Diskrit disebut variabel acak yang dapat mengambil nilai terpisah dan terisolasi dengan probabilitas tertentu.
CONTOH 1. Berapa kali lambang negara muncul dalam tiga kali pelemparan uang logam. Nilai yang mungkin: 0, 1, 2, 3, probabilitasnya masing-masing sama:
P(0) = ; (1) = ; (2) = ; P(3) = .
CONTOH 2. Jumlah elemen yang gagal dalam suatu perangkat yang terdiri dari lima elemen. Nilai yang mungkin: 0, 1, 2, 3, 4, 5; probabilitasnya bergantung pada keandalan setiap elemen.
Variabel acak diskrit X dapat diberikan oleh deret distribusi atau fungsi distribusi (hukum distribusi integral).
Dekat distribusi adalah himpunan semua nilai yang mungkin XSaya dan probabilitasnya yang sesuai Rsaya = P(x = xSaya), itu dapat ditentukan sebagai tabel:
| x saya | xn |
|||
| pi saya | hal |
Pada saat yang sama, kemungkinannya RSaya memenuhi syaratnya
RSaya= 1 karena 
di mana adalah jumlah nilai yang mungkin N mungkin terbatas atau tidak terbatas.
Representasi grafis dari seri distribusi disebut poligon distribusi . Untuk membangunnya, nilai yang mungkin dari variabel acak ( XSaya) diplot sepanjang sumbu x, dan probabilitasnya RSaya- sepanjang sumbu ordinat; poin ASaya dengan koordinat ( Xsaya, halSaya) dihubungkan dengan garis putus-putus.
Fungsi distribusi variabel acak X disebut fungsi F(X), yang nilainya pada saat itu X sama dengan probabilitas bahwa variabel acak X akan kurang dari nilai ini X, itu adalah
F(x) = P(X< х).
Fungsi F(X) Untuk variabel acak diskrit dihitung dengan rumus
F(X) = RSaya , (1.10.1)
di mana penjumlahan dilakukan atas semua nilai Saya, untuk itu XSaya< х.
CONTOH 3. Dari batch yang berisi 100 produk, dimana terdapat 10 produk cacat, lima produk dipilih secara acak untuk diperiksa kualitasnya. Buatlah rangkaian distribusi bilangan acak X produk cacat yang terkandung dalam sampel.
Larutan. Karena dalam sampel jumlah produk cacat dapat berupa bilangan bulat apa pun yang berkisar antara 0 hingga 5 inklusif, maka nilai yang mungkin XSaya variabel acak X adalah sama:
x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.
Kemungkinan R(X = k) bahwa sampel berisi persis k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) produk cacat, sama dengan
P (X = k) = .
Hasil perhitungan menggunakan rumus ini dengan ketelitian 0,001 diperoleh:
R 1 = hal(X = 0) @ 0,583;R 2 = hal(X = 1) @ 0,340;R 3 = hal(X = 2) @ 0,070;
R 4 = hal(X = 3) @ 0,007;R 5 = hal(X= 4) @ 0;R 6 = hal(X = 5) @ 0.
Menggunakan kesetaraan untuk memeriksa Rk=1, kami memastikan bahwa perhitungan dan pembulatan dilakukan dengan benar (lihat tabel).
| x saya | ||||||
| pi saya |
CONTOH 4. Diberikan deret distribusi suatu variabel acak X :
| x saya | |||||
| pi saya |
Temukan fungsi distribusi probabilitas F(X) dari variabel acak ini dan buatlah.
Larutan. Jika X£10 kalau begitu F(X)= hal(X<X) = 0;
jika 10<X£20 kalau begitu F(X)= hal(X<X) = 0,2 ;
jika 20<X£30 kalau begitu F(X)= hal(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;
jika 30<X£40 kalau begitu F(X)= hal(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;
jika 40<X£50 kalau begitu F(X)= hal(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;
Jika X> 50, lalu F(X)= hal(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.
HUKUM DISTRIBUSI DAN KARAKTERISTIK
VARIABEL ACAK
Variabel acak, klasifikasinya dan metode deskripsinya.
Besaran acak adalah besaran yang, sebagai hasil percobaan, dapat mempunyai nilai tertentu, tetapi tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, untuk variabel acak, Anda hanya dapat menentukan nilai, yang salah satunya pasti akan diambil sebagai hasil eksperimen. Berikut ini kita akan menyebut nilai-nilai ini sebagai nilai yang mungkin dari variabel acak. Karena variabel acak secara kuantitatif mencirikan hasil acak suatu eksperimen, maka variabel acak dapat dianggap sebagai karakteristik kuantitatif dari peristiwa acak.
Variabel acak biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin, misalnya X..Y..Z, dan kemungkinan nilainya dengan huruf kecil yang sesuai.
