Tiešsaistē pārbaudiet monotonitātes funkciju. Monotoniskuma un ekstrēmu funkciju izpēte

Ekstrēma un izliekums.

Funkcijas grafika asimptotes

Definīcija.Kritiskais punkts funkcijas plkst = f(X) ir punkts, kurā atvasinājums ir nulle vai neeksistē.

Teorēma. Ja intervālā (a; b) atvasinājums pozitīvs/negatīvs, tad funkcija šajā intervālā palielinās/samazinās.

Teorēma. Ja, izejot cauri kritiskajam punktam, atvasinājums maina zīmi no “+” uz “−” (no “−” uz “+”), tad − ir funkcijas maksimālais (minimālais) punkts

Definīcija. Funkcija sauca izliekts uz augšu (uz leju) intervālā (a; b), ja šajā intervālā grafika punkti atrodas zem (virs) šajos punktos konstruētajām pieskarēm. Līkuma punkts ir punkts funkcijas grafikā, kas to sadala daļās ar dažādiem izliekuma virzieniem.

Piemērs 2.3.

Izpētīt funkciju monotonijai un ekstremitātei, izliekumam.

1. Mēs pārbaudām monotonitātes un ekstrēmu funkciju.

Uztaisīsim zīmējumu ( rīsi. 2.1).

y′′

x

−

−

+

y

izdevums uz leju

izdevums uz augšu

izdevums uz leju

Rīsi. 2.2. Izliekuma funkcijas izpēte

Aprēķināsim grafika lēciena punktu ordinātas:

Līkuma punktu koordinātas: (0; 0), (1; −1).

2.32. Pārbaudiet monotonitātes un ekstrēmu funkciju:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.33. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību:

1) uz intervālu;

2) uz intervālu [−1; 1];

3) uz intervālu [−4; 4];

4) uz intervālu [−2; 1].

2.34. Ražošanas izmaksas C (cu) ir atkarīgas no produkcijas apjoma X(vienības): atrast augstākās ražošanas izmaksas, ja X izmaiņas intervālā. Atrodi vērtību X, pie kuras peļņa būs maksimāla, ja ieņēmumi no produkcijas vienības pārdošanas ir vienādi ar 15 c.u. e.

2.35. Nepieciešams piešķirt taisnstūrveida zemes gabalu 512 m2 platībā, iežogot un sadalīt ar žogu trīs vienādās daļās paralēli vienai no laukuma malām. Kādam jābūt laukuma izmēram, lai žogam tiktu izmantots vismazākais materiāla daudzums?

2.36. Ņemot vērā taisnstūra loga perimetru, atrodiet tā izmērus tā, lai tas ieplūstu pēc iespējas vairāk gaismas.

2.37. Atrodiet maksimālo peļņu, ja ienākumus R un izmaksas C nosaka pēc formulām: kur X− pārdoto preču daudzums.

2.38. Ražošanas apjoma atkarība W no kapitāla izmaksām UZ nosaka funkcija
Atrodiet maiņas intervālu UZ, kur kapitāla izmaksu palielināšana ir neefektīva.

2.39. Izmaksu funkcijai ir forma Ienākumi no produkcijas vienības pārdošanas ir vienādi ar 200. Atrodiet ražotājam optimālo produkcijas vērtību.

2.40. Izlaides apjoma (naudas vienībās) atkarību no kapitāla izmaksām nosaka funkcija Atrodiet vērtību intervālu, kurā kapitāla izmaksu palielināšana ir neefektīva.

2.41. Tiek uzskatīts, ka pārdošanas apjoma pieaugumu no reklāmas izmaksām (miljonos rubļu) nosaka attiecība Ienākumi no produkcijas vienības pārdošanas ir vienādi ar 20 tūkstošiem rubļu. Atrodiet reklāmas izmaksu līmeni, pie kura uzņēmums gūs maksimālu peļņu.

2.42. Ienākumi no produktu ražošanas, izmantojot resursu vienības, ir vienādi ar Resursa vienības izmaksas ir 10 den. vienības Cik daudz resursa jāiegādājas, lai peļņa būtu vislielākā?

2.43. Izmaksu funkcijai ir forma Ienākumi no produkcijas vienības pārdošanas ir 50. Atrodiet maksimālo peļņas vērtību, ko ražotājs var saņemt.

2.44. Monopola ienākumu atkarība no produkcijas daudzuma tiek definēta šādi: Izmaksu funkcijai šajā intervālā ir forma Atrodiet monopola optimālo izlaides vērtību.

2.45. Monopolražotāja produkcijas cena tiek noteikta saskaņā ar koeficientu, kas identificēts kā . Pie kādas produkcijas vērtības būs vislielākie ienākumi no tā pārdošanas?

