Soluzione grafica di sistemi di disequazioni a due variabili. Equazioni e disuguaglianze con due variabili Come risolvere un sistema di disequazioni con due variabili

La lezione video "Sistemi di disuguaglianze con due variabili" contiene materiale didattico visivo su questo argomento. La lezione include la considerazione del concetto di risoluzione di un sistema di disuguaglianze con due variabili, esempi di risoluzione grafica di tali sistemi. Il compito di questa video lezione è formare la capacità degli studenti di risolvere i sistemi di disuguaglianze con due variabili in modo grafico, per facilitare la comprensione del processo di trovare soluzioni a tali sistemi e ricordare il metodo di soluzione.

Ogni descrizione della soluzione è accompagnata da disegni che mostrano la soluzione del problema sul piano delle coordinate. Tali figure mostrano chiaramente le caratteristiche della costruzione di grafici e la posizione dei punti corrispondenti alla soluzione. Tutti i dettagli e i concetti importanti sono evidenziati con il colore. Pertanto, la lezione video è uno strumento conveniente per risolvere i problemi dell'insegnante in classe, liberando l'insegnante dall'invio di un blocco standard di materiale per il lavoro individuale con gli studenti.

Il video tutorial inizia introducendo l'argomento e guardando un esempio di come trovare soluzioni a un sistema costituito da disuguaglianze x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

La comprensione delle conclusioni tratte sulla soluzione del sistema delle disuguaglianze è rafforzata dalla considerazione di esempi. La prima soluzione del sistema delle disuguaglianze x 2 + y 2<=9 и x+y>=2. È ovvio che le soluzioni della prima disuguaglianza sul piano delle coordinate includono il cerchio x 2 + y 2 =9 e l'area al suo interno. Quest'area nella figura è riempita con tratteggio orizzontale. L'insieme delle soluzioni della disuguaglianza x+y>=2 include la retta x+y=2 e il semipiano situato sopra. Quest'area è indicata anche sul piano da tratti di direzione diversa. Possiamo ora definire l'intersezione dei due insiemi di soluzioni nella figura. È racchiuso in un segmento di cerchio x 2 + y 2<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

Viene inoltre analizzata la soluzione del sistema delle disuguaglianze lineari y>=x-3 e y>=-2x+4. Nella figura, accanto alla condizione dell'attività, viene costruito un piano di coordinate. Su di essa viene costruita una retta, corrispondente alle soluzioni dell'equazione y=x-3. L'area di soluzione della disuguaglianza y>=x-3 sarà l'area situata sopra la retta data. Lei è in ombra. L'insieme delle soluzioni della seconda disuguaglianza si trova al di sopra della retta y=-2x+4. Anche questa linea è costruita sullo stesso piano delle coordinate e l'area della soluzione è tratteggiata. L'intersezione di due insiemi è l'angolo costruito dalle due linee, insieme alla sua area interna. La regione delle soluzioni del sistema delle disuguaglianze è riempita con una doppia ombreggiatura.

Quando si considera il terzo esempio, si descrive il caso in cui i grafici delle equazioni corrispondenti alle disuguaglianze del sistema sono rette parallele. È necessario risolvere il sistema delle disuguaglianze y<=3x+1 и y>=3x-2. Sul piano delle coordinate viene costruita una retta corrispondente all'equazione y=3x+1. L'intervallo di valori corrispondenti alle soluzioni della disuguaglianza y<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

La videolezione "Sistemi di disuguaglianze con due variabili" può essere utilizzata come ausilio visivo in una lezione a scuola o sostituire la spiegazione dell'insegnante quando si studia il materiale da soli. Una chiara spiegazione dettagliata della soluzione dei sistemi di disuguaglianza sul piano delle coordinate può aiutare a presentare materiale nell'apprendimento a distanza.

Festival della ricerca e del lavoro creativo degli studenti

"Portafoglio"

Equazioni e disequazioni con due variabili

e la loro soluzione geometrica.

Fedorovič Julia

Studente di 10a elementare

MOU scuola secondaria №26

Supervisore:

Kulpina E.V.

insegnante di matematica

MOU scuola secondaria №26

Inverno, 2007

Introduzione.