Ada tiga jenis variabel acak:
Diskrit; Kontinu; Campuran.
Diskrit adalah variabel acak yang banyaknya nilai yang mungkin membentuk himpunan yang dapat dihitung. Pada gilirannya, himpunan yang elemen-elemennya dapat diberi nomor disebut dapat dihitung. Kata “diskrit” berasal dari bahasa Latin discretus yang berarti “terputus-putus, terdiri dari bagian-bagian yang terpisah”.
Contoh 1. Variabel acak diskrit adalah jumlah bagian cacat X dalam kumpulan nproduk. Memang, nilai yang mungkin dari variabel acak ini adalah rangkaian bilangan bulat dari 0 hingga n.
Contoh 2. Variabel acak diskrit adalah jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran. Di sini, seperti pada Contoh 1, nilai yang mungkin dapat diberi nomor, meskipun dalam kasus pembatas, nilai yang mungkin adalah bilangan yang sangat besar.
Kontinu adalah variabel acak yang nilai kemungkinannya terus menerus mengisi interval tertentu pada sumbu numerik, kadang disebut interval keberadaan variabel acak tersebut. Jadi, pada interval keberadaan berhingga, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu sangatlah besar.
Contoh 3. Variabel acak kontinu adalah konsumsi listrik bulanan suatu perusahaan.
Contoh 4. Variabel acak kontinu adalah kesalahan pengukuran tinggi badan dengan menggunakan altimeter. Diketahui dari prinsip pengoperasian altimeter bahwa kesalahan terletak pada rentang 0 sampai 2 m, oleh karena itu interval keberadaan variabel acak ini adalah interval 0 sampai 2 m.
Hukum distribusi variabel acak.
Variabel acak dianggap ditentukan sepenuhnya jika nilai yang mungkin ditunjukkan pada sumbu numerik dan hukum distribusi ditetapkan.
Hukum distribusi variabel acak adalah relasi yang menjalin hubungan antara nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitas yang bersesuaian.
Variabel acak dikatakan terdistribusi menurut hukum tertentu, atau tunduk pada hukum distribusi tertentu. Sejumlah probabilitas, fungsi distribusi, kepadatan probabilitas, dan fungsi karakteristik digunakan sebagai hukum distribusi.
Hukum distribusi memberikan gambaran kemungkinan yang lengkap tentang suatu variabel acak. Menurut hukum distribusi, sebelum melakukan percobaan, seseorang dapat menilai kemungkinan nilai mana dari suatu variabel acak yang akan lebih sering muncul dan mana yang lebih jarang.
Untuk variabel acak diskrit, hukum distribusinya dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, secara analitis (dalam bentuk rumus) dan secara grafis.
Bentuk paling sederhana untuk menentukan hukum distribusi variabel acak diskrit adalah tabel (matriks), yang mencantumkan dalam urutan menaik semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitasnya yang sesuai, yaitu.
Tabel seperti ini disebut deret distribusi variabel acak diskrit. 1
Peristiwa X 1, X 2,..., X n, yang terdiri dari kenyataan bahwa sebagai hasil pengujian, variabel acak X masing-masing akan mengambil nilai x 1, x 2,... x n adalah tidak konsisten dan satu-satunya yang mungkin (karena tabel mencantumkan semua kemungkinan nilai variabel acak), mis. membentuk kelompok yang lengkap. Oleh karena itu, jumlah probabilitasnya sama dengan 1. Jadi, untuk sembarang variabel acak diskrit
(Unit ini entah bagaimana terdistribusi di antara nilai-nilai variabel acak, oleh karena itu istilah "distribusi").
Deret distribusi dapat digambarkan secara grafis jika nilai-nilai variabel acak diplot sepanjang sumbu absis, dan probabilitas yang sesuai diplot sepanjang sumbu ordinat. Sambungan titik-titik yang diperoleh membentuk garis putus-putus yang disebut poligon atau poligon distribusi probabilitas (Gbr. 1).
Contoh Lotere tersebut meliputi: sebuah mobil senilai 5.000 den. unit, 4 TV seharga 250 den. unit, 5 perekam video senilai 200 sarang. unit Sebanyak 1000 tiket terjual selama 7 hari. unit Buatlah undang-undang pembagian kemenangan bersih yang diterima oleh seorang peserta lotere yang membeli satu tiket.
Larutan. Nilai yang mungkin dari variabel acak X - kemenangan bersih per tiket - sama dengan 0-7 = -7 uang. unit (jika tiket tidak menang), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unit (jika tiketnya masing-masing berisi kemenangan VCR, TV, atau mobil). Mengingat dari 1000 tiket jumlah yang bukan pemenang adalah 990, dan kemenangan yang ditunjukkan masing-masing adalah 5, 4 dan 1, dan menggunakan definisi klasik tentang probabilitas, kita peroleh.
