Diskretus vadinamas atsitiktiniu dydžiu, kuris su tam tikromis tikimybėmis gali įgyti atskiras, izoliuotas reikšmes.
1 PAVYZDYS. Kiek kartų herbas pasirodo trijose monetose. Galimos reikšmės: 0, 1, 2, 3, jų tikimybės atitinkamai lygios:
P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .
2 PAVYZDYS. Sugedusių elementų skaičius įrenginyje, kurį sudaro penki elementai. Galimos reikšmės: 0, 1, 2, 3, 4, 5; jų tikimybės priklauso nuo kiekvieno elemento patikimumo.
Diskretus atsitiktinis dydis X gali būti pateikta skirstinio seka arba skirstinio funkcija (integralinio skirstinio dėsnis).
Netoli platinimo yra visų galimų reikšmių rinkinys Xi ir atitinkamas tikimybes Ri = P(X = xi), ją galima nurodyti kaip lentelę:
| x i | x n |
|||
| p i | р n |
Tuo pačiu ir tikimybės Ri patenkinti sąlygą
Ri= 1, nes 
kur yra galimų reikšmių skaičius n gali būti baigtinis arba begalinis.
Grafinis pasiskirstymo serijos vaizdavimas vadinamas paskirstymo daugiakampiu . Norėdami jį sukurti, galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ( Xi) brėžiami išilgai x ašies ir tikimybės Ri- išilgai ordinačių ašies; taškų Ai su koordinatėmis ( Xaš, рi) yra sujungti trūkinėmis linijomis.
Paskirstymo funkcija atsitiktinis kintamasis X vadinama funkcija F(X), kurio vertė taške X yra lygi tikimybei, kad atsitiktinis kintamasis X bus mažesnė už šią vertę X, tai yra
F(x) = P(X< х).
Funkcija F(X) Dėl diskrečiųjų atsitiktinių dydžių apskaičiuojamas pagal formulę
F(X) = Ri , (1.10.1)
kur sumuojama visomis reikšmėmis i, kuriam Xi< х.
3 PAVYZDYS. Iš partijos, kurioje yra 100 gaminių, iš kurių 10 yra brokuotų, atsitiktine tvarka atrenkami penki gaminiai jų kokybei patikrinti. Sukurkite atsitiktinio skaičiaus skirstinių eilę X pavyzdyje esantys nekokybiški gaminiai.
Sprendimas. Kadangi pavyzdyje gaminių su trūkumais skaičius gali būti bet koks sveikasis skaičius nuo 0 iki 5 imtinai, galimos reikšmės Xi atsitiktinis kintamasis X yra lygūs:
x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.
Tikimybė R(X = k) kad pavyzdyje yra tiksliai k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) nekokybiški gaminiai, lygūs
P (X = k) = .
Skaičiuodami pagal šią formulę 0,001 tikslumu, gauname:
R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;
R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.
Patikrinkite lygybę Rk=1, įsitikiname, kad skaičiavimai ir apvalinimas buvo atlikti teisingai (žr. lentelę).
| x i | ||||||
| p i |
4 PAVYZDYS. Duota atsitiktinio dydžio pasiskirstymo eilutė X :
| x i | |||||
| p i |
Raskite tikimybių skirstinio funkciją F(X) šio atsitiktinio dydžio ir sukonstruoti jį.
Sprendimas. Jeigu X Tada 10 svarų F(X)= P(X<X) = 0;
jei 10<X Tada 20 svarų F(X)= P(X<X) = 0,2 ;
jei 20<X Tada £30 F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;
jei 30<X Tada 40 svarų F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;
jei 40<X Tada £50 F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;
Jeigu X> 50, tada F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.
PASKIRSTYMO DĖSNIS IR CHARAKTERISTIKOS
ATSITIKTINIAI KINTAMAI
Atsitiktiniai dydžiai, jų klasifikacija ir aprašymo metodai.
Atsitiktinis dydis – tai dydis, kuris eksperimento rezultatu gali įgyti vienokią ar kitokią reikšmę, bet kuris iš anksto nėra žinomas. Todėl atsitiktiniam dydžiui galite nurodyti tik reikšmes, kurių vienos tikrai reikės kaip eksperimento rezultatą. Toliau šias reikšmes vadinsime galimomis atsitiktinio dydžio reikšmėmis. Kadangi atsitiktinis dydis kiekybiškai apibūdina atsitiktinį eksperimento rezultatą, jį galima laikyti kiekybine atsitiktinio įvykio charakteristika.
Atsitiktiniai kintamieji paprastai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis, pavyzdžiui, X..Y..Z, o galimos jų reikšmės – atitinkamomis mažomis raidėmis.
Yra trijų tipų atsitiktiniai dydžiai:
Diskretus; Nepertraukiamas; Mišrus.
Diskretus yra atsitiktinis dydis, kurio galimų reikšmių skaičius sudaro skaičiuojamą aibę. Savo ruožtu aibė, kurios elementus galima sunumeruoti, vadinama skaičiuojama. Žodis „diskretus“ kilęs iš lotyniško žodžio discretus, reiškiančio „nepertraukiamas, susidedantis iš atskirų dalių“.
1 pavyzdys. Diskretusis atsitiktinis dydis yra sugedusių dalių X skaičius nproduktų partijoje. Iš tiesų, galimos šio atsitiktinio dydžio reikšmės yra sveikųjų skaičių nuo 0 iki n.
2 pavyzdys. Diskretusis atsitiktinis dydis yra šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį. Čia, kaip ir 1 pavyzdyje, galimos reikšmės gali būti sunumeruotos, nors ribiniu atveju galima reikšmė yra be galo didelis skaičius.
Nuolatinis yra atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės nuolat užpildo tam tikrą skaitinės ašies intervalą, kartais vadinamą šio atsitiktinio dydžio egzistavimo intervalu. Taigi bet kuriame baigtiniame egzistavimo intervale nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra be galo didelis.
3 pavyzdys. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra įmonės elektros energijos suvartojimas per mėnesį.
4 pavyzdys. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra paklaida matuojant aukštį naudojant aukščiamatį. Iš aukščiamačio veikimo principo tebūnie žinoma, kad paklaida yra intervale nuo 0 iki 2 m. Todėl šio atsitiktinio dydžio egzistavimo intervalas yra intervalas nuo 0 iki 2 m.
Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis.
Atsitiktinis dydis laikomas visiškai apibrėžtu, jei jo galimos reikšmės nurodytos skaitinėje ašyje ir nustatytas skirstymo dėsnis.
Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio verčių ir atitinkamų tikimybių.
Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis yra paskirstytas pagal tam tikrą dėsnį arba jam taikomas tam tikras pasiskirstymo įstatymas. Kai kurie tikimybių, pasiskirstymo funkcijos, tikimybių tankio ir charakteristikų funkcijos yra naudojami kaip pasiskirstymo dėsniai.
Pasiskirstymo dėsnis pateikia išsamų tikėtiną atsitiktinio dydžio aprašymą. Pagal pasiskirstymo dėsnį, prieš eksperimentą galima nuspręsti, kurios galimos atsitiktinio dydžio reikšmės pasirodys dažniau, o kurios rečiau.
Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu, analitiškai (formulės pavidalu) ir grafiškai.
Paprasčiausias diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio nurodymo būdas yra lentelė (matrica), kurioje didėjimo tvarka surašytos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir jas atitinkančios tikimybės, t.y.
Tokia lentelė vadinama diskretiškojo atsitiktinio dydžio skirstinio seka. 1
Įvykiai X 1, X 2,..., X n, susidedantys iš to, kad atlikus testą atsitiktinis dydis X atitinkamai įgis x 1, x 2,... x n reikšmes. nenuoseklūs ir vieninteliai galimi (kadangi lentelėje pateikiamos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės), t.y. sudaryti pilną grupę. Todėl jų tikimybių suma lygi 1. Taigi bet kuriam diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui
(Šis vienetas kažkaip paskirstomas tarp atsitiktinio dydžio reikšmių, taigi ir terminas „paskirstymas“).