2. Equazioni a due variabili, loro soluzione geometrica e applicazione.

2.1 Sistemi di equazioni.

2.2 Esempi di risoluzione di equazioni con due variabili.

2.3. Esempi di risoluzione di sistemi di equazioni con due variabili.

3. Le disuguaglianze e la loro soluzione geometrica.

3.1. Esempi di risoluzione delle disuguaglianze con due variabili

4. Metodo grafico per la risoluzione di problemi con i parametri.

5. conclusione.

6. Elenco della letteratura usata.

1. Introduzione

Ho accettato il lavoro su questo argomento perché studiare il comportamento delle funzioni e tracciarle è una branca importante della matematica, ed essere fluenti nelle tecniche di tracciatura spesso aiuta a risolvere molti problemi, e talvolta è l'unico mezzo per risolverli. Inoltre, il metodo grafico per risolvere le equazioni consente di determinare il numero di radici dell'equazione, i valori della radice, di trovare valori approssimativi e talvolta esatti delle radici.

In ingegneria e fisica, sono spesso usati proprio dal metodo grafico di impostazione delle funzioni. Un sismologo, analizzando un sismogramma, scopre quando è avvenuto il terremoto, dove è avvenuto determina la forza e la natura delle scosse. Il medico che ha esaminato il paziente può giudicare i disturbi cardiaci dal cardiogramma: lo studio del cardiogramma aiuta a diagnosticare correttamente la malattia. L'ingegnere elettronico radio, in base alle caratteristiche dell'elemento semiconduttore, seleziona la modalità più adatta del suo funzionamento. Il numero di tali esempi può essere facilmente aumentato. Inoltre, con lo sviluppo della matematica, cresce la penetrazione del metodo grafico nei più diversi ambiti della vita umana. In particolare, l'uso delle dipendenze funzionali e del tracciato è ampiamente utilizzato in economia. Ciò significa che l'importanza di studiare la sezione considerata della matematica a scuola, all'università, e soprattutto l'importanza di un lavoro indipendente su di essa, sta crescendo.

Con lo sviluppo della tecnologia informatica, con i suoi eccellenti strumenti grafici e l'elevata velocità delle operazioni, lavorare con i grafici delle funzioni è diventato molto più interessante, più chiaro e più eccitante. Avendo una rappresentazione analitica di alcune dipendenze, puoi costruire rapidamente un grafico, nella scala e nel colore desiderati, utilizzando vari strumenti software per questo.

Equazioni a due variabili e loro soluzione geometrica.

Digita equazione f(X; y)=0 è chiamata equazione con due variabili.

Una soluzione di un'equazione con due variabili è una coppia ordinata di numeri (α, β), sostituendo quale (α - invece di x, β - invece di y) l'espressione ha senso nell'equazione f(α; β)=0

Ad esempio, per l'equazione (( X+1)) 2 + A 2 =0 la coppia ordinata di numeri (0;0) è la sua soluzione, poiché l'espressione ((0+1)
) 2 +0 2 ha senso ed è uguale a zero, ma la coppia ordinata di numeri (-1;0) non è una soluzione, poiché non è definita
e quindi l'espressione ((-1+1)) 2 +0 2 non ha senso.

Risolvere un'equazione significa trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni.

Le equazioni con due variabili possono:

a) avere una soluzione. Ad esempio, l'equazione x 2 + y 2 \u003d 0 ha una soluzione (0; 0);

b) avere più soluzioni. Ad esempio, l'equazione data (‌‌│ X│- 1) 2 +(│A│- 2) 2 ha quattro soluzioni: (1;2),(-1;2),(1;-2),(-1;-2);

c) non hanno soluzioni. Ad esempio equazione X 2 +y 2 + 1=0 non ha soluzioni;

d) avere infinite soluzioni. Ad esempio, un'equazione come x-y+1=0 ha infinite soluzioni

