Išnagrinėkite monotoniškumo funkciją internete. Monotoniškumo ir ekstremalumo funkcijų tyrimas

Ekstrema ir išgaubtumas.

Funkcijos grafiko asimptotės

Apibrėžimas.Kritinis taškas funkcijas adresu = f(X) yra taškas, kuriame išvestinė yra lygi nuliui arba jos nėra.

Teorema. Jei intervale (a; b) išvestinė teigiamas/neigiamas, tada funkcija šiame intervale didėja/mažėja.

Teorema. Jei, pravažiavus kritinį tašką, išvestinė pakeičia ženklą iš „+“ į „–“ (iš „-“ į „+“), tada – yra maksimalus (minimalus) funkcijos taškas

Apibrėžimas. Funkcija paskambino išgaubtas aukštyn (žemyn) intervale (a; b), jei šiame intervale grafiko taškai yra po (aukščiau) šiuose taškuose sudarytomis liestinėmis. Vingio taškas yra funkcijos grafiko taškas, dalijantis ją į dalis su skirtingomis išgaubtomis kryptimis.

2.3 pavyzdys.

Naršyti funkciją monotonijai ir ekstremalumui, išgaubtumui.

1. Nagrinėjame monotoniškumo ir ekstremalumo funkciją.

Padarykime piešinį ( ryžių. 2.1).

y′′

x

−

−

+

y

sutrikimas žemyn

sutrikimas aukštyn

sutrikimas žemyn

Ryžiai. 2.2. Išgaubtumo funkcijos tyrimas

Apskaičiuokime grafiko vingio taškų ordinates:

Posūkio taškų koordinatės: (0; 0), (1; −1).

2.32. Ištirkite monotoniškumo ir ekstremalumo funkciją:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.33. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes:

1) apie intervalą;

2) intervale [−1; 1];

3) intervale [−4; 4];

4) intervale [−2; 1].

2.34. Gamybos kaštai C (cu) priklauso nuo produkcijos apimties X(vnt.): Raskite didžiausias gamybos sąnaudas, jei X pasikeičia per intervalą. Raskite vertę X, prie kurio pelnas bus maksimalus, jei pajamos iš produkcijos vieneto pardavimo lygios 15 c.u. e.

2.35. Reikalaujama skirti stačiakampį 512 m2 žemės sklypą, aptverti ir padalyti tvora į tris lygias dalis lygiagrečiai vienai iš sklypo kraštų. Koks turėtų būti aikštelės dydis, kad tvorai būtų naudojama kuo mažiau medžiagų?

2.36. Atsižvelgdami į stačiakampio lango perimetrą, suraskite tokius jo matmenis, kad į jį patektų daugiausia šviesos.

2.37. Raskite maksimalų pelną, jei pajamos R ir sąnaudos C nustatomos pagal formules: kur X− parduotų prekių kiekis.

2.38. Gamybos apimties priklausomybė W nuo kapitalo sąnaudų KAM nustatoma pagal funkciją
Raskite keitimo intervalą KAM, kur didinti kapitalo sąnaudas yra neefektyvu.

2.39. Kaštų funkcija turi formą Pajamos pardavus produkcijos vienetą lygios 200. Raskite optimalią produkcijos vertę gamintojui.

2.40. Produkcijos apimties (piniginiais vienetais) priklausomybę nuo kapitalo sąnaudų lemia funkcija Raskite verčių intervalą, kuriame kapitalo sąnaudų didinimas yra neveiksmingas.

2.41. Manoma, kad pardavimų padidėjimą nuo reklamos išlaidų (milijonais rublių) lemia santykis Pajamos iš produkcijos vieneto pardavimo yra lygios 20 tūkstančių rublių. Raskite reklamos išlaidų lygį, kuriam esant įmonė gaus maksimalų pelną.

2.42. Pajamos iš produktų gamybos naudojant išteklių vienetus yra lygios Resurso vieneto kaina yra 10 den. vienetų Kiek išteklių reikia įsigyti, kad pelnas būtų didžiausias?

2.43. Kainos funkcija turi formą Pajamos pardavus produkcijos vienetą yra 50. Raskite didžiausią pelno vertę, kurią gali gauti gamintojas.

2.44. Monopolijos pajamų priklausomybė nuo produkcijos kiekio apibrėžiama taip: Išlaidų funkcija šiame intervale turi formą Raskite optimalią monopolijos produkcijos vertę.

2.45. Monopolinio gamintojo produkcijos kaina nustatoma pagal santykį, nustatytą kaip . Esant kokiai produkto produkcijos vertei, pajamos iš jos pardavimo bus didžiausios?