Pasiskirstymo eilutes galima pavaizduoti grafiškai, jei atsitiktinio dydžio reikšmės brėžiamos išilgai abscisių ašies, o jų atitinkamos tikimybės – išilgai ordinačių ašies. Sujungus gautus taškus, susidaro trūkinė linija, vadinama tikimybių skirstinio daugiakampiu arba daugiakampiu (1 pav.).
PavyzdysĮ loteriją įeina: automobilis, kurio vertė 5000 den. vnt., 4 televizoriai, kainuojantys 250 den. vnt., 5 vaizdo registratoriai, kurių vertė 200 den. vienetų Iš viso 7 dienoms parduodama 1000 bilietų. vienetų Sudarykite loterijos dalyvio, įsigijusio vieną bilietą, grynųjų laimėjimų paskirstymo įstatymą.
Sprendimas. Galimos atsitiktinio dydžio X reikšmės - grynasis laimėjimas už bilietą - yra lygios 0-7 = -7 pinigai. vienetų (jei bilietas nelaimėjo), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. vienetų (jei biliete yra atitinkamai vaizdo grotuvo, televizoriaus ar automobilio laimėjimai). Atsižvelgdami į tai, kad iš 1000 bilietų nelaimėjusiųjų skaičius yra 990, o nurodyti laimėjimai yra atitinkamai 5, 4 ir 1, ir naudojant klasikinį tikimybės apibrėžimą, gauname.
1 skyrius. Diskretus atsitiktinis dydis
§ 1. Atsitiktinio dydžio sąvokos.
Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis.
Apibrėžimas : Atsitiktinis yra dydis, kuris dėl testavimo iš galimo reikšmių rinkinio paima tik vieną reikšmę, kuri iš anksto nežinoma ir priklauso nuo atsitiktinių priežasčių.
Yra dviejų tipų atsitiktiniai dydžiai: diskretieji ir nuolatiniai.
Apibrėžimas : vadinamas atsitiktiniu dydžiu X diskretus (nepertraukiamas), jei jo reikšmių rinkinys yra baigtinis arba begalinis, bet skaičiuojamas.
Kitaip tariant, galimas diskrečiojo atsitiktinio dydžio reikšmes galima pernumeruoti.
Atsitiktinį kintamąjį galima apibūdinti naudojant jo pasiskirstymo dėsnį.
Apibrėžimas : Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis vadinti atitiktį tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų tikimybių.
Diskretaus atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu, kurios pirmoje eilutėje didėjimo tvarka nurodomos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, o antroje – atitinkamos jų tikimybės. vertybes, t.y.
kur р1+ р2+…+ рn=1
Tokia lentelė vadinama diskretiškojo atsitiktinio dydžio skirstinio seka.
Jei atsitiktinio dydžio galimų reikšmių aibė yra begalinė, tai eilutė p1+ p2+…+ pn+… suartėja ir jos suma lygi 1.
Grafiškai gali būti pavaizduotas diskretinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis, kuriam stačiakampėje koordinačių sistemoje nubrėžiama trūkinė linija, nuosekliai jungianti taškus su koordinatėmis (xi; pi), i=1,2,…n. Gauta eilutė vadinama paskirstymo daugiakampis (1 pav.).
Organinė chemija" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organinė chemija yra atitinkamai 0,7 ir 0,8. Sudarykite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį – egzaminų, kuriuos mokinys išlaikys, skaičių.
Sprendimas. Atsitiktinis dydis X, kaip egzamino rezultatas, gali turėti vieną iš šių reikšmių: x1=0, x2=1, x3=2.
Raskime šių reikšmių tikimybę. Pažymime įvykius:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Taigi, atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį pateikia lentelė:
Kontrolė: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Paskirstymo funkcija
Išsamų atsitiktinio dydžio aprašymą taip pat pateikia pasiskirstymo funkcija.
Apibrėžimas: Diskretinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija vadinama funkcija F(x), kuri kiekvienai reikšmei x nustato tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgis mažesnę nei x reikšmę:
F(x)=P(X<х)
Geometriškai pasiskirstymo funkcija interpretuojama kaip tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę, kuri skaičių tiesėje pavaizduota tašku, esančiu kairėje nuo taško x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) yra nemažėjanti funkcija (-∞;+∞);
3) F(x) - ištisinis kairėje taškuose x= xi (i=1,2,...n) ir tolydis visuose kituose taškuose;
4) F(-∞) = P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Jei diskrečiojo atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis pateikiamas lentelės pavidalu:
tada paskirstymo funkcija F(x) nustatoma pagal formulę:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0, jei x≤ x1,
р1 prie x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 ties x2< х≤ х3
1 x>xn.
Jo grafikas parodytas 2 pav.
§ 3. Diskretaus atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos.
Viena iš svarbių skaitinių charakteristikų yra matematinis lūkestis.
Apibrėžimas: Matematinis lūkestis M(X) Diskretusis atsitiktinis dydis X yra visų jo reikšmių ir atitinkamų tikimybių sandaugų suma:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio vidutinės vertės charakteristika.
Matematinės lūkesčių savybės:
1)M(C)=C, kur C yra pastovi reikšmė;
2) M(C X) = C M(X),
3) M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), kur X, Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai;
5)M(X±C)=M(X)±C, kur C yra pastovi reikšmė;
Norint apibūdinti galimų diskretiškojo atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos laipsnį aplink jo vidutinę vertę, naudojama dispersija.
Apibrėžimas: Dispersija D ( X ) Atsitiktinis kintamasis X yra matematinis atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo matematinio tikėjimo kvadratas:
Dispersijos savybės:
1)D(C)=0, kur C yra pastovi reikšmė;
2)D(X)>0, kur X yra atsitiktinis dydis;
3)D(C X)=C2 D(X), kur C yra pastovi reikšmė;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), kur X, Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai;
Apskaičiuojant dispersiją dažnai patogu naudoti formulę:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
kur M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Dispersija D(X) turi kvadratinio atsitiktinio dydžio dydį, o tai ne visada patogu. Todėl reikšmė √D(X) taip pat naudojama kaip galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos indikatorius.
Apibrėžimas: Standartinis nuokrypis σ(X) Atsitiktinis kintamasis X vadinamas dispersijos kvadratine šaknimi:
2 užduotis. Diskrečiasis atsitiktinis dydis X nurodomas skirstymo dėsniu:
Raskite P2, pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite jos grafiką, taip pat M(X), D(X), σ(X).
