
Kur n
- iespējamo testa rezultātu skaits tiek atrasts saskaņā ar noteikumu reizināšana: n
= 6∙6 =36, m
-
cilvēku skaits, kas atbalsta pasākumu A rezultāti - vienādi m= 3∙6=18. Tādējādi veiksmes varbūtība vienā izmēģinājumā ir ρ
= P(A)=
1/2.
Problēma tiek atrisināta, izmantojot Bernulli testa shēmu. Viens izaicinājums šeit būtu vienu reizi izmest divus kauliņus. Šādu pārbaužu skaits n
= 2. Nejaušs lielums Xņem vērtības 0, 1, 2 ar varbūtībām R 2 (0)
= Nepieciešamais gadījuma lieluma binomiālais sadalījums X var attēlot kā izplatīšanas sēriju: X n ρ
n 4.5
. Sešu daļu partijā ir četras standarta daļas. Trīs daļas tika atlasītas pēc nejaušības principa. Izveidojiet diskrēta gadījuma lieluma varbūtības sadalījumu X– standarta detaļu skaits starp atlasītajām un atrast tā matemātisko cerību. Risinājums. Nejauši mainīgo vērtības X ir skaitļi 0,1,2,3. Tas ir skaidrs R(X=0)=0, jo ir tikai divas nestandarta daļas. R(X=1) = R(X= 2) = R(X=3) = Gadījuma lieluma sadalījuma likums X Iesniegsim to izplatīšanas sērijas veidā: X n ρ
n Paredzamā vērtība M(X)=1
∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2. 4.6
. Pierādīt, ka diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība X- notikuma gadījumu skaits A V n neatkarīgi izmēģinājumi, kuros katrā notikuma rašanās varbūtība ir vienāda ar ρ
– vienāds ar mēģinājumu skaita reizinājumu ar notikuma rašanās varbūtību vienā izmēģinājumā, tas ir, lai pierādītu, ka binomiālā sadalījuma matemātiskā cerība M(X)
=n .
ρ
, un dispersija D(X)
=n.p.
. Risinājums. Izlases vērtība X var ņemt vērtības 0, 1, 2..., n. Varbūtība R(X= k) tiek atrasts, izmantojot Bernulli formulu: R(X=k)= R n(k)= Gadījuma lieluma sadalījuma rindas X ir šāda forma: X n ρ
n q n Kur q=
1-
ρ
. Matemātiskajām cerībām mums ir izteiksme: M(X)= Viena testa gadījumā, tas ir, ar n= 1 nejaušam mainīgajam X 1 – notikuma reižu skaits A- izplatīšanas sērijai ir šāda forma: X n ρ
n M(X 1)=
0∙q +
1
∙ lpp
=
lpp D(X 1)
=
lpp
–
lpp 2
=
lpp(1-
lpp)
=
pq. Ja X k – notikuma reižu skaits A kurā testā, tad R(X Uz)=
ρ
Un X=X 1 +X 2 +….+X n . No šejienes mēs iegūstam M(X)=M(X 1
)+M(X 2)+
… +M(X n)=
nr,
D(X)=D(X 1)+D(X 2)+
...
+D(X n)=npq. 4.7.
Kvalitātes kontroles nodaļa pārbauda produktu standartitāti. Varbūtība, ka produkts ir standarta, ir 0,9. Katrā partijā ir 5 produkti. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma matemātisko cerību X- partiju skaits, kurā katrā būs 4 standarta produkti - ja pārbaudei pakļautas 50 partijas. Risinājums. Varbūtība, ka katrā nejauši izvēlētajā partijā būs 4 standarta produkti, ir nemainīga; apzīmēsim to ar ρ
.Tad nejaušā lieluma matemātiskā gaida X vienāds M(X)=
50∙ρ.