2.46. Kainos funkcija turi tokią formą adresu adresu . Šiuo metu gamybos lygis Kokiomis sąlygomis ant parametro p Ar įmonei apsimoka mažinti produkciją, jei pajamos iš produkcijos vieneto pardavimo yra 50?

Išvestinė priemonė taip pat padeda tirti didinančių ir mažinančių funkcijų funkciją. Pirmiausia prisiminkime atitinkamą apibrėžimą.

Apibrėžimas . Tegul funkcija apibrėžta intervale . Jie sako, kad jis didėja (sumažėja) intervale, jei toks kad.

Teorema. Jei funkcija yra diferencijuojama intervale ir , tada ji didėja (mažėja) intervale .

Tegul funkcijos išvestinė yra tolydi intervale. Norint ištirti jo padidėjimą ir sumažėjimą, paprastai laikomasi šio plano:

1) Rasti taškus iš , Kur . Šie taškai vadinami stacionariais.

2) Visuose intervaluose, į kuriuos skirstomi stacionarūs taškai, nustatykite ženklą. Norėdami tai padaryti, pakanka nustatyti ženklą viename kiekvieno intervalo taške (ženklas kiekvieno intervalo viduje nesikeičia, nes priešingu atveju pagal Bolzano-Cauchy teoremą šio intervalo viduje turi būti nulinė išvestinė, kuri yra neįmanomas). Jei intervalo viduje, tai pagal teoremą jis didėja. Jei , tai mažėja.

Apibrėžimas . Taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui, vadinami stacionariais. Taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja, vadinami kritiniais.

Pavyzdys. Ištirkite didėjančią ir mažėjančią funkciją

Šią funkciją galima diferencijuoti visoje skaičių eilutėje.

1) . Raskime stacionarius taškus: . Lygties šaknys yra skaičiai , .

2) Taškai , skaičių eilutę padalinkite į tris intervalus: , , .

Pirmuoju intervalu imame .

Todėl per intervalą jis didėja. Per intervalą, kurį paimame, . Todėl jis mažėja. Per intervalą mes imame , . Todėl per intervalą jis didėja.

Apibrėžimas. Tegul funkcija yra apibrėžta . Taškas vadinamas vietiniu maksimaliu (minimaliu) tašku, jei toks yra toks kad

Jei nelygybės (1) yra griežtos , tada taškas vadinamas griežto vietinio maksimumo (minimalumo) tašku. Vietos maksimumo ir minimumo taškai vadinami ekstremumais.

Teorema(būtina ekstremumo sąlyga). Jei funkcija yra diferencijuojama taške ir yra ekstremumo taškas, tada

Teoremos įrodymą nesunku gauti iš išvestinės apibrėžimo.

komentuoti. Iš teoremos išplaukia, kad funkcijos kraštutinių taškų reikia ieškoti tarp stacionarių taškų ir taškų, kuriuose išvestinės nėra. Viena iš pakankamų ekstremumo sąlygų tiesiogiai išplaukia iš šios teoremos.

komentuoti. Būtinos sąlygos nepakanka. Pavyzdžiui, funkcijai turime , bet taškas nėra ekstremumas, nes funkcija didėja visoje skaičių eilutėje.

Teorema(pakankama būklė ekstremumui). Tegul funkcija yra nuolatinis taške ir diferencijuojamas . Tada:

a) jei išvestinė, eidama per tašką, keičia ženklą iš pliuso į minusą, tai taškas yra vietinio maksimumo taškas;

b) jei išvestinė, eidama per tašką, pakeičia ženklą iš minuso į pliusą, tai taškas yra funkcijos lokalus minimumas.

Atkreipkite dėmesį, kad iš teoremos išplaukia, kad ankstesniame pavyzdyje taškas yra lokalus maksimalus taškas, o taškas yra funkcijos lokalus minimumas.

Dažnai, sprendžiant įvairias problemas, tam tikroje aibėje reikia rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes.

Pirmiausia panagrinėkime, kaip ši problema išspręsta tuo atveju, kai tai yra segmentas. Tegul funkcija yra ištisinė atkarpoje ir diferencijuojama intervale, išskyrus, galbūt, baigtinį taškų skaičių. Tada, pagal Weierstrasso teoremą, funkcija pasiekia didžiausią ir mažiausią segmento reikšmes.

Iš aukščiau pateiktų teoremų seka toks didžiausių ir mažiausių funkcijos reikšmių radimo planas.

1) Raskite išvestinės išvestinę ir nulius.

2) Raskite vertes

a) išvestinės nuliais;

b) atkarpos galuose;

c) taškuose, kur išvestinė neegzistuoja.