Bab 1. Variabel acak diskrit
§ 1. Konsep variabel acak.
Hukum distribusi variabel acak diskrit.
Definisi : Acak adalah suatu besaran yang, sebagai hasil pengujian, hanya mengambil satu nilai dari sekumpulan kemungkinan nilainya, tidak diketahui sebelumnya dan bergantung pada alasan acak.
Ada dua jenis variabel acak: diskrit dan kontinu.
Definisi : Variabel acak X disebut terpisah (terputus-putus) jika himpunan nilainya berhingga atau tidak terhingga tetapi dapat dihitung.
Dengan kata lain, nilai yang mungkin dari suatu variabel acak diskrit dapat dinomori ulang.
Suatu variabel acak dapat dijelaskan dengan menggunakan hukum distribusinya.
Definisi : Hukum distribusi variabel acak diskrit sebut korespondensi antara nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitasnya.
Hukum distribusi variabel acak diskrit X dapat ditentukan dalam bentuk tabel, di baris pertama di mana semua nilai yang mungkin dari variabel acak ditunjukkan dalam urutan menaik, dan di baris kedua probabilitas yang sesuai dari variabel acak tersebut nilai-nilai, yaitu
dimana р1+ р2+…+ рn=1
Tabel seperti ini disebut deret distribusi variabel acak diskrit.
Jika himpunan nilai yang mungkin dari suatu variabel acak tidak terhingga, maka deret p1+ p2+…+ pn+… konvergen dan jumlahnya sama dengan 1.
Hukum distribusi variabel acak diskrit X dapat digambarkan secara grafis, di mana garis putus-putus dibangun dalam sistem koordinat persegi panjang, menghubungkan titik-titik berurutan dengan koordinat (xi; pi), i=1,2,…n. Garis yang dihasilkan disebut poligon distribusi (Gbr. 1).
Kimia organik" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">kimia organik masing-masing bernilai 0,7 dan 0,8. Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak X - banyaknya ujian yang akan dilalui siswa.
Larutan. Variabel acak X yang dianggap sebagai hasil ujian dapat mengambil salah satu nilai berikut: x1=0, x2=1, x3=2.
Mari kita cari probabilitas dari nilai-nilai ini. Mari kita nyatakan kejadiannya:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Jadi, hukum distribusi variabel acak X diberikan dalam tabel:
Kontrol: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Fungsi distribusi
Penjelasan lengkap tentang variabel acak juga diberikan oleh fungsi distribusi.
Definisi: Fungsi distribusi variabel acak diskrit X disebut fungsi F(x), yang menentukan untuk setiap nilai x probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari x:
F(x)=P(X<х)
Secara geometris, fungsi distribusi diartikan sebagai peluang suatu variabel acak X mengambil nilai yang diwakili pada garis bilangan dengan titik yang terletak di sebelah kiri titik x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) merupakan fungsi tak menurun pada (-∞;+∞);
3) F(x) - kontinu di sebelah kiri pada titik x= xi (i=1,2,...n) dan kontinu di semua titik lainnya;
4) F(-∞)=P(X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Jika hukum distribusi variabel acak diskrit X diberikan dalam bentuk tabel:
maka fungsi distribusi F(x) ditentukan dengan rumus:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 untuk x≤ x1,
р1 di x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 di x2< х≤ х3
1 untuk x>xn.
Grafiknya ditunjukkan pada Gambar 2:
§ 3. Karakteristik numerik dari variabel acak diskrit.
Salah satu karakteristik numerik yang penting adalah ekspektasi matematis.
Definisi: Ekspektasi matematis M(X) variabel acak diskrit X adalah jumlah produk dari semua nilainya dan probabilitas yang sesuai:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Ekspektasi matematis berfungsi sebagai karakteristik nilai rata-rata suatu variabel acak.
Sifat-sifat ekspektasi matematis:
1)M(C)=C, dimana C adalah nilai konstan;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), dimana X, Y adalah variabel acak bebas;
5)M(X±C)=M(X)±C, dimana C adalah nilai konstan;
Untuk mengkarakterisasi derajat dispersi nilai-nilai yang mungkin dari suatu variabel acak diskrit di sekitar nilai rata-ratanya, digunakan dispersi.
Definisi: Perbedaan D ( X ) variabel acak X adalah ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat variabel acak dari ekspektasi matematisnya:
Sifat dispersi:
1)D(C)=0, di mana C adalah nilai konstan;
2)D(X)>0, dimana X adalah variabel acak;
3)D(C X)=C2 D(X), dimana C adalah nilai konstan;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), dimana X, Y adalah variabel acak bebas;
Untuk menghitung varians, seringkali lebih mudah menggunakan rumus:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
dimana M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Varians D(X) memiliki dimensi variabel acak kuadrat, yang tidak selalu sesuai. Oleh karena itu, nilai √D(X) juga digunakan sebagai indikator sebaran nilai kemungkinan suatu variabel acak.