2.46. Izmaksu funkcijai ir šāda forma plkst plkst . Pašreizējais ražošanas līmenis Ar kādu nosacījumu uz parametra lpp Vai uzņēmumam ir izdevīgi samazināt izlaidi, ja ienākumi no produkcijas vienības pārdošanas ir 50?

Atvasinājums palīdz arī pētīt funkciju palielināšanai un samazināšanai. Vispirms atcerēsimies atbilstošo definīciju.

Definīcija . Ļaujiet funkcijai definēt intervālu . Viņi saka, ka tas palielinās (samazinās) uz intervālu, ja tāds, ka .

Teorēma. Ja funkcija ir diferencējama intervālā un , tad tā palielinās (samazinās) uz intervālu .

Lai funkcijas atvasinājums ir nepārtraukts uz intervāla. Lai izpētītu tā palielināšanos un samazināšanos, parasti tiek ievērots šāds plāns:

1) Atrodiet punktus no , Kur . Šos punktus sauc par stacionāriem.

2) Visos intervālos, kuros sadalīti stacionārie punkti, nosaka zīmi. Lai to izdarītu, pietiek noteikt zīmi katrā intervāla vienā punktā (zīme katrā intervālā nemainās, jo pretējā gadījumā saskaņā ar Bolcāno-Košī teorēmu šajā intervālā ir jābūt nulles atvasinājumam, kas ir neiespējami). Ja intervāla iekšpusē, tad saskaņā ar teorēmu tas palielinās. Ja , tad tas samazinās.

Definīcija . Punktus, kuros funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli, sauc par stacionāriem. Punktus, kuros funkcijas atvasinājums ir nulle vai neeksistē, sauc par kritiskiem.

Piemērs. Pārbaudiet pieaugošo un samazinošo funkciju

Šī funkcija ir diferencējama visā skaitļu rindā.

1) . Atradīsim stacionārus punktus: . Vienādojuma saknes ir skaitļi , .

2) Punkti , sadaliet skaitļa līniju trīs intervālos: , , .

Pirmajā intervālā mēs ņemam .

Tāpēc intervālā tas palielinās. Intervālā, ko paņemam, . Tāpēc tas samazinās. Intervālā mēs ņemam , . Tāpēc intervālā tas palielinās.

Definīcija.Ļaujiet funkcijai definēt . Punktu sauc par lokālo maksimālo (minimālo) punktu, ja tāds ir tāds, ka

Ja nevienādības (1) ir stingras , tad punktu sauc par stingru lokālā maksimuma (minimuma) punktu. Vietējos maksimumus un minimumus sauc par galējībām.

Teorēma(nepieciešams nosacījums ekstremitātei). Ja funkcija ir diferencējama punktā un ir galējības punkts, tad

Teorēmas pierādījumu nav grūti iegūt no atvasinājuma definīcijas.

komentēt. No teorēmas izriet, ka funkcijas galējie punkti ir jāmeklē starp stacionāriem punktiem un punktiem, kuros atvasinājuma nav. Viens no ekstrēma pietiekamajiem nosacījumiem izriet tieši no sekojošās teorēmas.

komentēt. Nepieciešamais nosacījums nav pietiekams. Piemēram, funkcijai mums ir , bet punkts nav galējība, jo funkcija palielinās pa visu skaitļa līniju.

Teorēma(pietiekams stāvoklis ekstremitātei). Ļaujiet funkcijai būt nepārtrauktai punktā un diferencējamai pie . Pēc tam:

a) ja atvasinājums, ejot caur punktu, maina zīmi no plusa uz mīnusu, tad punkts ir lokālā maksimuma punkts;

b) ja atvasinājums, ejot caur punktu, maina zīmi no mīnusa uz plusu, tad punkts ir funkcijas lokālais minimums.

Ņemiet vērā, ka no teorēmas izriet, ka iepriekšējā piemērā punkts ir lokālais maksimālais punkts, bet punkts ir funkcijas lokālais minimālais punkts.

Bieži vien, risinot dažādas problēmas, ir jāatrod lielākās un mazākās funkcijas vērtības noteiktā kopā.

Vispirms apskatīsim, kā šī problēma tiek atrisināta gadījumā, ja šis ir segments. Lai funkcija ir nepārtraukta segmentā un diferencējama intervālā, izņemot, iespējams, ierobežotu punktu skaitu. Pēc tam, saskaņā ar Veierštrāsa teorēmu, funkcija segmentā sasniedz lielāko un mazāko vērtību.

No iepriekšminētajām teorēmām izriet šāds funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanas plāns.

1) Atrast atvasinājumu un nulles no atvasinājuma .

2) Atrodiet vērtības

a) pie atvasinājuma nullēm;

b) segmenta galos;

c) vietās, kur atvasinājums nepastāv.