3) Iš gautų skaičių pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

1 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad čia visai nebūtina rasti didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Užrašas 2. Jei tai yra intervalas, pusės intervalas arba begalinis intervalas, aukščiau pateiktas planas negali būti naudojamas. Šiuo atveju, norint išspręsti didžiausių ir mažiausių reikšmių problemą, reikia rasti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, ribas ribiniuose taškuose ir, naudojant paprastą analizę, gauti atsakymą.

3 pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes intervale.

Raskime didėjimo ir mažėjimo intervalus. Norėdami tai padaryti, randame išvestinę:

Taškas padalija intervalą į du intervalus: ir . Šiuose intervaluose suraskime išvestinės ženklą. Norėdami tai padaryti, paskaičiuokime

Taigi funkcija mažėja per pusę intervalo, o didėja intervalu. Štai kodėl Nėra didžiausios vertės, nes . Šiuo atveju jie rašo: .

Pamoka ir pristatymas algebroje 10 klasėje tema: "Funkcijos monotoniškumui tyrimas. Tyrimo algoritmas"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Algebriniai parametrų uždaviniai, 9–11 kl
Programinės įrangos aplinka "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ką mes studijuosime:
1. Mažėjančios ir didėjančios funkcijos.
2. Funkcijos išvestinės ir monotoniškumo ryšys.
3. Dvi svarbios monotoniškumo teoremos.
4. Pavyzdžiai.

Vaikinai, anksčiau mes žiūrėjome į daugybę skirtingų funkcijų ir jas nubraižėme. Dabar pristatykime naujas taisykles, kurios tinka visoms funkcijoms, kurias svarstėme ir toliau svarstysime.

Mažėjančios ir didėjančios funkcijos

Pažvelkime į didėjančių ir mažėjančių funkcijų sampratą. Vaikinai, kas yra funkcija?

Funkcija yra atitikmuo y= f(x), kuriame kiekviena x reikšmė yra susieta su viena y reikšme.

Pažvelkime į kai kurių funkcijų grafiką:

Mūsų grafikas rodo: kuo didesnis x, tuo mažesnis y. Taigi apibrėžkime mažėjančią funkciją. Funkcija vadinama mažėjančia, jei didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

Jei x2 > x1, tada f(x2) Dabar pažiūrėkime į šios funkcijos grafiką:
Šis grafikas rodo, kad kuo didesnis x, tuo didesnis y. Taigi apibrėžkime didėjančią funkciją. Funkcija vadinama didėjančia, jei didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę.
Jei x2 > x1, tai f(x2 > f(x1) arba: kuo x didesnis, tuo didesnis y.

Jei funkcija didėja arba mažėja per tam tikrą intervalą, tai sakoma šiame intervale jis yra monotoniškas.

Funkcijos išvestinės ir monotoniškumo ryšys

Vaikinai, dabar pagalvokime, kaip galite pritaikyti išvestinės sąvoką studijuodami funkcijų grafikus. Nubraižykime didėjančios diferencijuojamos funkcijos grafiką ir nubrėžkime porą mūsų grafiko liestinių.

Jei pažvelgsite į mūsų liestinę arba vizualiai nubrėžsite bet kurią kitą liestinę, pastebėsite, kad kampas tarp liestinės ir teigiamos x ašies krypties bus smailus. Tai reiškia, kad liestinė turi teigiamą nuolydį. Liestinės kampo koeficientas lygus išvestinės reikšmei liesties taško abscisėje. Taigi išvestinės vertė yra teigiama visuose mūsų grafiko taškuose. Didėjančiai funkcijai galioja ši nelygybė: f"(x) ≥ 0 bet kuriame taške x.

Vaikinai, dabar pažiūrėkime į kai kurių mažėjančių funkcijų grafiką ir sukonstruokime funkcijos grafiko liestines.

Pažiūrėkime į liestinę ir vizualiai nubrėžkime bet kurią kitą liestinę. Pastebėsime, kad kampas tarp liestinės ir teigiamos x ašies krypties yra bukas, o tai reiškia, kad liestinė turi neigiamą nuolydį. Taigi išvestinės vertė yra neigiama visuose mūsų grafiko taškuose. Mažėjančiai funkcijai galioja ši nelygybė: f"(x) ≤ 0 bet kuriam taškui x.

Taigi funkcijos monotoniškumas priklauso nuo išvestinės ženklo:

Jei funkcija didėja intervale ir turi šio intervalo išvestinę, tada ši išvestinė nebus neigiama.

Jei funkcija mažėja intervale ir turi šio intervalo išvestinę, tada ši išvestinė nebus teigiama.