Noskaidrosim varbūtību ρ
pēc Bernulli formulas: ρ=P 5 (4)= M(X)=
50∙0,32=16. 4.8
. Tiek izmesti trīs kauliņi. Atrodiet nomesto punktu summas matemātisko cerību. Risinājums. Jūs varat atrast izlases lieluma sadalījumu X- nomesto punktu summa un pēc tam tās matemātiskās cerības. Tomēr šis ceļš ir pārāk apgrūtinošs. Vieglāk ir izmantot citu paņēmienu, kas attēlo nejaušu mainīgo X, kuras matemātiskā gaida ir jāaprēķina, vairāku vienkāršāku gadījuma lielumu summas veidā, kuru matemātisko gaidu ir vieglāk aprēķināt. Ja nejaušais mainīgais X i ir uzvilkto punktu skaits i- kauli ( i= 1, 2, 3), tad punktu summa X tiks izteikts formā X = X 1 + X 2 + X 3 . Lai aprēķinātu sākotnējā gadījuma lieluma matemātisko cerību, atliek tikai izmantot matemātiskās gaidīšanas īpašību M(X 1
+ X 2 + X 3
)= M(X 1
)+ M(X 2)+ M(X 3
). Ir skaidrs, ka R(X i = K)=
1/6, UZ=
1, 2, 3, 4, 5, 6,
i=
1,
2, 3. Tāpēc nejaušā mainīgā matemātiskā cerība X i izskatās kā M(X i)
=
1/6∙1
+ 1/6∙2
+1/6∙3
+ 1/6∙4
+ 1/6∙5
+ 1/6∙6
= 7/2, M(X)
=
3∙7/2 = 10,5.
4.9.
Nosakiet matemātisko paredzamo to ierīču skaitu, kuras testēšanas laikā neizdevās, ja: a) atteices iespējamība visām ierīcēm ir vienāda R, un pārbaudāmo ierīču skaits ir vienāds ar n; b) neveiksmes varbūtība priekš i
–
ierīces vērtība ir vienāda ar lpp i
,
i=
1,
2, … , n. Risinājums.Ļaujiet nejaušajam mainīgajam X ir bojāto ierīču skaits X = X 1 + X 2 + … + X n ,
X i
=
Tas ir skaidrs R(X i =
1)=
R i ,
R(X i =
0)=
1–
R i ,i= 1,
2,
…
,n. M(X i)=
1∙R i +
0∙(1-R i)=P i , M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .
Gadījumā “a” ierīces atteices varbūtība ir tāda pati, tas ir R i =p,i= 1,
2, …
,n. M(X)=
n.p.. Šo atbildi varētu iegūt uzreiz, ja pamanām, ka nejaušais mainīgais X ir binomiāls sadalījums ar parametriem ( n,
lpp).
4.10.
Divas reizes tiek izmesti divi kauliņi. Uzrakstiet diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma binominālo likumu X - pāra punktu skaita metienu skaits uz diviem kauliņiem. Risinājums. Ļaujiet A=(pāra skaitļa mešana uz pirmā kauliņa), B =(pāra skaitļa mešana uz otrā kauliņa). Pāra skaitļa iegūšana uz abiem kauliņiem vienā metienā tiek izteikta ar reizinājumu AB. Tad R
(AB)
= R(A)∙R(IN)
=
Divu kauliņu otrā metiena rezultāts nav atkarīgs no pirmā, tāpēc Bernulli formula tiek piemērota, kad n
=
2,p = 1/4,
q
=
1– p = 3/4.
Izlases vērtība X var ņemt vērtības 0, 1, 2 ,
kuras varbūtību var atrast, izmantojot Bernulli formulu: R(X= 0)= P 2
(0)
=
q
2
= 9/16, R(X= 1)= P 2
(1)= C R(X= 2)= P 2
(2)= C Gadījuma lieluma sadalījuma rindas X: 4.11.
Ierīce sastāv no liela skaita neatkarīgi strādājošu elementu ar tādu pašu ļoti mazu katra elementa atteices iespējamību laika gaitā t. Atrodiet vidējo atteikumu skaitu laika gaitā t elementi, ja varbūtība, ka vismaz viens elements šajā laikā neizdosies, ir 0,98. Risinājums.
Cilvēku skaits, kuri laika gaitā atteicās t elementi – gadījuma lielums X, kas tiek sadalīts pēc Puasona likuma, jo elementu skaits ir liels, elementi darbojas neatkarīgi un katra elementa atteices varbūtība ir maza. Vidējais notikuma gadījumu skaits n testi vienādi M(X)
=
n.p..