A volte è utile un'interpretazione geometrica dell'equazione f(X; y)= g(X; y) . Sul piano delle coordinate hoy l'insieme di tutte le soluzioni è un insieme di punti. In un certo numero di casi questo insieme di punti è una certa linea, nel qual caso diciamo che l'equazione f(X; y)= g(X; y) c'è un'equazione per questa linea, ad esempio:

fig.1 fig.2 fig.3

fig.4 fig.5 fig.6

2.1 Sistemi di equazioni

Siano date due equazioni con incognite x e y

F 1 ( X; y)=0 eF 2 (X; y)=0

Assumiamo che la prima di queste equazioni definisca sul piano delle variabili X e A riga G 1 e la seconda riga G 2. Per trovare i punti di intersezione di queste rette, è necessario trovare tutte le coppie di numeri (α, β) tali che quando l'incognita viene sostituita in queste equazioni X dal numero α e dall'incognita A al numero β, otteniamo uguaglianze numeriche corrette. Se il compito è trovare tutte queste coppie di numeri, allora dicono che è necessario risolvere un sistema di equazioni e scrivere questo sistema usando una parentesi graffa nella forma seguente

Una soluzione di un sistema è una coppia di numeri (α, β) che è una soluzione sia per la prima che per la seconda equazione del sistema dato.

Risolvere un sistema significa trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni, o dimostrare che non ci sono soluzioni.

In alcuni casi, un'interpretazione geometrica di ogni equazione del sistema, perché le soluzioni del sistema corrispondono ai punti di intersezione delle rette definite da ciascuna equazione del sistema. Spesso l'interpretazione geometrica permette solo di indovinare il numero di soluzioni.

Per esempio, scopriamo quante soluzioni ha il sistema di equazioni

La prima delle equazioni del sistema definisce una circonferenza di raggio R=
centrata in (0;0), e la seconda è una parabola il cui vertice è nello stesso punto. Ora è chiaro che ci sono due punti di intersezione di queste linee. Pertanto, il sistema ha due soluzioni: queste sono (1; 1) e (-1; 1)

Esempi di risoluzione di equazioni con due variabili

Disegna tutti i punti con coordinate (x; y) per cui vale l'uguaglianza.

1. (x-1)(2y-3)=0

Questa equazione è equivalente alla combinazione di due equazioni

Ciascuna delle equazioni risultanti definisce una linea retta sul piano delle coordinate.

2. (x-y) (x 2 -4) \u003d 0

La soluzione di questa equazione è l'insieme dei punti del piano, le coordinate che soddisfano l'insieme delle equazioni

Sul piano delle coordinate, la soluzione sarà simile a questa

3.
=x 2

Soluzione: utilizziamo la definizione del valore assoluto e sostituiamo questa equazione con un insieme equivalente di due sistemi

y=x 2 +2x y = -x 2 +2x

X 2 +2x=0x in =1 anno in =1

x(x+2)=0

X in =-1 anno in =1-2=-1

Esempi di sistemi risolutivi.

Risolvi il sistema graficamente:

1)

In ogni equazione esprimiamo la variabile y in termini di X e costruire grafici delle funzioni corrispondenti:

y=
+1

a) costruire un grafico della funzione y=

Grafico delle funzioni y=+1 ottenuto dal grafico A= spostando due unità a destra e una in alto:

y \u003d - 0,5x + 2è una funzione lineare il cui grafico è una retta

La soluzione di questo sistema sono le coordinate del punto di intersezione dei grafici delle funzioni.

Risposta (2;1)

3. Le disuguaglianze e la loro soluzione geometrica.

Una disuguaglianza con due incognite può essere rappresentata come segue: f(X; y) >0, dove Z = f(X; y) è una funzione di due argomenti X e A. Se consideriamo l'equazione f(X; y) = 0, allora possiamo costruire la sua rappresentazione geometrica, cioè insieme di punti M(x; y), le cui coordinate soddisfano questa equazione. In ogni area, la funzione f conserva il segno, resta da scegliere quelli in cui f(X;y)>0.