3) No iegūtajiem skaitļiem izvēlieties lielāko un mazāko.

1. piezīme.Ņemiet vērā, ka šeit nemaz nav nepieciešams atrast pieauguma un samazināšanās intervālus.

2. piezīme. Ja tas ir intervāls, pusintervāls vai bezgalīgs intervāls, iepriekš minēto plānu nevar izmantot. Šajā gadījumā, lai atrisinātu lielāko un mazāko vērtību problēmu, jāatrod funkcijas pieauguma un samazinājuma intervāli, robežas robežpunktos un, izmantojot vienkāršu analīzi, jāiegūst atbilde.

3. piemērs. Atrodiet lielākās un mazākās funkcijas vērtības intervālā.

Atradīsim pieauguma un samazināšanās intervālus. Lai to izdarītu, mēs atrodam atvasinājumu:

Punkts sadala intervālu divos intervālos: un . Šajos intervālos atradīsim atvasinājuma zīmi. Lai to izdarītu, aprēķināsim

Tādējādi funkcija samazinās ar pusintervālu un palielinās pēc intervāla. Tāpēc Nav lielākās vērtības, jo . Šajā gadījumā viņi raksta: .

Stunda un prezentācija algebrā 10.klasē par tēmu: "Funkcijas izpēte monotonitātei. Pētījuma algoritms"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes! Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Rokasgrāmatas un simulatori interneta veikalā Integral 10 klasei no 1C
Algebriskas problēmas ar parametriem, 9.–11. klase
Programmatūras vide "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ko mēs pētīsim:
1. Funkciju samazināšanās un palielināšana.
2. Sakarība starp funkcijas atvasinājumu un monotonitāti.
3. Divas svarīgas monotonitātes teorēmas.
4. Piemēri.

Puiši, agrāk mēs apskatījām daudzas dažādas funkcijas un uzzīmējām tās. Tagad ieviesīsim jaunus noteikumus, kas darbojas visām funkcijām, kuras mēs esam apsvēruši un turpināsim apsvērt.

Funkciju samazināšanās un palielināšana

Apskatīsim pieaugošo un samazinošo funkciju jēdzienu. Puiši, kas ir funkcija?

Funkcija ir atbilstība y= f(x), kurā katra x vērtība ir saistīta ar vienu y vērtību.

Apskatīsim kādas funkcijas grafiku:

Mūsu diagramma parāda: jo lielāks x, jo mazāks y. Tātad, definēsim samazinošu funkciju. Funkciju sauc par samazinošu, ja lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai.

Ja x2 > x1, tad f(x2) Tagad apskatīsim šīs funkcijas grafiku:
Šis grafiks parāda, ka jo lielāks x, jo lielāks y. Tātad definēsim pieaugošu funkciju. Funkciju sauc par pieaugošu, ja lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai.
Ja x2 > x1, tad f(x2 > f(x1) vai: jo lielāks x, jo lielāks y.

Ja funkcija palielinās vai samazinās noteiktā intervālā, tad tā saka šajā intervālā tas ir monotons.

Saistība starp funkcijas atvasinājumu un monotonitāti

Puiši, tagad padomāsim par to, kā jūs varat izmantot atvasinājuma jēdzienu, pētot funkciju grafikus. Uzzīmēsim pieaugošas diferencējamas funkcijas grafiku un uzzīmēsim mūsu grafikam pāris pieskares.

Ja paskatās uz mūsu pieskares vai vizuāli uzzīmē jebkuru citu pieskares, jūs ievērosiet, ka leņķis starp pieskari un x ass pozitīvo virzienu būs akūts. Tas nozīmē, ka pieskarei ir pozitīvs slīpums. Pieskares leņķa koeficients ir vienāds ar atvasinājuma vērtību pieskares punkta abscisā. Tādējādi atvasinājuma vērtība ir pozitīva visos mūsu grafika punktos. Palielinošai funkcijai ir spēkā šāda nevienādība: f"(x) ≥ 0, jebkuram punktam x.

Puiši, tagad paskatīsimies uz kādas dilstošās funkcijas grafiku un izveidosim pieskares funkcijas grafikam.

Apskatīsim pieskares un vizuāli uzzīmēsim jebkuru citu tangensu. Mēs pamanīsim, ka leņķis starp tangensu un x ass pozitīvo virzienu ir neass, kas nozīmē, ka pieskarei ir negatīvs slīpums. Tādējādi atvasinājuma vērtība ir negatīva visos mūsu diagrammas punktos. Samazinošai funkcijai ir spēkā šāda nevienādība: f"(x) ≤ 0 jebkuram punktam x.

Tātad funkcijas monotonitāte ir atkarīga no atvasinājuma zīmes:

Ja funkcija palielinās intervālā un tai ir atvasinājums šajā intervālā, tad šis atvasinājums nebūs negatīvs.