Kopš neveiksmes varbūtības UZ elementi no n izteikts ar formulu R n
(UZ)
kur
=
n.p., tad varbūtība, ka šajā laikā neizdosies neviens elements t
mēs nokļūstam plkst K = 0: R n
(0)= e - . Tāpēc pretēja notikuma varbūtība ir laikā t
vismaz viens elements neizdodas - vienāds ar 1 - e -
. Atbilstoši problēmas nosacījumiem šī varbūtība ir 0,98. No Eq. 1
- e -
= 0,98, e -
= 1 – 0,98 =
0,02, no šejienes
=
-ln
0,02
4. Tātad ar laiku t ierīces darbība, vidēji 4 elementi neizdosies. 4.12
. Kauliņus met, līdz parādās “divi”. Atrodi vidējo metienu skaitu. Risinājums. Ieviesīsim nejaušu mainīgo X– testu skaits, kas jāveic, līdz notiek mūs interesējošais notikums. Varbūtība, ka X= 1 ir vienāda ar varbūtību, ka viena kauliņa mešanas laikā parādīsies “divi”, t.i. R(X= 1)
= 1/6. Pasākums X= 2 nozīmē, ka pirmajā testā “divi” nesanāca, bet otrajā sanāca. Notikuma varbūtība X= 2 tiek atrasts pēc neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanas likuma: R(X= 2)
= (5/6)∙(1/6) Tāpat R(X= 3)
= (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4)
= (5/6) 2 ∙1/6 utt. Mēs iegūstam varbūtības sadalījumu sēriju: (5/6) Uz
∙1/6 Vidējais metienu (mēģinājumu) skaits ir matemātiskā cerība M(X)
=
1∙1/6 +
2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6
+ … + UZ
(5/6) UZ -1 ∙1/6
+ … = 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2
+ … + UZ
(5/6) UZ -1
+ …) Atradīsim sērijas summu: Tāpēc M(X)
=
(1/6) (1/ (1 –
5/6) 2
= 6. Tādējādi jums ir jāizdara vidēji 6 kauliņu metieni, līdz parādās “divi”. 4.13.
Neatkarīgi testi tiek veikti ar tādu pašu notikuma rašanās varbūtību A katrā testā. Atrodiet notikuma varbūtību A, ja notikuma gadījumu skaita dispersija trīs neatkarīgos izmēģinājumos ir 0,63 .
Risinājums. Notikuma gadījumu skaits trīs izmēģinājumos ir nejaušs mainīgais X, sadalīts saskaņā ar binominālo likumu. Notikuma atgadījumu skaita dispersija neatkarīgos izmēģinājumos (ar vienādu notikuma iestāšanās varbūtību katrā izmēģinājumā) ir vienāda ar izmēģinājumu skaita reizinājumu ar notikuma iestāšanās un nenotikšanas varbūtību (4.6. problēma) D(X)
=
npq.
Pēc nosacījuma n
=
3,
D(X)
=
0,63, lai jūs varētu R atrast no vienādojuma 0,63
= 3∙R(1-R), kam ir divi risinājumi R 1
=
0,7 un R 2
=
0,3.
1.2.
p4=0,1; 0 pie x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤a,
,
Normālā līkne ir simetriska attiecībā pret taisni x=m, tās maksimums pie x=a, vienāds ar .
,
X
–28
–20
–12
–4
lpp
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
X
lpp
0,1
0,2
0,3
0,4
.
.
,
0,3(0,7) 2
= 0,441,
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
.
.
.
,
,R 2 (1)
=
∙
,R 2 (2)
=
=1/5,
= 3/5,
= 1/5.
ρ
Uz
(1-ρ
) n- Uz
ρq n- 1
ρq n- 2
ρ
n
ρq n -
1
+2
ρ
2
q n -
2
+…+.n
ρ
n
= 0,94∙0,1=0,32.
.
,R∙q
=
6/16,
,
R 2
=
1/16.
,
UZg
UZ -1
= (
g UZ)
g
.
Monotoniskuma un ekstrēmu funkciju izpēte
Vidējais vai mediāna
Nejaušo lielumu sadalījuma likums
Vārda nozīme: Iļja
Vārda Aydar izcelsme un raksturs