Sprendimas: Kadangi atsitiktinio dydžio X galimų reikšmių tikimybių suma yra lygi 1, tada
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Raskime skirstinio funkciją F(x)=P(X Geometriškai ši lygybė gali būti aiškinama taip: F(x) yra tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, kurią skaičių ašyje vaizduoja taškas, esantis kairėje nuo taško x. Jei x≤-1, tai F(x)=0, nes (-∞;x) nėra nė vienos šio atsitiktinio dydžio reikšmės; Jei -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Jei 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) yra dvi reikšmės x1=-1 ir x2=0; Jei 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Jei 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Jei x>3, tai F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, nes keturios reikšmės x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 patenka į intervalą (-∞;x) ir x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 ties x≤-1, 0,1 iki -1<х≤0, 0,2 prie 0<х≤1, F(x) = 0,5 ties 1<х≤2, 0,7 prie 2<х≤3, 1, x>3 Pavaizduokime funkciją F(x) grafiškai (3 pav.): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845. §
4. Binominio skirstinio dėsnis Diskretusis atsitiktinis dydis, Puasono dėsnis. Apibrėžimas: Dvejetainė
vadinamas diskretiškojo atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsniu – įvykio A atvejų skaičius n nepriklausomų pakartotinių bandymų, kurių kiekviename įvykis A gali įvykti su tikimybe p arba neįvykti su tikimybe q = 1-p. Tada P(X=m) – tikimybė, kad įvykis A įvyks tiksliai m kartų per n bandymų, apskaičiuojama naudojant Bernulio formulę: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Atsitiktinio dydžio X, paskirstyto pagal dvejetainį dėsnį, matematinė tikėtis, sklaida ir standartinis nuokrypis randami atitinkamai naudojant formules: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Įvykio A tikimybė – „penketo išleidimas“ kiekviename bandyme yra tokia pati ir lygi 1/6 , t.y. P(A)=p=1/6, tada P(A)=1-p=q=5/6, kur - „nesugebėjimas gauti A“. Atsitiktinis dydis X gali turėti šias reikšmes: 0;1;2;3. Kiekvienos galimos X reikšmės tikimybę randame naudodami Bernulio formulę: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Tai. atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis yra toks: Kontrolė: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Raskime atsitiktinio dydžio X skaitines charakteristikas: M(X) = np = 3 (1/6) = 1/2, D(X) = npq = 3 (1/6) (5/6) = 5/12, 4 užduotis. Automatinė mašina štampuoja dalis. Tikimybė, kad pagaminta dalis bus sugedusi, yra 0,002. Raskite tikimybę, kad tarp 1000 pasirinktų dalių bus: a) 5 su defektais; b) bent vienas yra sugedęs. Sprendimas:
Skaičius n=1000 yra didelis, tikimybė pagaminti sugedusią detalę p=0,002 maža, o nagrinėjami įvykiai (pasirodo, kad dalis sugedusi) yra nepriklausomi, todėl galioja Puasono formulė: Рn(m)= e-
λ
λm Raskime λ=np=1000 0,002=2. a) Raskite tikimybę, kad bus 5 sugedusios dalys (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Raskite tikimybę, kad bus bent viena sugedusi dalis. Įvykis A – „bent viena iš pasirinktų dalių yra sugedusi“ yra priešinga įvykiui – „visos pasirinktos dalys nėra sugedusios“. Todėl P(A) = 1-P(). Taigi norima tikimybė yra lygi: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Savarankiško darbo užduotys.
1.1
1.2.
Išsklaidytas atsitiktinis dydis X nurodomas pasiskirstymo dėsniu: Raskite p4, pasiskirstymo funkciją F(X) ir nubraižykite jos grafiką, taip pat M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Dėžutėje yra 9 žymekliai, iš kurių 2 neberašo. Atsitiktinai paimkite 3 žymeklius. Atsitiktinis kintamasis X yra rašymo žymeklių skaičius tarp paimtų. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį. 1.4.
Bibliotekos lentynoje atsitiktinai sustatyti 6 vadovėliai, iš kurių 4 įrišti. Bibliotekininkė atsitiktinai paima 4 vadovėlius. Atsitiktinis kintamasis X yra įrištų vadovėlių skaičius tarp paimtų. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį. 1.5.
Ant bilieto yra dvi užduotys. Tikimybė teisingai išspręsti pirmąjį uždavinį yra 0,9, antrąjį - 0,7. Atsitiktinis kintamasis X yra teisingai išspręstų problemų skaičius biliete. Sudarykite pasiskirstymo dėsnį, apskaičiuokite šio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją, taip pat suraskite pasiskirstymo funkciją F(x) ir sukurkite jos grafiką. 1.6.
Trys šauliai šaudo į taikinį. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,5 pirmajam šauliui, 0,8 – antrajam, 0,7 – trečiajam. Atsitiktinis kintamasis X yra smūgių į taikinį skaičius, jei šauliai iššauna vieną šūvį vienu metu. Raskite pasiskirstymo dėsnį, M(X),D(X). 1.7.
Krepšininkas meta kamuolį į krepšį, kurio kiekvieno metimo tikimybė yra 0,8. Už kiekvieną pataikymą jis gauna 10 taškų, o jei nepataiko, taškai jam neskiriami. Sudarykite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį – krepšininko surinktų taškų skaičių per 3 metimus. Raskite M(X),D(X), taip pat tikimybę, kad jis gaus daugiau nei 10 taškų. 1.8.
Ant kortelių rašomos raidės, iš viso 5 balsės ir 3 priebalsiai. Atsitiktinai parenkamos 3 kortelės ir kiekvieną kartą paimta kortelė grąžinama atgal. Atsitiktinis kintamasis X yra balsių skaičius tarp paimtų balsių. Sudarykite pasiskirstymo dėsnį ir raskite M(X),D(X),σ(X). 1.9.
Vidutiniškai mažiau nei 60% sutarčių draudimo bendrovė sumoka draudimo sumas, susijusias su įvykusiu draudiminiu įvykiu. Sudarykite atsitiktinio dydžio X paskirstymo dėsnį – sutarčių, už kurias buvo sumokėta draudimo suma, skaičius tarp keturių atsitiktinai atrinktų sutarčių. Raskite šio dydžio skaitines charakteristikas. 1.10.
Radijo stotis tam tikrais intervalais siunčia šaukinius (ne daugiau kaip keturis), kol užmezgamas dvipusis ryšys. Tikimybė gauti atsakymą į šaukinį yra 0,3. Atsitiktinis kintamasis X yra išsiųstų šaukinių skaičius. Sudarykite paskirstymo dėsnį ir raskite F(x). 1.11.
Yra 3 rakteliai, iš kurių tik vienas tinka spynai. Sudarykite atsitiktinio dydžio X bandymų atidaryti spyną skaičiaus pasiskirstymo dėsnį, jei bandytas raktas nedalyvauja tolesniuose bandymuose. Raskite M(X), D(X). 1.12.
Siekiant užtikrinti patikimumą, atliekami nuoseklūs nepriklausomi trijų įrenginių bandymai. Kiekvienas paskesnis įrenginys išbandomas tik tuo atveju, jei ankstesnis pasirodė patikimas. Kiekvieno įrenginio testo išlaikymo tikimybė yra 0,9. Sudarykite atsitiktinio dydžio X išbandytų įrenginių pasiskirstymo dėsnį. 1.13
.Diskretusis atsitiktinis kintamasis X turi tris galimas reikšmes: x1=1, x2, x3 ir x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Elektroninio įrenginio bloke yra 100 identiškų elementų. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė per laiką T yra 0,002. Elementai veikia savarankiškai. Raskite tikimybę, kad ne daugiau kaip du elementai suges per laiką T. 1.15.
Vadovėlis išleistas 50 000 egzempliorių tiražu. Tikimybė, kad vadovėlis įrištas neteisingai, yra 0,0002. Raskite tikimybę, kad cirkuliacijoje yra: a) keturios brokuotos knygos, b) mažiau nei dvi brokuotos knygos. 1
.16.
Kas minutę į PBX atvykstančių skambučių skaičius paskirstomas pagal Puasono dėsnį parametru λ=1,5. Raskite tikimybę, kad po minutės ateis: a) du skambučiai; b) bent vienas skambutis. 1.17.
Raskite M(Z),D(Z), jei Z=3X+Y. 1.18.