Ja funkcija samazinās uz intervālu un tai ir atvasinājums šajā intervālā, tad šis atvasinājums nebūs pozitīvs.

Svarīgs, lai intervāli, uz kuriem mēs uzskatām funkciju, būtu atvērti!

Divas svarīgas monotonitātes teorēmas

1. teorēma. Ja nevienādība f'(x) ≥ 0 ir spēkā visos atvērta intervāla X punktos (un atvasinājuma vienādība ar nulli vai nu nepastāv, vai arī pastāv, bet tikai ierobežotā punktu kopā), tad funkcija y= f(x) palielinās intervālā X.

2. teorēma. Ja nevienādība f'(x) ≤ 0 ir spēkā visos atvērtā intervāla X punktos (un atvasinājuma vienādība ar nulli vai nu nepastāv, vai arī pastāv, bet tikai ierobežotā punktu kopā), tad funkcija y= f(x) samazinās intervālā X.

3. teorēma. Ja visos atvērtā intervāla X punktos ir vienādība
f’(x)= 0, tad funkcija y= f(x) šajā intervālā ir nemainīga.

Monotoniskuma funkcijas izpētes piemēri

1) Pierādīt, ka funkcija y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 pieaug visā skaitļu rindā.

Risinājums: Atradīsim mūsu funkcijas atvasinājumu: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Tā kā pakāpe pie x ir pāra, pakāpes funkcijai ir tikai pozitīvas vērtības. Tad y" > 0 jebkuram x, kas nozīmē ar teorēmu 1, mūsu funkcija palielinās pa visu skaitļu līniju.

2) Pierādīt, ka funkcija samazinās: y= sin(2x) - 3x.

Atradīsim mūsu funkcijas atvasinājumu: y"= 2cos(2x) - 3.
Atrisināsim nevienlīdzību:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Jo -1 ≤ cos(x) ≤ 1, kas nozīmē, ka mūsu nevienādība ir izpildīta jebkuram x, tad ar 2. teorēmu funkcija y= sin(2x) - 3x samazinās.

3) Pārbaudiet funkcijas monotonitāti: y= x 2 + 3x - 1.

Risinājums: Atradīsim mūsu funkcijas atvasinājumu: y"= 2x + 3.
Atrisināsim nevienlīdzību:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Tad mūsu funkcija palielinās, ja x ≥ -3/2, un samazinās, ja x ≤ -3/2.
Atbilde: Ja x ≥ -3/2, funkcija palielinās, ja x ≤ -3/2, funkcija samazinās.

4) Pārbaudiet funkcijas monotonitāti: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Risinājums: Atradīsim mūsu funkcijas atvasinājumu: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Atrisināsim nevienādību: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Mūsu nevienlīdzība ir lielāka vai vienāda ar nulli:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Atrisināsim nevienlīdzību:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Bet tas nav iespējams, jo Kvadrātsakne ir definēta tikai pozitīvām izteiksmēm, kas nozīmē, ka mūsu funkcijai nav dilstošu intervālu.
Atbilde: ja x ≥ 1/3 funkcija palielinās.

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

a) Pierādīt, ka funkcija y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 aug pa visu skaitļu taisni.
b) Pierādīt, ka funkcija samazinās: y= cos(5x) - 7x.
c) Pārbaudiet funkcijas monotonitāti: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Pārbaudiet funkcijas monotonitāti: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Pirmo reizi tikāmies 7. klases algebras kursā. Apskatot funkcijas grafiku, mēs noņēmām atbilstošo informāciju: ja, pārvietojoties pa grafiku no kreisās puses uz labo, mēs vienlaikus virzāmies no apakšas uz augšu (it kā kāpjot kalnā), tad funkciju deklarējām par būt pieaugošam (124. att.); ja virzāmies no augšas uz leju (kāpjam lejā no kalna), tad funkciju pasludinājām par samazinošu (125. att.).

Tomēr matemātiķiem šī funkcijas īpašību izpētes metode ļoti nepatīk. Viņi uzskata, ka jēdzienu definīcijas nedrīkst balstīties uz zīmējumu - zīmējumam ir tikai ilustrēta viena vai otra funkcijas īpašība uz tā. grafikas. Sniegsim stingras pieaugošo un samazinošo funkciju jēdzienu definīcijas.

1. definīcija. Tiek uzskatīts, ka funkcija y = f(x) pieaug intervālā X, ja no nevienādības x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

2. definīcija. Tiek uzskatīts, ka funkcija y = f(x) samazinās intervālā X, ja nevienādība x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует nevienlīdzība f(x 1) > f(x 2).

Praksē ērtāk ir izmantot šādus formulējumus:

funkcija palielinās, ja lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai;
funkcija samazinās, ja lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai.