Considera la disuguaglianza lineare ascia+ di+ c>0. Se uno dei coefficienti un oppure b diverso da zero poi l'equazione ascia+ di+ c=0 definisce una retta che divide il piano in due semipiani. Ciascuno di essi manterrà il segno della funzione z = ascia+ di+ c. Per determinare il segno, puoi prendere qualsiasi punto del semipiano e calcolare il valore della funzione z a questo punto.

Per esempio:

3x - 2 anni +6>0.

f(X;y) \u003d 3x - 2y +6,

f(-3;0) = -3 <0,

f(0;0) = 6>0.

La soluzione della disuguaglianza è l'insieme dei punti del semipiano destro (ombreggiato nella Figura 1)

Riso. uno

Disuguaglianza │y│+0,5 ≤
soddisfa l'insieme dei punti del piano (x; y), ombreggiata in Figura 2. Per costruire quest'area, utilizziamo la definizione del valore assoluto e i metodi per tracciare un grafico di funzione utilizzando il trasferimento parallelo del grafico di funzione lungo l'asse OX o OY

R
fig.2

f(X; y) =

f (0;0) = -1,5<0

f(2;2)= 2,1>0

3.1. Esempi di risoluzione delle disuguaglianze con due variabili.

Disegna un insieme di soluzioni a una disuguaglianza

un)

y=x 2 -2x

y=|x 2 -2x|

|y|=|x 2 -2x|

f(X; y)=

f (1;0)=-1<0

f(3;0) = -3<0

f(1;2) =1>0

f(-2;-2) = -6<0

f(1;-2)=1>0

La soluzione alla disuguaglianza è l'area ombreggiata nella Figura 3. Per tracciare quest'area, abbiamo utilizzato i metodi per tracciare un grafico con il modulo

Riso. 3

1)
2)
<0

f(2;0)=3>0

f(0;2)=-1<0

f(-2;0)=1>0

f(0;-2)=3>0

Per risolvere questa disuguaglianza, utilizziamo la definizione di valore assoluto

3.2. Esempi di risoluzione di sistemi di disuguaglianze.

Disegna l'insieme di soluzioni del sistema di disuguaglianze sul piano delle coordinate

un)

b)

4. Metodo grafico per la risoluzione di problemi con i parametri

Le attività con parametri sono attività che coinvolgono effettivamente funzioni di più variabili, di cui una variabile X viene scelta come variabile indipendente e le restanti svolgono il ruolo di parametri. Quando si risolvono tali problemi, i metodi grafici sono particolarmente efficaci. Ecco alcuni esempi

Si può vedere dalla figura che la retta y=4 interseca il grafico della funzione y=
in tre punti. Quindi l'equazione originale ha tre soluzioni per a= 4.

Trova tutti i valori dei parametri un, per cui l'equazione X 2 -6|x|+5=a ha esattamente tre radici distinte.

Soluzione: rappresentare graficamente la funzione y=x 2 -6x+5 per X≥0 e specchiarlo rispetto all'asse y. Famiglia di rette parallele all'asse x y=a, interseca il grafico in tre punti a un=5

3. Trova tutti i valori un, sotto cui la disuguaglianza
ha almeno una soluzione positiva.

Insieme dei punti del piano delle coordinate, della coordinata x e dei valori dei parametri un che soddisfano questa disuguaglianza sono l'unione di due regioni delimitate da parabole. La soluzione di questo compito è l'insieme di punti situati nel semipiano destro in corrispondenza di

x+a+x <2

Argomento della lezione: Disuguaglianze con due variabili.

Lo scopo della lezione: Insegna agli studenti come risolvere le disuguaglianze con due variabili.

Obiettivi della lezione:

1. Introdurre il concetto di disuguaglianza con due variabili. Insegna agli studenti come risolvere le disuguaglianze. Per formare le capacità di applicare il metodo grafico nella risoluzione delle disuguaglianze, la capacità di mostrare la soluzione sul piano delle coordinate.

2. Sviluppare il pensiero degli studenti, sviluppare le abilità pratiche degli studenti.

3. Educare gli studenti alla diligenza, all'indipendenza, all'atteggiamento responsabile nei confronti degli affari, all'iniziativa e all'indipendenza nel processo decisionale.