Pateikiami dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai: Raskite M(Z),D(Z), jei Z=X+2Y. Atsakymai:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0, kai x≤-2, 0,3 iki -2<х≤0, F(x) = 0,5 esant 0<х≤2, 0,9 prie 2<х≤5, 1 x>5 0,3 prie -1<х≤0, 0,4 prie 0<х≤1, F(x) = 0,6 ties 1<х≤2, 0,7 prie 2<х≤3, 1, x>3 M(X) = 1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 x ≤0, 0,03 prie 0<х≤1, F(x) = 0,37 ties 1<х≤2, 1 x>2 M(X) = 2; D(X)=0,62 M(X) = 2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X) = 15/8; D(X) = 45/64; σ(X) ≈ M(X) = 2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X) = 2; D(X) = 2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. 2 skyrius. Nuolatinis atsitiktinis dydis
Apibrėžimas: Nuolatinis
yra dydis, kurio visos galimos reikšmės visiškai užpildo baigtinį arba begalinį skaičių eilutės intervalą. Akivaizdu, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis. Ištisinis atsitiktinis dydis gali būti nurodytas naudojant paskirstymo funkciją. Apibrėžimas: F paskirstymo funkcija
ištisinis atsitiktinis kintamasis X vadinamas funkcija F(x), kuri kiekvienai reikšmei nustato xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Pasiskirstymo funkcija kartais vadinama kaupiamojo pasiskirstymo funkcija. Paskirstymo funkcijos savybės:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Nepertraukiamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra ištisinė bet kuriame taške ir diferencijuota visur, išskyrus, galbūt, atskirus taškus. 3) Tikimybė, kad atsitiktinis dydis X pateks į vieną iš intervalų (a;b), [a;b], [a;b], yra lygi funkcijos F(x) reikšmių skirtumui. taškuose a ir b, t.y. R(a)<Х 4) Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis dydis X įgis vieną atskirą reikšmę, yra 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Ištisinio atsitiktinio dydžio nurodymas naudojant paskirstymo funkciją nėra vienintelis būdas. Įveskime tikimybių pasiskirstymo tankio (paskirstymo tankio) sąvoką. Apibrėžimas
:
Tikimybių pasiskirstymo tankis
f
(
x
)
ištisinio atsitiktinio dydžio X yra jo pasiskirstymo funkcijos išvestinė, ty: Tikimybių tankio funkcija kartais vadinama diferencinio pasiskirstymo funkcija arba diferencinio pasiskirstymo dėsniu. Tikimybių tankio skirstinio f(x) grafikas vadinamas tikimybių pasiskirstymo kreivė
.
Tikimybių tankio skirstinio savybės:
1) f(x) ≥0, adresu xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx + ∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/) 2-4))=8s; b) Yra žinoma, kad F(x)= ∫ f(x)dx Todėl x jei x≤2, tai F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 jei x>6, tai F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Taigi, 0, kai x≤2, F(x)= (x-2) 2/16 ties 2<х≤6, 1 x>6. Funkcijos F(x) grafikas parodytas 3 pav https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 x ≤0, F(x)= (3 arctan x)/π esant 0<х≤√3, 1 x>√3. Raskite diferencinio pasiskirstymo funkciją f(x) Sprendimas:
Kadangi f(x)= F’(x), tada DIV_ADBLOCK93"> · Matematinis lūkestis M (X)
nuolatinis atsitiktinis dydis X nustatomas pagal lygybę: M(X)= ∫ x f(x)dx, su sąlyga, kad šis integralas absoliučiai suartėja. · Sklaida
D
(
X
)
nuolatinis atsitiktinis dydis X nustatomas lygybe: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx arba D(X)= ∫ x2 f(x)dx – (M(x))2 · Standartinis nuokrypis σ(Х)
nuolatinis atsitiktinis dydis nustatomas pagal lygybę: Visos matematinio lūkesčio ir sklaidos savybės, aptartos anksčiau pasklidiesiems atsitiktiniams dydžiams, galioja ir tolydžiosioms. Užduotis Nr.3. Atsitiktinis dydis X nurodomas diferencine funkcija f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6 = 31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 – - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Savarankiško sprendimo problemos.
2.1.
Nuolatinis atsitiktinis dydis X nurodomas paskirstymo funkcija: 0, kai x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0, jei x≤ π/6, F(x)= – cos 3x ties π/6<х≤ π/3, 1, kai x> π/3. Raskite diferencinio pasiskirstymo funkciją f(x), taip pat Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0, kai x≤2, f(x)= c x ties 2<х≤4, 0 x>4. 2.4.
Nuolatinis atsitiktinis dydis X nurodomas pasiskirstymo tankiu: 0, kai x≤0, f(x)= c √x esant 0<х≤1, 0 x>1. Raskite: a) skaičių c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> ties x, 0 ties x. Raskite: a) F(x) ir sudarykite jos grafą; b) M(X), D(X), σ(X); c) tikimybę, kad keturiuose nepriklausomuose bandymuose X reikšmė lygiai 2 kartus viršys reikšmę, priklausančią intervalui (1;4). 2.6.
Pateikiamas nuolatinio atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis: f(x)= 2(x-2) ties x, 0 ties x. Raskite: a) F(x) ir sudarykite jos grafą; b) M(X), D(X), σ (X); c) tikimybę, kad per tris nepriklausomus bandymus X reikšmė lygiai 2 kartus viršys segmentui priklausančią reikšmę. 2.7.
F(x) funkcija pateikiama taip: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
F(x) funkcija pateikiama taip: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Raskite: a) konstantos c reikšmę, kuriai esant funkcija bus kokio nors atsitiktinio dydžio X tikimybės tankis; b) pasiskirstymo funkcija F(x). 2.9.
Atsitiktinis dydis X, sutelktas į intervalą (3;7), nurodomas pasiskirstymo funkcija F(x)= . Raskite tikimybę, kad Atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę: a) mažesnę nei 5, b) ne mažesnę nei 7. 2.10.
Atsitiktinis kintamasis X, sutelktas į intervalą (-1;4), pateikiama pasiskirstymo funkcija F(x)= . Raskite tikimybę, kad Atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę: a) mažesnę nei 2, b) ne mažesnę nei 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Raskite: a) skaičių c; b) M(X); c) tikimybė P(X> M(X)). 2.12.
Atsitiktinis dydis nurodomas diferencinio pasiskirstymo funkcija: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Raskite: a) M(X); b) tikimybė P(X≤M(X)) 2.13.
Rem skirstinys pateikiamas tikimybių tankiu: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0. Įrodykite, kad f(x) iš tikrųjų yra tikimybės tankio funkcija. 2.14.
Pateikiamas nuolatinio atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(5 pav.) 2.16.
Atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal „stačiojo trikampio“ dėsnį intervale (0;4) (5 pav.). Raskite tikimybės tankio f(x) analitinę išraišką visoje skaičių eilutėje. Atsakymai
0, kai x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0, jei x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x ties π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 x≤a, f(x)= a<х 0 x≥b. Funkcijos f(x) grafikas parodytas pav. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Užduotis Nr.1. Atsitiktinis dydis X yra tolygiai paskirstytas segmente. Rasti: a) tikimybių pasiskirstymo tankį f(x) ir nubraižykite jį; b) pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite ją; c) M(X), D(X), σ(X). Sprendimas:
Naudodami aukščiau aptartas formules, kai a=3, b=7, randame: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7, 0 x>7 Sukurkime jo grafiką (3 pav.): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 x ≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">4 pav. D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 at x<0, f(x)= λе-λх, kai x≥0. Atsitiktinio dydžio X, paskirstyto pagal eksponentinį dėsnį, pasiskirstymo funkcija pateikiama formule: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> 6 pav. Eksponentinio skirstinio matematinės lūkesčiai, dispersija ir standartinis nuokrypis yra atitinkamai lygūs: M(X)= , D(X)=, σ (Х)= Taigi, matematinis lūkestis ir standartinis eksponentinio skirstinio nuokrypis yra lygūs vienas kitam. Tikimybė, kad X pateks į intervalą (a;b), apskaičiuojama pagal formulę: P(a<Х 2 užduotis. Vidutinis įrenginio veikimo be gedimų laikas yra 100 valandų. Darant prielaidą, kad įrenginio veikimo be gedimų laikas turi eksponentinį pasiskirstymo dėsnį, raskite: a) tikimybių pasiskirstymo tankis; b) paskirstymo funkcija; c) tikimybę, kad įrenginio veikimo be gedimų laikas viršys 120 valandų. Sprendimas:
Pagal sąlygą matematinis skirstinys M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x, kai x≥0. b) F(x)= 0 ties x<0, 1-e -0,01x, kai x≥0. c) Naudodami paskirstymo funkciją randame norimą tikimybę: P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1,2)=e-1,2≈0,3. §
3.Normalaus paskirstymo dėsnis Apibrėžimas:
Ištisinis atsitiktinis dydis X turi normalaus paskirstymo dėsnis (Gauso dėsnis),
jei jo pasiskirstymo tankis turi tokią formą: kur m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Normaliojo pasiskirstymo kreivė vadinama normalioji arba Gauso kreivė
(7 pav.) Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija, paskirstyta pagal normalųjį dėsnį, išreiškiama Laplaso funkcija Ф (x) pagal formulę: kur yra Laplaso funkcija. komentaras:
Funkcija Ф(x) yra nelyginė (Ф(-х)=-Ф(х)), be to, esant x>5 galime manyti, kad Ф(х) ≈1/2. Pasiskirstymo funkcijos F(x) grafikas parodytas pav. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Tikimybė, kad absoliuti nuokrypio vertė yra mažesnė už teigiamą skaičių δ, apskaičiuojama pagal formulę: Konkrečiai, m = 0 galioja ši lygybė: „Trijų sigmų taisyklė“
Jei atsitiktinis dydis X turi normalaus skirstinio dėsnį su parametrais m ir σ, tai beveik neabejotina, kad jo reikšmė yra intervale (a-3σ; a+3σ), nes https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Naudokime formulę: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Iš funkcijų reikšmių lentelės Ф(х) randame Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Taigi, norima tikimybė: P(28 Savarankiško darbo užduotys
3.1.