Svarbu, kad intervalai, kuriuose svarstome funkciją, būtų atviri!

Dvi svarbios monotoniškumo teoremos

1 teorema. Jei nelygybė f'(x) ≥ 0 galioja visuose atviro intervalo X taškuose (o išvestinės lygybė nuliui arba negalioja, arba galioja, o tik baigtinėje taškų aibėje), tada funkcija y= f(x) didėja intervale X.

2 teorema. Jei nelygybė f'(x) ≤ 0 galioja visuose atviro intervalo X taškuose (o išvestinės lygybė nuliui arba negalioja, arba galioja, o tik baigtinėje taškų aibėje), tada funkcija y= f(x) mažėja intervale X.

3 teorema. Jei visuose atvirojo intervalo X taškuose lygybė
f’(x)= 0, tai funkcija y= f(x) šiame intervale yra pastovi.

Monotoniškumo funkcijos tyrimo pavyzdžiai

1) Įrodykite, kad funkcija y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 didėja visoje skaičių tiesėje.

Sprendimas: Raskime savo funkcijos išvestinę: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Kadangi laipsnis ties x yra lyginis, laipsnio funkcija įgauna tik teigiamas reikšmes. Tada y" > 0 bet kuriam x, o tai reiškia pagal teoremą 1, mūsų funkcija didėja visoje skaičių eilutėje.

2) Įrodykite, kad funkcija mažėja: y= sin(2x) - 3x.

Raskime savo funkcijos išvestinę: y"= 2cos(2x) - 3.
Išspręskime nelygybę:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Nes -1 ≤ cos(x) ≤ 1, tai reiškia, kad mūsų nelygybė tenkinama bet kuriam x, tada pagal 2 teoremą funkcija y= sin(2x) - 3x mažėja.

3) Ištirkite funkcijos monotoniškumą: y= x 2 + 3x - 1.

Sprendimas: Raskime savo funkcijos išvestinę: y"= 2x + 3.
Išspręskime nelygybę:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Tada mūsų funkcija didėja, kai x ≥ -3/2, ir mažėja, kai x ≤ -3/2.
Atsakymas: Jei x ≥ -3/2, funkcija didėja, jei x ≤ -3/2, funkcija mažėja.

4) Išnagrinėkite funkcijos monotoniškumą: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Sprendimas: Raskime savo funkcijos išvestinę: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Išspręskime nelygybę: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Mūsų nelygybė yra didesnė arba lygi nuliui:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Išspręskime nelygybę:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Bet tai neįmanoma, nes Kvadratinė šaknis apibrėžiama tik teigiamoms išraiškoms, o tai reiškia, kad mūsų funkcija neturi mažėjimo intervalų.
Atsakymas: x ≥ 1/3 funkcija didėja.

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

a) Įrodykite, kad funkcija y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 didėja visoje skaičių tiesėje.
b) Įrodykite, kad funkcija mažėja: y= cos(5x) - 7x.
c) Ištirkite funkcijos monotoniškumą: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Išnagrinėkite funkcijos monotoniškumą: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Pirmą kartą susitikome 7 klasės algebros kurse. Žvelgdami į funkcijos grafiką, nuėmėme atitinkamą informaciją: jei, judėdami grafiku iš kairės į dešinę, tuo pačiu judame iš apačios į viršų (tarsi liptume į kalną), tada funkciją deklaravome būti didėjantis (124 pav.); jei judame iš viršaus į apačią (leidžiame nuo kalno), tuomet paskelbėme funkciją mažėjančia (125 pav.).

Tačiau matematikai nelabai mėgsta šį funkcijos savybių tyrimo metodą. Jie mano, kad sąvokų apibrėžimai neturėtų būti grindžiami brėžiniu – brėžinys turi tik iliustruoti vieną ar kitą funkcijos savybę. grafika. Pateikime griežtus didėjančių ir mažėjančių funkcijų sąvokų apibrėžimus.

1 apibrėžimas. Laikoma, kad funkcija y = f(x) didėja intervale X, jei iš nelygybės x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

2 apibrėžimas. Sakoma, kad funkcija y = f(x) mažėja intervale X, jei nelygybė x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует nelygybė f(x 1) > f(x 2).

Praktiškai patogiau naudoti šias formules:

funkcija padidėja, jei didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę;
funkcija mažėja, jei didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

Naudodamiesi šiais apibrėžimais ir § 33 nustatytomis skaitinių nelygybių savybėmis, galėsime pagrįsti išvadas apie anksčiau tirtų funkcijų padidėjimą ar sumažėjimą.