Izmantojot šīs definīcijas un 33.§ noteikto skaitlisko nevienādību īpašības, varēsim pamatot secinājumus par iepriekš pētīto funkciju palielināšanos vai samazināšanos.

1. Lineārā funkcija y = kx +m

Ja k > 0, tad funkcija visā garumā palielinās (126. att.); ja k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Pierādījums. Pieņemsim, ka f(x) = kx + m. Ja x 1< х 2 и k >Ak, tad saskaņā ar 3 skaitlisko nevienādību īpašību (sk. 33. §) kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. lineārs funkcijas y = kx+ m.

Ja x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , un atbilstoši 2. īpašībai no kx 1 > kx 2 izriet, ka kx 1 + m> kx 2 + t.i.

Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Tas nozīmē funkcijas y = f(x), t.i., lineārās funkcijas y = kx + m, samazināšanos.

Ja funkcija palielinās (samazinās) visā tās definīcijas jomā, tad to var saukt par pieaugošu (samazinošu), nenorādot intervālu. Piemēram, par funkciju y = 2x - 3 mēs varam teikt, ka tā palielinās pa visu skaitļu līniju, bet mēs varam to pateikt arī īsāk: y = 2x - 3 - pieaug.
funkciju.

2. Funkcija y = x2

1. Aplūkosim funkciju y = x 2 uz stara. Ņemsim divus nepozitīvus skaitļus x 1 un x 2, lai x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Tā kā skaitļi - x 1 un - x 2 ir nenegatīvi, tad, izliekot kvadrātā abas pēdējās nevienādības puses, iegūstam tādas pašas nozīmes nevienādību (-x 1) 2 > (-x 2) 2, t.i. Tas nozīmē, ka f(x 1) > f(x 2).

Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Tāpēc funkcija y = x 2 uz stara samazinās (- 00, 0] (128. att.).

1. Apsveriet funkciju intervālā (0, + 00).
Ļaujiet x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Tas nozīmē, ka funkcija samazinās uz atvērtā stara (0, + 00) (129. att.).

2. Apsveriet funkciju intervālā (-oo, 0). Ļaujiet x 1< х 2 , х 1 и х 2 - отрицательные числа. Тогда - х 1 >- x 2, un abas pēdējās nevienādības puses ir pozitīvi skaitļi, un tāpēc (mēs atkal izmantojām 1. piemērā pierādīto nevienādību no 33. §). Tālāk mums ir, no kurienes mēs iegūstam.

Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) t.i. funkcija samazinās uz atvērtā stara (- 00 , 0)

Parasti termini “palielinošā funkcija” un “samazinošā funkcija” tiek apvienoti ar vispārīgo nosaukumu monotoniskā funkcija, un palielināšanas un samazināšanas funkcijas izpēti sauc par monotonības funkcijas izpēti.

Risinājums.

1) Atzīmēsim funkciju y = 2x2 un ņemsim šīs parabolas atzaru pie x< 0 (рис. 130).

2) Konstruēt un atlasīt tā daļu uz segmenta (131. att.).

3) Konstruēsim hiperbolu un atlasīsim tās daļu uz atvērtā stara (4, + 00) (132. att.).
4) Attēlosim visus trīs “gabalus” vienā koordinātu sistēmā - tas ir funkcijas y = f(x) grafiks (133. att.).

Nolasīsim funkcijas y = f(x) grafiku.

1. Funkcijas definīcijas domēns ir visa skaitļa līnija.

2. y = 0 pie x = 0; y > 0, ja x > 0.

3. Funkcija samazinās uz stara (-oo, 0], palielinās uz nogriežņa , samazinās uz staru, ir izliekta uz augšu uz segmentu, izliekta uz leju uz stara, tiek piemērota Lagranža teorēma: ir punkts x 0 no ( x 1 ;x 2) tāds, ka f(x 2) -f(x 1) = (x 2 -x 1)×f¢( x 0). Bet saskaņā ar nosacījumu, f"(x 0) = 0, tāpēc f(x 2) =f(x 1), t.i. funkciju f(x) ir pastāvīgi ieslēgts ( a; b). Tas nozīmē, ka pietiekamība ir pierādīta. Teorēma ir pierādīta.

4. teorēma (nepieciešams nosacījums funkcijas monotonitātei). Ielaidiet intervālu (a; b) funkcija f(x) diferencējams. Tad:

A)ja f(x) palielinās, tad tā atvasinājums in(a; b) nav negatīvs, t.i. f ¢( x) ³ 0;

b) ja f(x) samazinās, tad tā atvasinājums in (a; b) nav pozitīvs, t.i. f ¢( x) £ 0.