Atsitiktinis dydis X yra tolygiai pasiskirstęs intervale (-3;5). Rasti: b) pasiskirstymo funkcija F(x); c) skaitinės charakteristikos; d) tikimybė P(4<х<6). 3.2.
Atsitiktinis dydis X yra tolygiai paskirstytas segmente. Rasti: a) pasiskirstymo tankis f(x); b) pasiskirstymo funkcija F(x); c) skaitinės charakteristikos; d) tikimybė P(3≤х≤6). 3.3.
Greitkelyje yra automatinis šviesoforas, kuriame žalias dega 2 minutes, geltonas 3 sekundes, raudonas 30 sekundžių ir tt Atsitiktiniu momentu greitkeliu važiuoja automobilis. Raskite tikimybę, kad automobilis nesustodamas pravažiuos pro šviesoforą. 3.4.
Metro traukiniai reguliariai kursuoja 2 minučių intervalu. Keleivis į peroną patenka atsitiktiniu laiku. Kokia tikimybė, kad keleiviui traukinio teks laukti ilgiau nei 50 sekundžių? Raskite atsitiktinio dydžio X matematinį lūkestį – traukinio laukimo laiką. 3.5.
Raskite pasiskirstymo funkcijos pateikto eksponentinio skirstinio dispersiją ir standartinį nuokrypį: F(x)= 0 ties x<0, 1-8x, jei x≥0. 3.6.
Nuolatinis atsitiktinis dydis X nurodomas tikimybių pasiskirstymo tankiu: f(x)= 0 ties x<0, 0,7 e–0,7 x, kai x≥0. a) Įvardykite nagrinėjamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį. b) Raskite pasiskirstymo funkciją F(X) ir atsitiktinio dydžio X skaitines charakteristikas. 3.7.
Atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal eksponentinį dėsnį, nurodytą tikimybių pasiskirstymo tankiu: f(x)= 0 ties x<0, 0,4 e–0,4 x, kai x≥0. Raskite tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš intervalo (2,5;5). 3.8.
Ištisinis atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal pasiskirstymo funkcijos nurodytą eksponentinį dėsnį: F(x)= 0 ties x<0, 1-0,6x, kai x≥0 Raskite tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš segmento. 3.9.
Normalaus pasiskirstymo atsitiktinio dydžio numatoma vertė ir standartinis nuokrypis yra atitinkamai 8 ir 2. Raskite: a) pasiskirstymo tankis f(x); b) tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš intervalo (10;14). 3.10.
Atsitiktinis dydis X paprastai pasiskirsto su 3,5 matematiniu lūkesčiu ir 0,04 dispersija. Rasti: a) pasiskirstymo tankis f(x); b) tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš atkarpos . 3.11.
Atsitiktinis dydis X paprastai pasiskirsto M(X)=0 ir D(X)=1. Kuris iš įvykių: |X|≤0,6 ar |X|≥0,6 yra labiau tikėtinas? 3.12.
Atsitiktinis dydis X pasiskirsto normaliai, kai M(X)=0 ir D(X)=1. Iš kurio intervalo (-0,5;-0,1) arba (1;2) didesnė tikimybė, kad per vieną testą paimti reikšmę? 3.13.
Dabartinę vienos akcijos kainą galima modeliuoti naudojant normalų paskirstymo dėsnį, kai M(X)=10 den. vienetų ir σ (X) = 0,3 den. vienetų Rasti: a) tikimybė, kad dabartinė akcijos kaina bus nuo 9,8 den. vienetų iki 10,4 dienos vienetai; b) naudodami „trijų sigmų taisyklę“ raskite ribas, kuriose bus dabartinė akcijų kaina. 3.14.
Medžiaga sveriama be sisteminių klaidų. Atsitiktinėms svėrimo paklaidoms taikomas normalus dėsnis, kurio vidutinis kvadratinis santykis σ=5g. Raskite tikimybę, kad keturių nepriklausomų eksperimentų metu trijų svėrimų paklaida neatsiras absoliučia verte 3r. 3.15.
Atsitiktinis dydis X paprastai skirstomas M(X)=12,6. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą (11,4;13,8), yra 0,6826. Raskite standartinį nuokrypį σ. 3.16.
Atsitiktinis dydis X pasiskirsto normaliai, kai M(X)=12 ir D(X)=36. Raskite intervalą, į kurį atsitiktinis dydis X pateks atlikus testą su tikimybe 0,9973. 3.17.
Automatine mašina pagaminta detalė laikoma sugedusia, jeigu jos valdomo parametro nuokrypis X nuo vardinės vertės viršija modulo 2 matavimo vienetus. Daroma prielaida, kad atsitiktinis dydis X yra normaliai pasiskirstęs, kai M(X)=0 ir σ(X)=0,7. Kiek procentų sugedusių dalių gamina mašina? 3.18.