1. Tiesinė funkcija y = kx +m

Jei k > 0, tai funkcija didėja visoje (126 pav.); jei k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Įrodymas. Tegul f(x) = kx +m. Jei x 1< х 2 и k >O, tada pagal 3 skaitinių nelygybių savybę (žr. § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Taigi iš nelygybės x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. linijinis funkcijos y = kx+ m.

Jei x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , o pagal 2 savybę iš kx 1 > kx 2 seka, kad kx 1 + m> kx 2 + t.y.

Taigi iš nelygybės x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Tai reiškia funkcijos y = f(x), ty tiesinės funkcijos y = kx + m, sumažėjimą.

Jei funkcija didėja (mažėja) visoje savo apibrėžimo srityje, tada ji gali būti vadinama didėjančia (mažėja) nenurodant intervalo. Pavyzdžiui, apie funkciją y = 2x - 3 galime pasakyti, kad ji didėja visoje skaičių tiesėje, bet galime pasakyti ir trumpiau: y = 2x - 3 - didėja
funkcija.

2. Funkcija y = x2

1. Apsvarstykite funkciją y = x 2 ant spindulio. Paimkime du neteigiamus skaičius x 1 ir x 2, kad x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Kadangi skaičiai - x 1 ir - x 2 yra neneigiami, tai sudėjus kvadratu abi paskutinės nelygybės puses, gauname tos pačios reikšmės nelygybę (-x 1) 2 > (-x 2) 2, t.y. Tai reiškia, kad f(x 1) > f(x 2).

Taigi iš nelygybės x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Todėl funkcija y = x 2 mažėja ant spindulio (- 00, 0] (128 pav.).

1. Apsvarstykite funkciją intervale (0, + 00).
Tegu x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Taigi iš nelygybės x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Tai reiškia, kad funkcija mažėja atvirame spindulyje (0, + 00) (129 pav.).

2. Apsvarstykite funkciją intervale (-oo, 0). Tegu x 1< х 2 , х 1 и х 2 - отрицательные числа. Тогда - х 1 >- x 2, o abi paskutinės nelygybės pusės yra teigiami skaičiai, todėl (vėl panaudojome 1 pavyzdyje įrodytą nelygybę iš § 33). Toliau turime, iš kur gauname.

Taigi iš nelygybės x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) t.y. funkcija mažėja atvirame spindulyje (- 00 , 0)

Paprastai terminai „didinanti funkcija“ ir „mažėjanti funkcija“ jungiami bendru pavadinimu monotoninė funkcija, o didinimo ir mažėjimo funkcijos tyrimas vadinamas monotoniškumo funkcijos tyrimu.

Sprendimas.

1) Nubraižykime funkciją y = 2x2 ir paimkime šios parabolės šaką ties x< 0 (рис. 130).

2) Sukonstruoti ir pasirinkti jo dalį atkarpoje (131 pav.).

3) Sukonstruokime hiperbolę ir parinkime jos dalį atvirame spindulyje (4, + 00) (132 pav.).
4) Pavaizduokime visas tris „gabalėlius“ vienoje koordinačių sistemoje – tai funkcijos y = f(x) grafikas (133 pav.).

Perskaitykime funkcijos y = f(x) grafiką.

1. Funkcijos apibrėžimo sritis yra visa skaičių eilutė.

2. y = 0, kai x = 0; y > 0, jei x > 0.

3. Funkcija spindulyje mažėja (-oo, 0], atkarpoje didėja, spindulyje mažėja, atkarpoje yra išgaubta aukštyn, spindulyje išgaubta žemyn, taikoma Lagrandžo teorema: yra taškas x 0 iš ( x 1 ;x 2) toks f(x 2) -f(x 1) = (x 2 -x 1)×f¢( x 0). Bet pagal sąlygas, f"(x 0) = 0, todėl f(x 2) =f(x 1), t.y. funkcija f(x) nuolat įjungta ( a; b). Tai reiškia, kad pakankamumas buvo įrodytas. Teorema įrodyta.

4 teorema (būtina funkcijos monotoniškumo sąlyga). Įleiskite intervalą (a; b) funkcija f(x) skiriasi. Tada:

A)jei f(x) padidėja, tada jo išvestinė in(a; b) ne neigiamas, t.y. f ¢( x) ³ 0;

b) jei f(x) sumažėja, tada jo išvestinė in (a; b) ne teigiamas, t.y. f ¢( x) £ 0.