Pierādījums. A). Ļaujiet funkcijai f(x) palielinās ( a; b), t.i. jebkuram x 1 ,x 2 no ( a; b) pastāv šāda attiecība: x 1 < x 2® f(x 1) < f(x 2). Pēc tam par norādītajiem punktiem x 1 ,x 2 šāda sakarība ir pozitīva:

No tā izriet, ka atvasinājums f ¢( x 1) ³ 0. Paziņojums A b).

5. teorēma (pietiekams nosacījums funkcijas monotonitātei). Ielaidiet intervālu (a; b) funkcija f(x) diferencējams. Tad:

A)ja f ¢( x) > 0 ieslēgts (a; b), tad f(x)palielinās par (a; b);

b) ja f ¢( x) < 0ieslēgts(a; b),tad f(x) samazinās par (a ; b).

Pierādījums. A). Ļaujiet f ¢( x) > 0 ieslēgts ( a; b) un punkti x 1 , x 2 no ( a; b) tāds, ka x 1 < x 2. Saskaņā ar Lagranža teorēmu, ir punkts x 0 no ( x 1 ;x 2) tāds, ka f(x 2) -f(x 1) = (x 2 -x 1)×f¢( x 0). Šeit vienlīdzības labā puse ir pozitīva, tātad f(x 2) -f(x 1) > 0, t.i. f(x 2) > f(x 1) . Tas nozīmē, ka f(x) palielinās par ( a; b). Paziņojums, apgalvojums A) ir pierādīts. Apgalvojums tiek pierādīts līdzīgā veidā b).

9. piemērs. Funkcija plkst= X 3 visur palielinās, jo pieaugot vērtībām XŠo vērtību kubi palielinās. Šīs funkcijas atvasinājums plkst¢ = 3 X 2 visur ir nenegatīvs, t.i. ir izpildīts nepieciešamais monotonitātes nosacījums.

10. piemērs. Atrodiet pieaugošās un samazinošās funkcijas y intervālus= 0,25X 4 - 0,5X 2 .

Risinājums. Tiek atrasts šīs funkcijas atvasinājums plkst¢ = X 3 - X, un tiek konstruēti intervāli, kuros X 3 - X pozitīvs vai negatīvs. Lai to izdarītu, vispirms atrodam kritiskos punktus, kuros plkst¢ = 0: X 3 - X = 0 ® X(X + 1)(X-1) = 0 ® X 1 = 0, X 2 = -1 X 3 = 1. Šie punkti sadala skaitļa līniju 4 atstarpēs:

- + - + X

-¥ -2 -1 0 1 2 3 +¥

Sasodīts.36.

Kopumā, lai noteiktu atvasinājuma zīmes, katrā intervālā ņemiet vienu punktu un aprēķiniet atvasinājuma vērtības šajos punktos. Bet dažreiz pietiek ņemt tikai vienu punktu galējā labajā intervālā, noteikt atvasinājuma zīmi šajā punktā un pārmaiņus mainīt zīmes atlikušajos intervālos. Šajā piemērā ļaujiet X= 2, tad plkst¢(2) = 2 3 – 2 = 6 > 0. Pareizajā intervālā tiek ievietota zīme +, un tad zīmes mainās. Saņemts plkst¢ > 0 uz intervāliem (-1; 0) un (1; +¥), tāpēc pētāmā funkcija šajos intervālos palielinās. Tālāk, plkst¢< 0 на (- ¥; -1) и (0; 1), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках убывает. Ниже на чертеже 37 построен график этой функции.

3. definīcija. 1). Punkts X o sauc maksimālais punkts funkcijas f(x), ja ir intervāls ( a; b), kas satur X ak, kādā nozīmē f(x o) lielākais, t.i. f(x o) > f(x) visiem X no ( a; b).

2). Punkts X o sauc minimālais punkts funkcijas f(x), ja ir intervāls ( a; b), kas satur X ak, kādā nozīmē f(x o) mazākais, t.i. f(x O)< f(x) visiem X no ( a; b). Tiek izsaukts maksimālais un minimālais punkts ekstremālie punkti.

6. teorēma(nepieciešams nosacījums funkcijas galējai daļai). Ja x O ir funkcijas f galējais punkts(x)un ir atvasinājums

f ¢( x 0),tad f "(x 0) = 0.

Pierādījums ir līdzīgs Rolle teorēmas pierādījumam.

Punkts x 0 , kurā f ¢( x 0) = 0 vai f ¢( x 0) neeksistē, sauc kritiskais punkts funkcijas f (x). Viņi saka, ka kritiskie punkti aizdomīgs par galējībām, t.i. tie var būt vai nebūt maksimālie vai minimālie punkti.