Dalies X parametras paskirstomas normaliai, matematinė tikėtis 2 lygi vardinei vertei ir standartinis nuokrypis 0,014. Raskite tikimybę, kad X nuokrypis nuo nominalios vertės neviršys 1% vardinės vertės. Atsakymai
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0, jei x≤-3, F(x)= kairėje> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. X; prasmė F(5); tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X paims vertes iš segmento . Sukurkite paskirstymo daugiakampį. Nustatykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį X lentelės pavidalu. Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją X. Sukurkite funkcijų grafikus ir . Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius, dispersiją, režimą ir medianą X. A pavyzdys: 6 9 7 6 4 4 B pavyzdys: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 17 variantas. Apskaičiuokite jo matematinę prognozę ir dispersiją. Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją X. Sukurkite funkcijų grafikus ir . Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X matematinę lūkesčius, dispersiją, modą ir medianą. · imties vidurkis; · imties dispersija; Režimas ir mediana; A pavyzdys: 0 0 2 2 1 4 · imties vidurkis; · imties dispersija; standartinis imties nuokrypis; · režimas ir mediana; B pavyzdys: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 18 variantas. Apskaičiuokite jo matematinę prognozę ir dispersiją. Raskite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkciją. Nubraižykite funkcijų grafikus ir . Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius, dispersiją, režimą ir medianą X. · imties vidurkis; · imties dispersija; standartinis imties nuokrypis; · režimas ir mediana; A pavyzdys: 4 7 6 3 3 4 · imties vidurkis; · imties dispersija; standartinis imties nuokrypis; · režimas ir mediana; B pavyzdys: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 19 variantas. 1. Svetainėje dirba 16 moterų ir 5 vyrai. 3 žmonės buvo atrinkti atsitiktine tvarka pagal jų personalo numerius. Raskite tikimybę, kad visi atrinkti žmonės bus vyrai. 2. Metamos keturios monetos. Raskite tikimybę, kad tik dvi monetos turės „herbą“. 3. Žodis „PSICHOLOGIJA“ sudarytas iš kortelių, ant kurių parašyta po vieną raidę. Kortos sumaišomos ir išimamos po vieną, negrąžinant. Raskite tikimybę, kad ištrauktos raidės sudaro žodį: a) PSICHOLOGIJA; b) PERSONALAS. 4. Urnoje yra 6 juodi ir 7 balti rutuliukai. Atsitiktinai ištraukiami 5 rutuliai. Raskite tikimybę, kad tarp jų yra: a. 3 balti rutuliukai; b. mažiau nei 3 balti rutuliai; c. bent vienas baltas rutulys. 5. Įvykio įvykimo tikimybė A viename bandyme lygus 0,5. Raskite šių įvykių tikimybę: a. renginys A pasirodo 3 kartus per 5 nepriklausomus bandymus; b. renginys A bus rodomas mažiausiai 30 ir ne daugiau kaip 40 kartų per 50 bandymų seriją. 6. Yra 100 vienodo galingumo mašinų, veikiančių nepriklausomai viena nuo kitos tuo pačiu režimu, kuriose jų pavara įjungiama 0,8 darbo valandos. Kokia tikimybė, kad bet kuriuo momentu bus įjungta nuo 70 iki 86 mašinų? 7. Pirmoje urnoje yra 4 balti ir 7 juodi rutuliai, o antroje – 8 balti ir 3 juodi rutuliai. Iš pirmos urnos atsitiktine tvarka ištraukiami 4 rutuliai, iš antrosios – 1 rutuliukas. Raskite tikimybę, kad tarp ištrauktų rutulių yra tik 4 juodi rutuliai. 8. Į automobilių prekybos saloną kasdien patenka trijų markių automobiliai pagal apimtį: „Moskvich“ – 40%; „Gerai“ – 20%; „Volga“ – 40% visų įvežamų automobilių. Tarp „Moskvich“ automobilių apsaugos nuo vagystės yra 0,5 proc., „Oka“ – 0,01 proc., „Volga“ – 0,1 proc. Raskite tikimybę, kad apžiūrai paimtas automobilis turi apsaugos nuo vagystės įtaisą. 9. Skaičiai ir atkarpoje parenkami atsitiktinai. Raskite tikimybę, kad šie skaičiai patenkins nelygybes. 10. Pateiktas atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X: Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją X; prasmė F(2); tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X paims vertes iš intervalo . Sukurkite paskirstymo daugiakampį. Taikant tikimybių teoriją, eksperimento kiekybinės charakteristikos yra svarbiausios. Dydis, kurį galima nustatyti kiekybiškai ir kuris dėl eksperimento gali įgyti skirtingas reikšmes, priklausomai nuo atvejo, vadinamas atsitiktinis kintamasis. Atsitiktinių kintamųjų pavyzdžiai: 1. Kiek kartų per dešimt kauliuko metimų pasirodo lyginis taškų skaičius. 2. Šūvių seriją paleidusio šaulio smūgių į taikinį skaičius. 3. Sprogstančio sviedinio skeveldrų skaičius. Kiekviename iš pateiktų pavyzdžių atsitiktinis kintamasis gali turėti tik atskiras reikšmes, ty vertes, kurios gali būti sunumeruotos naudojant natūralią skaičių seriją. Toks atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės yra atskiri atskiri skaičiai, kuriuos šis kintamasis įgauna su tam tikromis tikimybėmis, vadinamas diskretus. Diskretaus atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius gali būti baigtinis arba begalinis (skaičiuojamas). Paskirstymo dėsnis Diskretusis atsitiktinis dydis yra galimų jo reikšmių ir atitinkamų tikimybių sąrašas. Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu (tikimybių skirstinio eilutė), analitiškai ir grafiškai (tikimybių skirstinio daugiakampis). Atliekant eksperimentą, reikia įvertinti tiriamą vertę „vidutiniškai“. Atsitiktinio dydžio vidutinės reikšmės vaidmenį atlieka skaitinė charakteristika, vadinama matematiniai lūkesčiai, kuri nustatoma pagal formulę Kur x 1 , x 2
,.. , x n– atsitiktinių dydžių reikšmės X, A p 1 ,p 2 ,
... , p n– šių verčių tikimybės (atkreipkite dėmesį, kad p 1
+
p 2
+…+
p n =
1). Pavyzdys. Šaudoma į taikinį (11 pav.). I pataikymas duoda tris taškus, II – du, III – vieną tašką. Vieno šaulio vienu šūviu surinktų taškų skaičius turi formos skirstymo dėsnį Norint palyginti šaulių meistriškumą, pakanka palyginti vidutines surinktų taškų reikšmes, t.y. matematiniai lūkesčiai M(X) Ir M(Y):
M(X)
=
1
0,4
+ 2
0,2
+ 3
0,4
= 2,0, M(Y)
=
1
0,2
+ 2
0,5
+ 3
0,3
= 2,1. Antrasis šaulys vidutiniškai duoda kiek didesnį balų skaičių, t.y. tai duos geresnių rezultatų, kai šaudoma pakartotinai. Atkreipkime dėmesį į matematinio lūkesčio savybes: 1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai: M(C)
=C. 2. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai: M=(X 1 +
X 2 +…+
X n)=
M(X 1)+
M(X 2)+…+
M(X n). 3. Matematinis vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos lūkestis yra lygus veiksnių matematinių lūkesčių sandaugai. M(X 1 X 2 …
X n)
=
M(X 1)M(X 2)…
M(X n). 4. Matematinis dvinario skirstinio neigimas yra lygus bandymų skaičiaus ir įvykio, kuris įvyks viename bandyme, sandaugai (4.6 užduotis). M(X)
= pr. Įvertinti, kaip atsitiktinis dydis „vidutiniškai“ nukrypsta nuo savo matematinio lūkesčio, t.y. Norint apibūdinti atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą tikimybių teorijoje, naudojama dispersijos sąvoka. Dispersija atsitiktinis kintamasis X vadinamas matematiniu nuokrypio kvadratu lūkesčiu: D(X)
=
M[(X
-
M(X)) 2 ]. Dispersija yra skaitinė atsitiktinio dydžio sklaidos charakteristika. Iš apibrėžimo aišku, kad kuo mažesnė atsitiktinio dydžio dispersija, tuo jo galimos reikšmės yra artimesnės matematiniam lūkesčiui, tai yra, tuo geriau atsitiktinio dydžio reikšmes apibūdina jo matematiniai lūkesčiai. . Iš apibrėžimo matyti, kad dispersiją galima apskaičiuoti naudojant formulę Patogu apskaičiuoti dispersiją naudojant kitą formulę: D(X)
=
M(X 2)
- (M(X)) 2 .
Dispersija turi šias savybes: 1. Konstantos dispersija lygi nuliui: D(C)
=
0.
2. Pastovųjį koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo padalijus jį kvadratu: D(CX)
=
C 2 D(X). 3. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi dėmenų dispersijos sumai: D(X 1 +
X 2 +
X 3 +…+
X n)=
D(X 1)+
D(X 2)+…+
D(X n) 4. Binominio skirstinio dispersija lygi bandymų skaičiaus ir įvykio atsiradimo ir neįvykimo tikimybės sandaugai viename bandyme: D(X)
= npq. Tikimybių teorijoje dažnai naudojama skaitinė charakteristika, lygi atsitiktinio dydžio dispersijos kvadratinei šaknei. Ši skaitinė charakteristika vadinama vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu ir žymima simboliu Jis apibūdina apytikslį atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo vidutinės vertės dydį ir turi tą patį dydį kaip ir atsitiktinis kintamasis. 4.1.