Įrodymas. A). Tegul funkcija f(x) padidėja ( a; b), t.y. bet kuriam x 1 ,x 2 iš ( a; b) galioja toks ryšys: x 1 < x 2® f(x 1) < f(x 2). Tada už nurodytus taškus x 1 ,x 2 toks ryšys yra teigiamas:

Iš to išplaukia, kad išvestinė f ¢( x 1) ³ 0. Teiginys A b).

5 teorema (pakankama funkcijos monotoniškumo sąlyga). Įleiskite intervalą (a; b) funkcija f(x) skiriasi. Tada:

A)jei f ¢( x) > 0 įjungta (a; b), tada f(x)padidėja iki (a; b);

b) jei f ¢( x) < 0įjungta(a; b),tada f(x) sumažėja iki (a ; b).

Įrodymas. A). Leisti f ¢( x) > 0 įjungta ( a; b) ir taškais x 1 , x 2 iš ( a; b) toks x 1 < x 2. Pagal Lagranžo teoremą yra taškas x 0 iš ( x 1 ;x 2) toks f(x 2) -f(x 1) = (x 2 -x 1)×f¢( x 0). Čia dešinioji lygybės pusė yra teigiama, taigi f(x 2) -f(x 1) > 0, t.y. f(x 2) > f(x 1) . Tai reiškia kad f(x) padidėja ( a; b). pareiškimas A) buvo įrodyta. Teiginys įrodytas panašiai b).

9 pavyzdys. Funkcija adresu= X 3 visur didėja, nes didėjant reikšmėms XŠių verčių kubai didėja. Šios funkcijos išvestinė adresu¢ = 3 X 2 visur yra neneigiamas, t.y. tenkinama būtina monotoniškumo sąlyga.

10 pavyzdys. Raskite didėjančios ir mažėjančios funkcijos y intervalus= 0,25X 4 - 0,5X 2 .

Sprendimas. Surandama šios funkcijos išvestinė adresu¢ = X 3 - X, o intervalai konstruojami, kuriuose X 3 - X teigiamas ar neigiamas. Norėdami tai padaryti, pirmiausia randame kritinius taškus, kuriuose adresu¢ = 0: X 3 - X = 0 ® X(X + 1)(X-1) = 0 ® X 1 = 0, X 2 = -1 X 3 = 1. Šie taškai padalija skaičių eilutę į 4 tarpus:

- + - + X

-¥ -2 -1 0 1 2 3 +¥

Po velnių.36.

Apskritai, norėdami nustatyti išvestinės požymius, kiekviename intervale paimkite po vieną tašką ir apskaičiuokite išvestinės reikšmes šiuose taškuose. Tačiau kartais pakanka paimti tik vieną tašką dešiniajame intervale, nustatyti išvestinės ženklą šiame taške ir kaitalioti ženklus likusiuose intervaluose. Šiame pavyzdyje leiskite X= 2, tada adresu¢(2) = 2 3 – 2 = 6 > 0. Dešiniajame intervale dedamas ženklas +, o tada ženklai pakaitomis. Gauta adresu¢ > 0 intervaluose (-1; 0) ir (1; +¥), todėl tiriama funkcija šiais intervalais didėja. Toliau, adresu¢< 0 на (- ¥; -1) и (0; 1), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках убывает. Ниже на чертеже 37 построен график этой функции.

3 apibrėžimas. 1). Taškas X o vadinamas maksimalus taškas funkcijas f(x), jei yra intervalas ( a; b), kurių sudėtyje yra X oi kokia prasme f(x o) didžiausias, t.y. f(x o) > f(x) visiems X nuo ( a; b).

2). Taškas X o vadinamas minimalus taškas funkcijas f(x), jei yra intervalas ( a; b), kurių sudėtyje yra X oi kokia prasme f(x o) mažiausias, t.y. f(x O)< f(x) visiems X nuo ( a; b). Vadinami didžiausi ir mažiausi taškai ekstremalūs taškai.

6 teorema(būtina funkcijos ekstremumo sąlyga). Jei x O yra funkcijos f ekstremumo taškas(x)ir yra darinys

f ¢( x 0),tada f "(x 0) = 0.

Įrodymas panašus į Rolle teoremos įrodymą.

Taškas x 0 , kuriame f ¢( x 0) = 0 arba f ¢( x 0) neegzistuoja, vadinamas kritinis taškas funkcijas f (x). Jie sako, kad kritiniai taškai įtariai žiūri į kraštutinumus, t.y. jie gali būti arba negali būti didžiausi arba minimalūs taškai.