Libro di testo/letteratura: Algebra 9, materiali didattici.

Durante le lezioni:

1. Il concetto di disuguaglianza a due variabili e le sue soluzioni.

2. Disuguaglianza lineare con due variabili.

Considera le disuguaglianze: 0,5x 2 -2y + l 20 è una disuguaglianza con due variabili.

Considera la disuguaglianza 0,5x 2 -2y + l

Con x=1, y=2. Otteniamo la disuguaglianza corretta 0,5 1 - 2 2 + 1

Una coppia di numeri (1; 2), in cui il valore x è al primo posto e il valore y al secondo, è chiamata soluzione della disuguaglianza 0,5x 2 -2y + l

Definizione. Una soluzione a una disuguaglianza con due variabili è una coppia di valori di queste variabili che trasforma la disuguaglianza data in una vera disuguaglianza numerica.

Se ogni soluzione di una disuguaglianza con due variabili è rappresentata da un punto nel piano delle coordinate, si otterrà un grafico di questa disuguaglianza. Lui è una figura. Si dice che questa cifra sia data o descritta da una disuguaglianza.

Considera le disuguaglianze lineari con due variabili.

Definizione. Una disuguaglianza lineare a due variabili è una disuguaglianza della forma ax + per c, dove xey sono variabili, a, b e c sono alcuni numeri.

Se in una disuguaglianza lineare con due variabili il segno di disuguaglianza è sostituito da un segno di uguale, si ottiene un'equazione lineare. Il grafico dell'equazione lineare ax + by = c, in cui a o b non è uguale a zero, è una retta. Divide l'insieme di punti del piano delle coordinate che non gli appartengono in due regioni che rappresentano semipiani aperti.

Usando degli esempi, consideriamo come l'insieme delle soluzioni di una disuguaglianza con due variabili è rappresentato sul piano delle coordinate.

Esempio 1 Rappresentiamo sul piano delle coordinate l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza 2y+3x≤6.

Costruiamo una linea retta 2y + 3x \u003d 6, y \u003d 3-1,5x

La linea divide l'insieme di tutti i punti del piano delle coordinate in punti sotto e punti sopra di esso. Prendiamo un punto di controllo da ciascuna area: A(1;1), B(1;3).

Le coordinate del punto A soddisfano questa disuguaglianza 2y+3x≤6, 2 1+3 ​​​​1≤6, 5≤6

Le coordinate del punto B non soddisfano questa disuguaglianza 2y+3x≤6, 2·3+3·1≤6.

Questa disuguaglianza è soddisfatta dall'insieme dei punti dell'area in cui si trova il punto A. Ombreggiamo quest'area. Abbiamo rappresentato l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza 2y+3x≤6.

Per rappresentare l'insieme di soluzioni delle disuguaglianze sul piano delle coordinate, procedere come segue:

1. Costruiamo un grafico della funzione y = f(x), che divide il piano in due regioni.

2. Scegliamo una qualsiasi delle aree ottenute e consideriamo un punto arbitrario in essa. Verifichiamo la soddisfacibilità della disuguaglianza originale per questo punto. Se, a seguito della verifica, si ottiene una corretta disuguaglianza numerica, si conclude che la disuguaglianza originaria è soddisfatta nell'intera area di appartenenza del punto selezionato. Pertanto, l'insieme delle soluzioni alla disuguaglianza è l'area a cui appartiene il punto selezionato. Se a seguito del controllo si ottiene una disuguaglianza numerica errata, l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza sarà la seconda regione, a cui il punto selezionato non appartiene.

3. Se la disuguaglianza è rigorosa, i confini della regione, cioè i punti del grafico della funzione y = f (x), non sono inclusi nell'insieme delle soluzioni e il confine viene mostrato come una linea tratteggiata . Se la disuguaglianza non è rigorosa, allora i confini della regione, cioè i punti del grafico della funzione y = f(x), sono inclusi nell'insieme delle soluzioni di questa disuguaglianza, e il confine in questo caso è rappresentato come una linea continua.

Conclusione: - soluzione della disuguaglianza f(x,y)˃0, )