Šaulys į taikinį paleidžia tris šūvius. Tikimybė pataikyti į taikinį kiekvienu šūviu yra 0,3. Sukurkite įvykių skaičiaus paskirstymo seriją. Sprendimas. Patikimų skaičius yra atskiras atsitiktinis kintamasis X. Kiekviena vertė x n
atsitiktinis kintamasis X atitinka tam tikrą tikimybę P n . Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį šiuo atveju galima nurodyti netoli platinimo. Šioje problemoje X ima reikšmes 0, 1, 2, 3. Pagal Bernulio formulę Raskime galimų atsitiktinių dydžių verčių tikimybes: R 3 (0)
= (0,7) 3 =
0,343, R 3 (1)
= R 3 (2)
= R 3 (3)
= (0,3) 3 =
0,027. Išdėstydami atsitiktinio dydžio reikšmes X didėjančia tvarka gauname paskirstymo eilutes: X n Atkreipkite dėmesį, kad suma reiškia tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X paims bent vieną reikšmę iš galimų, todėl šis įvykis yra patikimas 4.2
.Urnoje yra keturi rutuliai su skaičiais nuo 1 iki 4. Išimami du rutuliai. Atsitiktinė vertė X– rutuliukų skaičių suma. Sukurkite atsitiktinio dydžio skirstinio seką X. Sprendimas. Atsitiktinių kintamųjų reikšmės X yra 3, 4, 5, 6, 7. Raskime atitinkamas tikimybes. Atsitiktinio kintamojo reikšmė 3 X gali būti priimtas vieninteliu atveju, kai vienas iš pasirinktų kamuoliukų turi skaičių 1, o kitas 2. Galimų testo rezultatų skaičius lygus keturių kombinacijų skaičiui (galimų kamuoliukų porų skaičiui) iš dviejų. Naudodami klasikinę tikimybių formulę gauname Taip pat, R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6. Suma 5 gali atsirasti dviem atvejais: 1 + 4 ir 2 + 3, taigi X turi formą: Raskite paskirstymo funkciją F(x) atsitiktinis dydis X ir suplanuoti. Apskaičiuokite už X jo matematinis lūkestis ir dispersija. Sprendimas. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti pasiskirstymo funkcija F(x)
= P(X
x).
Paskirstymo funkcija F(x) yra nemažėjanti, iš kairės ištisinė funkcija, apibrėžta visoje skaičių eilutėje, while F
(-
)=
0,F
(+
)=
1. Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui ši funkcija išreiškiama formule Todėl šiuo atveju Pasiskirstymo funkcijos grafikas F(x) yra laiptuota linija (12 pav.) F(x) Tikėtina vertėM(X) yra svertinis aritmetinis reikšmių vidurkis X 1 , X 2 ,……X n atsitiktinis kintamasis X su svarstyklėmis ρ
1,
ρ
2, ……
, ρ
n
ir vadinama vidutine atsitiktinio dydžio verte X. Pagal formulę M(X)= x 1
ρ
1 + x 2
ρ
2 +……+ x n
ρ
n M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72. Sklaida apibūdina atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos laipsnį nuo jo vidutinės vertės ir yra žymimas D(X): D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2)
–[M(X)] 2 . Atskirajam atsitiktiniam dydžiui dispersija turi tokią formą arba jį galima apskaičiuoti naudojant formulę Pakeitę skaitinius uždavinio duomenis į formulę, gauname: M(X 2)
=
3 2
∙ 0,14+5 2
∙ 0,2+7 2
∙ 0,49+11 2
∙ 0,17 = 50,84 D(X)
= 50,84-6,72 2
= 5,6816. 4.4.
Du kauliukai metami du kartus vienu metu. Parašykite diskrečiojo atsitiktinio dydžio dvinarį pasiskirstymo dėsnį X- lyginio bendro taškų skaičiaus ant dviejų kauliukų skaičių. Sprendimas. Pristatykime atsitiktinį įvykį A= (du kauliukai su vienu metimu iš viso gavo lyginį taškų skaičių). Naudodami klasikinį tikimybės apibrėžimą randame R(A)=
Kur n
- pagal taisyklę randamas galimų testo rezultatų skaičius daugyba: n
= 6∙6 =36, m
-
renginiui pritariančių žmonių skaičius A rezultatai – vienodi m= 3∙6=18. Taigi vieno bandymo sėkmės tikimybė yra ρ
= P(A)=
1/2.
Problema išspręsta naudojant Bernoulli testo schemą. Vienas iššūkis čia būtų vieną kartą mesti du kauliukus. Tokių testų skaičius n
= 2. Atsitiktinis kintamasis X ima reikšmes 0, 1, 2 su tikimybėmis R 2 (0)
= Reikalingas atsitiktinio dydžio binominis skirstinys X gali būti pavaizduota kaip paskirstymo serija: X n ρ
n 4.5
. Šešių dalių partijoje yra keturios standartinės dalys. Atsitiktinai atrinktos trys dalys. Sukurkite diskrečiojo atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinį X– standartinių dalių skaičių tarp pasirinktų ir raskite jo matematinį lūkesčius. Sprendimas. Atsitiktinių kintamųjų reikšmės X yra skaičiai 0,1,2,3. Tai aišku R(X=0)=0, nes yra tik dvi nestandartinės dalys. R(X=1) = R(X= 2) = R(X=3) = Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X Pateiksime ją paskirstymo serijos forma: X n ρ
n Tikėtina vertė M(X)=1
∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2. 4.6
. Įrodykite, kad diskretinio atsitiktinio dydžio matematinė tikėtis X- įvykio atvejų skaičius A V n nepriklausomi bandymai, kurių kiekviename įvykio tikimybė yra lygi ρ
– lygus bandymų skaičiaus sandaugai su įvykio tikimybe įvykti viename bandyme, tai yra įrodyti, kad matematinis dvejetainio skirstinio lūkestis M(X)
=n .
ρ
, ir dispersija D(X)
=n.p.
. Sprendimas. Atsitiktinė vertė X gali turėti reikšmes 0, 1, 2..., n. Tikimybė R(X= k) randamas naudojant Bernulio formulę: R(X=k)= R n(k)= Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo eilutė X turi formą: X n ρ
n q n Kur q=
1-
ρ
. Dėl matematinių lūkesčių turime išraišką: M(X)= Vieno testo atveju, tai yra su n= 1 atsitiktiniam dydžiui X 1 – įvykio atvejų skaičius A- platinimo serijos forma: X n ρ
n M(X 1)=
0∙q +
1
∙ p
=
p D(X 1)
=
p
–
p 2
=
p(1-
p)
=
pq. Jeigu X k – įvykio atvejų skaičius A kuriame teste tada R(X Į)=
ρ
Ir X = X 1 +X 2 +….+X n . Iš čia gauname M(X)=M(X 1
)+M(X 2)+
… +M(X n)=
Nr,
D(X)=D(X 1)+D(X 2)+
...
+D(X n)=npq. 4.7.
Kokybės kontrolės skyrius tikrina gaminių standartiškumą. Tikimybė, kad produktas yra standartinis, yra 0,9. Kiekvienoje partijoje yra 5 produktai. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą X- partijų, kurių kiekvienoje bus 4 standartiniai produktai, skaičius - jei tikrinama 50 partijų. Sprendimas. Tikimybė, kad kiekvienoje atsitiktinai parinktoje partijoje bus 4 standartiniai produktai, yra pastovi; pažymėkime tai ρ
.Tada matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis X lygus M(X)=
50∙ρ.