7 teorema (pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga). Tegul f(x)diferencijuotas tam tikrame intervale, kuriame yra kritinis taškas x O ( išskyrus, ko gero, patį tašką x O) . Tada:

A) jei važiuojant per x O iš kairės į dešinę vedinys f ¢( x) keičia ženklą iš + į -,tada x O yra maksimalus funkcijos f taškas (x);

b) jei važiuojant per x O iš kairės į dešinę vedinys f ¢( x) keičia ženklą iš - į+,tada x O yra funkcijos f mažiausias taškas (x).

Įrodymas. Tegul tenkinamos visos pastraipos sąlygos A). Paimkime tašką X(nuo nurodyto intervalo) toks, kad X <X o, ir taikykite Lagrange'o teoremą intervalui ( X; X O). Mes gauname: f(x 0) -f(x) = (x 0 -x)×f¢( x 1), kur x 1 – tam tikras taškas nuo ( X; X O). Pagal sąlygą, f¢( x 1) > 0 ir ( x 0 -x) > 0, todėl f(x 0) >f(x). Panašiai įrodyta, kad bet kuriuo tašku X >X oi irgi f(x 0) >f(x). Iš šių teiginių išplaukia, kad tai yra didžiausias taškas, teiginys A) buvo įrodyta. Teiginys įrodytas panašiai b).

11 pavyzdys. 9 pavyzdys rodo, kad funkcija adresu= X 3 visur didėja, todėl jis neturi ekstremalių. Iš tiesų, jo išvestinė y"= 3X 2 yra lygus nuliui tik tada, kai X o = 0, t.y. šiuo metu įvykdoma būtinoji funkcijos ekstremumo sąlyga. Bet einant per 0 jo išvestinė y"= 3X 2 ženklo nekeičia, taigi X o = 0 nėra šios funkcijos kraštutinis taškas.

12 pavyzdys. 10 pavyzdys rodo, kad funkcija adresu = 0,25X 4 - 0,5X 2 turi kritinius taškus X 1 = 0, X 2 = -1, X 3 = 1. 34 brėžinyje nurodyta, kad einant per šiuos taškus jos išvestinė keičia ženklą, todėl X 1 , X 2 , X 3 - ekstremumo taškai, o X 1 = 0 yra didžiausias taškas ir X 2 = -1, X 3 = 1 – minimalūs taškai.

Toliau daromas šio pavyzdžio brėžinys. Funkcija f(x) = 0,25X 4 - 0,5X 2 yra tiriamas paritetas: f(-x) = 0,25(-X) 4 - 0,5(-X) 2 = f(x), todėl ši funkcija yra lygi, o jos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu OY. Aukščiau rasti grafiko taškai ir kai kurie pagalbiniai taškai, esantys grafike, yra nubrėžti ir sujungti lygia linija.

y= 0,25x 4 - 0,5x 2 0,5 -0,11

1 0 maks 1 x Ö`1/3 –0,14 A B

Po velnių.37.

8 teorema (antra pakankama ekstremumo sąlyga). Leiskite x 0 – kritinis funkcijos taškas f(x), ir yra antros eilės vedinys f¢¢( X 0). Tada:

a) jei f ¢¢( X 0) < 0, tada x 0 – maksimalus funkcijos f taškas(x);

b) jei f ¢¢( X 0) > 0, tada x 0 - mažiausias funkcijos f taškas(x).

Šios teoremos įrodymas nenagrinėjamas (žr.).

13 pavyzdys. Išnagrinėkite funkcijos y ekstremumą= 2x 2 - x 4 .

Sprendimas. Išvestinė randama y¢ ir kritiniai taškai, kuriuose

y¢ = 9: y¢ = 4 x - 4x 3 ; 4x - 4x 3 = 0 ® x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = -1 – kritiniai taškai. Randamas antros eilės išvestinę y¢¢ ir jo reikšmės kritiniuose taškuose apskaičiuojamos: y¢¢= 4–12 X 2 ; y¢¢(0) = 4, y¢¢(1) = –8, y¢¢(-1) = -8. Nes y¢¢(0) > 0, tada x 1 = 0 – minimalus taškas; ir nuo tada y¢ ¢ (1)< 0, y¢¢ (-1)< 0, то x 2 = 1, x 3 = -1 – didžiausi šios funkcijos taškai.

Absoliutus funkcijos ekstremumai segmente [a; b] vadinamos didžiausia ir mažiausia reikšmėmis f(x) ant [ a; b]. Šie ekstremumai pasiekiami kritiniuose funkcijos taškuose f(x), arba segmento galuose [ a; b].

14 pavyzdys. Nustatykite didžiausią ir mažiausią funkcijos y reikšmes = X 2× lnx intervale .