7. teorēma (pietiekams nosacījums funkcijas galējībai). Ļaujiet f(x)diferencējams kādā intervālā, kas satur kritisko punktu x O ( izņemot, iespējams, pašu punktu x O) . Tad:

A) ja ejot cauri x O atvasinājums no kreisās puses uz labo pusi f ¢( x) maina zīmi no + uz -,tad x O ir funkcijas f maksimālais punkts (x);

b) ja ejot cauri x O atvasinājums no kreisās puses uz labo pusi f ¢( x) maina zīmi no - uz+,tad x O ir funkcijas f minimālais punkts (x).

Pierādījums. Lai ir izpildīti visi rindkopas nosacījumi A). Pieņemsim punktu X(no norādītā intervāla) tā, ka X <X ak, un piemēro Lagranža teorēmu intervālam ( X; X O). Mēs iegūstam: f(x 0) -f(x) = (x 0 -x)×f¢( x 1), kur x 1 — kāds punkts no ( X; X O). Pēc nosacījuma, f¢( x 1) > 0 un ( x 0 -x) > 0, tāpēc f(x 0) >f(x) . Līdzīgi ir pierādīts, ka jebkuram punktam X >X ak arī f(x 0) >f(x). No šiem apgalvojumiem izriet, ka tas ir maksimālais punkts, paziņojums A) ir pierādīts. Apgalvojums tiek pierādīts līdzīgā veidā b).

11. piemērs. 9. piemērs parāda, ka funkcija plkst= X 3 visur palielinās, tāpēc tai nav ekstrēmu. Patiešām, tā atvasinājums y"= 3X 2 ir vienāds ar nulli tikai tad, ja X o = 0, t.i. šajā brīdī ir izpildīts nepieciešamais nosacījums funkcijas galējībai. Bet, izejot cauri 0, tā atvasinājums y"= 3X 2 nemaina zīmi, tāpēc X o = 0 nav šīs funkcijas galējais punkts.

12. piemērs. 10. piemērs parāda, ka funkcija plkst = 0,25X 4 - 0,5X 2 ir kritiskie punkti X 1 = 0, X 2 = -1, X 3 = 1. 34. zīmējumā norādīts, ka, ejot cauri šiem punktiem, tā atvasinājums maina zīmi, tāpēc X 1 , X 2 , X 3 - ekstremitāšu punkti, kamēr X 1 = 0 ir maksimālais punkts un X 2 = -1, X 3 = 1 - punktu minimums.

Tālāk šim piemēram tiek izveidots zīmējums. Funkcija f(x) = 0,25X 4 - 0,5X 2 tiek pētīts paritāte: f(-x) = 0,25(-X) 4 - 0,5(-X) 2 = f(x), tāpēc šī funkcija ir pāra, un tās grafiks ir simetrisks pret asi OY. Iepriekš atrastie grafika punkti un daži palīgpunkti, kas atrodas grafikā, ir attēloti un savienoti ar gludu līniju.

y= 0,25x 4 - 0,5x 2 0,5 -0,11

1 0 maks 1 x Ö`1/3 –0,14 A B

Sasodīts.37.

8. teorēma (otrais pietiekams nosacījums ekstremitātei). Ļaujiet x 0 – funkcijas kritiskais punkts f(x), un ir otrās kārtas atvasinājums f¢¢( X 0). Tad:

a) ja f ¢¢( X 0) < 0, tad x 0 – funkcijas f maksimālais punkts(x);

b) ja f ¢¢( X 0) > 0, tad x 0 - funkcijas f minimālais punkts(x).

Šīs teorēmas pierādījums netiek izskatīts (sk.).

13. piemērs. Pārbaudiet funkcijas y ekstrēmu= 2x 2 - x 4 .

Risinājums. Atvasinājums ir atrasts y¢ un kritiskie punkti, kuros

y¢ = 9: y¢ = 4 x - 4x 3 ; 4x - 4x 3 = 0 ® x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = -1 - kritiskie punkti. Tiek atrasts otrās kārtas atvasinājums y¢¢ un tā vērtības kritiskajos punktos tiek aprēķinātas: y¢¢= 4–12 X 2 ; y¢¢(0) = 4, y¢¢(1) = –8, y¢¢(-1) = –8. Jo y¢¢(0) > 0, tad x 1 = 0 - minimālais punkts; un kopš tā laika y¢¢ (1)< 0, y¢¢ (-1)< 0, то x 2 = 1, x 3 = -1 - šīs funkcijas maksimālie punkti.

Funkcijas absolūtā ekstremitāte segmentā [a; b] sauc par lielāko un mazāko vērtību f(x) uz [ a; b]. Šīs galējības tiek sasniegtas vai nu funkcijas kritiskajos punktos f(x), vai segmenta beigās [ a; b].

14. piemērs. Nosakiet funkcijas y lielāko un mazāko vērtību = X 2× lnx par intervālu .