Raskime tikimybę ρ
pagal Bernulio formulę: ρ = P 5 (4)= M(X)=
50∙0,32=16. 4.8
. Mesti trys kauliukai. Raskite nukritusių taškų sumos matematinę lūkesčius. Sprendimas. Galite rasti atsitiktinio dydžio pasiskirstymą X- nukritusių taškų suma ir jos matematinis lūkestis. Tačiau šis kelias yra pernelyg sudėtingas. Lengviau naudoti kitą metodą, vaizduojantį atsitiktinį kintamąjį X, kurio matematinį lūkestį reikia apskaičiuoti, kelių paprastesnių atsitiktinių dydžių, kurių matematinį lūkestį lengviau apskaičiuoti, sumos pavidalu. Jei atsitiktinis dydis X i yra sumuštų taškų skaičius i– kaulai ( i= 1, 2, 3), tada taškų suma X bus išreikšta forma X = X 1 + X 2 + X 3 . Norint apskaičiuoti pirminio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius, belieka naudoti matematinio lūkesčio savybę M(X 1
+ X 2 + X 3
)= M(X 1
)+ M(X 2)+ M(X 3
). Tai akivaizdu R(X i = K)=
1/6, Į=
1, 2, 3, 4, 5, 6,
i=
1,
2, 3. Todėl atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis X i atrodo kaip M(X i)
=
1/6∙1
+ 1/6∙2
+1/6∙3
+ 1/6∙4
+ 1/6∙5
+ 1/6∙6
= 7/2, M(X)
=
3∙7/2 = 10,5.
4.9.
Nustatykite matematinį įrenginių, kurie sugedo bandymo metu, skaičių, jei: a) visų įrenginių gedimo tikimybė yra vienoda R, o bandomų įrenginių skaičius yra lygus n; b) gedimo tikimybė už i
–
prietaiso yra lygus p i
,
i=
1,
2, … , n. Sprendimas. Tegul atsitiktinis kintamasis X yra sugedusių įrenginių skaičius X = X 1 + X 2 + … + X n ,
X i
=
Tai aišku R(X i =
1)=
R i ,
R(X i =
0)=
1–
R i ,i= 1,
2,
…
,n. M(X i)=
1∙R i +
0∙(1-R i)=P i , M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 +… + P n .
„a“ atveju įrenginio gedimo tikimybė yra tokia pati, tai yra R i =p,i= 1,
2, …
,n. M(X)=
n.p.. Šį atsakymą būtų galima gauti iš karto, jei pastebėtume, kad atsitiktinis kintamasis X turi dvinarį skirstinį su parametrais ( n,
p).
4.10.
Du kauliukai metami vienu metu du kartus. Parašykite diskrečiojo atsitiktinio dydžio dvinarį pasiskirstymo dėsnį X - lyginio taškų skaičiaus metimų ant dviejų kauliukų skaičius. Sprendimas. Leisti A=(lyginio skaičiaus metimas ant pirmo kauliuko), B =(lyginio skaičiaus metimas antruoju kauliuku). Lyginio skaičiaus gavimas ant abiejų kauliukų vienu metimu išreiškiamas sandauga AB. Tada R
(AB)
= R(A)∙R(IN)
=
Antrojo dviejų kauliukų metimo rezultatas nepriklauso nuo pirmojo, todėl Bernulio formulė taikoma, kai n
=
2,p = 1/4,
q
=
1– p = 3/4.
Atsitiktinė vertė X gali turėti reikšmes 0, 1, 2 ,
kurio tikimybę galima rasti naudojant Bernulio formulę: R(X= 0)= P 2
(0)
=
q
2
= 9/16, R(X= 1)= P 2
(1)= C R(X= 2)= P 2
(2)= C Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo eilutė X: 4.11.
Įrenginys susideda iš daugybės savarankiškai veikiančių elementų, kurių kiekvieno elemento gedimo tikimybė laikui bėgant yra tokia pati labai maža. t. Raskite vidutinį atsisakymų skaičių laikui bėgant t elementai, jei tikimybė, kad bent vienas elementas suges per šį laiką, yra 0,98. Sprendimas.
Žmonių, kurie laikui bėgant atsisakė, skaičius t elementai – atsitiktinis dydis X, kuris pasiskirsto pagal Puasono dėsnį, kadangi elementų skaičius yra didelis, elementai veikia savarankiškai ir kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra maža. Vidutinis įvykio įvykių skaičius n testai lygūs M(X)
=
n.p..
Nuo nesėkmės tikimybės KAM elementai iš n išreikšta formule R n
(KAM)
kur
=
n.p., tada tikimybė, kad per tą laiką nesuges nė vienas elementas t
mes pasiekiame K = 0: R n
(0)= e - . Todėl priešingo įvykio tikimybė yra laiku t
bent vienas elementas sugenda – lygus 1 - e -
. Pagal uždavinio sąlygas ši tikimybė yra 0,98. Iš Eq. 1
- e -
= 0,98, e -
= 1 – 0,98 =
0,02, iš čia
=
-ln
0,02
4. Taigi, laiku tįrenginio veikimas, vidutiniškai suges 4 elementai. 4.12
. Kauliukai ridenami tol, kol pasirodo „du“. Raskite vidutinį metimų skaičių. Sprendimas. Įveskime atsitiktinį kintamąjį X– testų, kuriuos reikia atlikti, skaičius, kol įvyks mus dominantis įvykis. Tikimybė, kad X= 1 lygi tikimybei, kad per vieną kauliuko metimą atsiras „du“, t.y. R(X= 1)
= 1/6. Renginys X= 2 reiškia, kad per pirmąjį bandymą „du“ nepasirodė, o per antrąjį – pasirodė. Įvykio tikimybė X= 2 randama pagal nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklę: R(X= 2)
= (5/6)∙(1/6) Taip pat, R(X= 3)
= (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4)
= (5/6) 2 ∙1/6 ir tt Gauname tikimybių skirstinių seriją: (5/6) Į
∙1/6 Vidutinis metimų (bandymų) skaičius yra matematinis lūkestis M(X)
=
1∙1/6 +
2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6
+ … + KAM
(5/6) KAM -1 ∙1/6
+ … = 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2
+ … + KAM
(5/6) KAM -1
+ …) Raskime serijos sumą: Vadinasi, M(X)
=
(1/6) (1/ (1 –
5/6) 2
= 6. Taigi, jums reikia mesti kauliuką vidutiniškai 6 kartus, kol pasirodys „du“. 4.13.
Nepriklausomi testai atliekami su ta pačia įvykio tikimybe A kiekviename teste. Raskite įvykio tikimybę A, jei įvykio atvejų skaičiaus dispersija per tris nepriklausomus bandymus yra 0,63 .
Sprendimas.Įvykio atvejų skaičius per tris bandymus yra atsitiktinis dydis X, paskirstytas pagal dvinario dėsnį. Įvykio atvejų skaičiaus dispersija nepriklausomuose bandymuose (esant tokiai pačiai įvykio tikimybei kiekviename bandyme) yra lygi bandymų skaičiaus sandaugai su įvykio įvykio ir neįvykimo tikimybe (4.6 problema) D(X)
=
npq.
Pagal sąlygą n
=
3,
D(X)
=
0,63, taigi galite R rasti iš lygties 0,63
= 3∙R(1-R), kuri turi du sprendimus R 1
=
0,7 ir R 2
=
0,3.
1.2.
p4=0,1; 0, kai x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤a,
,
Normalioji kreivė yra simetriška tiesės x=m atžvilgiu, jos maksimumas yra ties x=a, lygi .
,
X
–28
–20
–12
–4
p
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
X
p
0,1
0,2
0,3
0,4
.
.
,
0,3(0,7) 2
= 0,441,
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
.
.
.
,
,R 2 (1)
=
∙
,R 2 (2)
=
=1/5,
= 3/5,
= 1/5.
ρ
Į
(1-ρ
) n-Į
ρq n- 1
ρq n- 2
ρ
n
ρq n -
1
+2
ρ
2
q n -
2
+…+.n
ρ
n
= 0,94∙0,1=0,32.
.
,R∙q
=
6/16,
,
R 2
=
1/16.
,
KAMg
KAM -1
= (
g KAM)
g
.
Monotoniškumo ir ekstremalumo funkcijų tyrimas
Vidutinis arba mediana
Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis
Vardo reikšmė: Ilja
Vardo Aidar kilmė ir pobūdis