Sprendimas.Šios funkcijos išvestinė ir kritiniai taškai randami: adresu¢ = 2 x× lnx + x 2 ×(1/ x) = x×(2 lnx+1); x×(2× lnx+1) = 0 ® a) X 1 = 0; b) 2× lnx+ 1 = 0 ® ln x= -0,5 ® X 2 = e - 0,5 = 1/Ö `e» 0,607. Kritinis taškas X 1 = 0 neįtrauktas į nagrinėjamą intervalą, todėl funkcijos reikšmės randamos taške X 2 = e- 0,5 ir galuose A= 0,5, b = e. adresu(e -0,5) = (e- 0,5) 2 × ln(e - 0,5) =e - 1 (-0,5) = -0,5/e» -0,184; adresu(0,5) = 0,25 × ln 0,5 » 0,25 (-0,693) = -0,17325; adresu(e) = e 2× lne = e 2 × 1 colio 7,389. Iš rastų reikšmių pasirenkama didžiausia ir mažiausia reikšmė: didžiausia vertė „7,389 colio X = e, mažiausia vertė "-0,184 V at X = e - 0,5 .

Ekstremalios problemos.

Tokiose problemose nagrinėjami du kintamieji X Ir adresu, ir jums reikia rasti tokią vertę X, kurios vertė adresu yra didžiausias arba mažiausias. Šios problemos sprendimas apima šiuos veiksmus:

1) pasirenkama kraštutinė reikšmė y, kurio didžiausias arba minimumas turi būti rastas;

2) pasirenkamas kintamasis X, Ir y išreikštas per X;

3) apskaičiuojama išvestinė priemonė adresu"Ir yra kritinių taškų, kuriuose adresu"yra 0 arba neegzistuoja;

4) tiriami kritiniai taškai ties ekstremumu;

5) atsižvelgiama į vertybes y galuose ir apskaičiuojama užduotyje reikalinga reikšmė.

15 pavyzdys. Eksperimentiškai nustatyta, kad benzino suvartojimas

adresu(l) įjungta 100 km automobiliu GAZ-69 priklausomai nuo greičio x(km/h) aprašyta funkcija y = 18 - 0,3X + 0,003X 2 . Nustatykite ekonomiškiausią greitį.

Sprendimas.Čia pirmieji du žingsniai 1) ir 2) atliekami problemos teiginyje. Todėl išvestinė iš karto apskaičiuojama: y"= -0,3 +0,006X, ir randamas kritinis taškas: -0,3 + 0,006 X = 0 ® X o = 50. Dabar galioja antroji pakankama ekstremumo sąlyga: y""= 0,006 > 0 bet kuriame taške, todėl X o = 50 – minimalus taškas. Išvada: ekonomiškiausias greitis yra 50 km/h, o benzino sąnaudos 18 - 0,3 × 50 + 0,003 × 50 2 = 10,5 litro. už 100 km.

16 pavyzdys. Iš kvadratinio kartono lakšto, kurio kraštinė yra 60 cm, kampuose išpjaunami identiški kvadratai, o iš likusios dalies klijuojama stačiakampė dėžutė. Kokia turi būti nupjauto kvadrato pusė, kad dėžutės tūris būtų didžiausias?.

Sprendimas. Siekiant išspręsti problemą, atliekami aukščiau nurodyti veiksmai.

1). Pagal sąlygą dėžutės tūris turėtų būti didžiausias, todėl tegul y- dėžutės tūris.

2). Už nugaros X(cm) paimkite išpjaunamo kvadrato pusę. Tada dėžutės aukštis bus lygus X o dėžutės pagrindas bus kvadratas su šonine

(60 – 2X), jo plotas yra (60–2 X) 2 . Todėl dėžutės tūris yra y= X(60 – 2X) 2 = 3600X - 240X 2 + 4X 3 .

3). Apskaičiuojama išvestinė ir randami kritiniai taškai: y"= 3600 - 480X + 12X 2 ; X 2 - 40X+300 = 0 ® X 1 =10, X 2 =30 – kritiniai taškai.

4). 2 eilės išvestinė lygi y""= - 480 + 24X Ir y""(10) = -240, y""(30) = 240. Pagal 8 teoremą X 1 =10 – maksimalus taškas ir y max = 400 (cm 3).

5). Be to, X gali turėti kraštutinę vertę X 3 = 0. Bet adresu(0) = 0 – tai yra mažiau nei y maks.

Atsakymas: Iškirpto kvadrato kraštinė yra 10 cm.

©2015-2019 svetainė
Visos teisės priklauso jų autoriams. Ši svetainė nepretenduoja į autorystę, tačiau suteikia galimybę nemokamai naudotis.
Puslapio sukūrimo data: 2016-08-20