Risinājums. Tiek atrasts šīs funkcijas atvasinājums un tās kritiskie punkti: plkst¢ = 2 x× lnx + x 2 ×(1/ x) = x×(2 lnx+1); x×(2× lnx+1) = 0 ® a) X 1 = 0; b) 2× lnx+ 1 = 0 ® ln x= -0,5 ® X 2 = e - 0,5 = 1/Ö `e» 0,607. Kritiskais punkts X 1 = 0 nav iekļauts aplūkotajā intervālā, tāpēc funkcijas vērtības tiek atrastas punktā X 2 = e- 0,5 un galos A= 0,5, b = e. plkst(e -0,5) = (e- 0,5) 2 × ln(e - 0,5) =e - 1 (-0,5) = -0,5/e» -0,184; plkst(0,5) = 0,25 × ln 0,5 »0,25(-0,693) = -0,17325; plkst(e) = e 2× lne = e 2 × 1 collas 7,389. No atrastajām vērtībām tiek atlasītas lielākās un mazākās vērtības: lielākā vērtība "7,389 collas X = e, mazākā vērtība "-0,184 V pie X = e - 0,5 .

Ekstrēmas problēmas.

Šādās problēmās tiek ņemti vērā divi mainīgie X Un plkst, un jums ir jāatrod šāda vērtība X, pie kuras vērtība plkst ir lielākais vai mazākais. Šīs problēmas risināšana ietver šādas darbības:

1) ir izvēlēta galējā vērtība y, kura maksimālais vai minimums ir jāatrod;

2) ir atlasīts mainīgais X, Un y izteikts cauri X;

3) tiek aprēķināts atvasinājums plkst"un ir kritiski punkti, kuros plkst" ir 0 vai neeksistē;

4) tiek izmeklēti kritiskie punkti ekstremitātē;

5) tiek ņemtas vērā vērtības y galos, un tiek aprēķināta uzdevumā nepieciešamā vērtība.

15. piemērs. Eksperimentāli ir noskaidrots, ka benzīna patēriņš

plkst(l) ieslēgts 100 km ar automašīnu GAZ-69 atkarībā no ātruma x(km/h) apraksta ar funkciju y = 18 - 0,3X + 0,003X 2 . Nosakiet visekonomiskāko ātrumu.

Risinājums.Šeit problēmas paziņojumā tiek veiktas pirmās divas darbības 1) un 2). Tāpēc atvasinājums tiek nekavējoties aprēķināts: y"= -0,3 +0,006X, un tiek atrasts kritiskais punkts: -0,3 + 0,006 X = 0 ® X o = 50. Tagad ekstrēmam ir spēkā otrs pietiekams nosacījums: y""= 0,006 > 0 jebkurā brīdī, tāpēc X o = 50 - minimālais punkts. Secinājums: visekonomiskākais ātrums ir 50 km/h, savukārt benzīna patēriņš 18 - 0,3 × 50 + 0,003 × 50 2 = 10,5 litri. uz 100 km.

16. piemērs. No kvadrātveida kartona loksnes ar 60 cm malu stūros izgriež vienādus kvadrātus un no atlikušās daļas pielīmē taisnstūrveida kastīti. Kādai jābūt nogrieztā kvadrāta malai, lai kastes tilpums būtu vislielākais?.

Risinājums. Lai atrisinātu problēmu, tiek veiktas iepriekš minētās darbības.

1). Pēc nosacījuma kastes tilpumam jābūt lielākajam, tāpēc ļaujiet y- kastes tilpums.

2). Aiz muguras X(cm) ņem to kvadrāta pusi, kuru izgriež. Tad kastes augstums būs vienāds ar X un kastes pamatne būs kvadrāts ar malu

(60 – 2X), tā platība ir (60–2 X) 2 . Tāpēc kastes tilpums ir y= X(60 – 2X) 2 = 3600X - 240X 2 + 4X 3 .

3). Tiek aprēķināts atvasinājums un atrasti kritiskie punkti: y"= 3600 - 480X + 12X 2 ; X 2 - 40X+300 = 0 ® X 1 =10, X 2 =30 - kritiskie punkti.

4). Otrās kārtas atvasinājums ir vienāds ar y""= - 480 + 24X Un y""(10) = -240, y""(30) = 240. Pēc 8. teorēmas X 1 =10 - maksimālais punkts un y max = 400 (cm 3).

5). Turklāt, X var pieņemt galēju vērtību X 3 = 0. Bet plkst(0) = 0 — tas ir mazāks par y maks.

Atbilde: Izgrieztā kvadrāta mala ir 10 cm.

©2015-2019 vietne
Visas tiesības pieder to autoriem. Šī vietne nepretendē uz autorību, bet nodrošina bezmaksas izmantošanu.
Lapas izveides datums: 2016-08-20