Definisi: Deviasi standar σ(X) variabel acak X disebut akar kuadrat dari varians:
Tugas No.2. Variabel acak diskrit X ditentukan oleh hukum distribusi:
Temukan P2, fungsi distribusi F(x) dan buat grafiknya, serta M(X), D(X), σ(X).
Larutan: Karena jumlah probabilitas nilai yang mungkin dari variabel acak X sama dengan 1, maka
P2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Mari kita cari fungsi distribusi F(x)=P(X Secara geometris persamaan ini dapat diartikan sebagai berikut: F(x) adalah peluang suatu variabel acak mengambil nilai yang dinyatakan pada sumbu bilangan dengan titik yang terletak di sebelah kiri titik x. Jika x≤-1, maka F(x)=0, karena tidak ada satu pun nilai variabel acak ini pada (-∞;x); Jika -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Jika 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) ada dua nilai x1=-1 dan x2=0; Jika 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Jika 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Jika x>3, maka F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0.3+0.2+0.3=1, karena empat nilai x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 termasuk dalam interval (-∞;x) dan x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 pada x≤-1, 0,1 pada -1<х≤0, 0,2 pada 0<х≤1, F(x)= 0,5 pada 1<х≤2, 0,7 pada 2<х≤3, 1 di x>3 Mari kita nyatakan fungsinya F(x) secara grafis (Gbr. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Hukum distribusi binomial variabel acak diskrit, hukum Poisson. Definisi: Binomium
disebut hukum distribusi variabel acak diskrit X - banyaknya kemunculan kejadian A dalam n percobaan berulang yang independen, yang masing-masing kejadian A dapat terjadi dengan probabilitas p atau tidak terjadi dengan probabilitas q = 1-p. Maka P(X=m) - peluang terjadinya kejadian A tepat m kali dalam n percobaan dihitung menggunakan rumus Bernoulli: (Х=m)=Сmnpmqn-m Ekspektasi matematis, dispersi, dan simpangan baku dari variabel acak X yang terdistribusi menurut hukum biner masing-masing dicari menggunakan rumus: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Peluang kejadian A - “meluncurkan lima” di setiap percobaan adalah sama dan sama dengan 1/6 , yaitu P(A)=p=1/6, maka P(A)=1-p=q=5/6, dimana - “gagal mendapat nilai A.” Variabel acak X dapat mengambil nilai berikut: 0;1;2;3. Kami mencari probabilitas setiap kemungkinan nilai X menggunakan rumus Bernoulli: (Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; (Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; (Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; (Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Itu. hukum distribusi variabel acak X berbentuk: Kontrol: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Mari kita cari karakteristik numerik dari variabel acak X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Tugas No.4. Mesin otomatis mencap bagian-bagiannya. Peluang suatu suku cadang yang diproduksi akan rusak adalah 0,002. Tentukan peluang bahwa di antara 1000 bagian yang dipilih akan terdapat: a) 5 cacat; b) setidaknya satu rusak. Larutan:
Angka n=1000 besar, kemungkinan menghasilkan bagian yang cacat p=0,002 kecil, dan kejadian-kejadian yang dipertimbangkan (bagian tersebut ternyata cacat) adalah independen, oleh karena itu rumus Poisson berlaku: n(m)= e-
λ
λm Mari kita cari λ=np=1000 0,002=2. a) Tentukan peluang terdapat 5 bagian yang rusak (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Tentukan peluang paling sedikit ada satu bagian yang rusak. Kejadian A - “setidaknya salah satu bagian yang dipilih rusak” adalah kebalikan dari kejadian - “semua bagian yang dipilih tidak cacat.” Oleh karena itu, P(A) = 1-P(). Oleh karena itu probabilitas yang diinginkan sama dengan: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Tugas untuk pekerjaan mandiri.
1.1
1.2.
Variabel acak terdispersi X ditentukan oleh hukum distribusi: Temukan p4, fungsi distribusi F(X) dan buat grafiknya, serta M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Ada 9 spidol di dalam kotak, 2 diantaranya sudah tidak ada tulisannya lagi. Ambil 3 spidol secara acak. Variabel acak X adalah banyaknya penanda tulisan di antara yang diambil. Buatlah hukum distribusi variabel acak. 1.4.
Terdapat 6 buku pelajaran yang disusun secara acak pada rak perpustakaan, 4 diantaranya dijilid. Pustakawan mengambil 4 buku pelajaran secara acak. Variabel acak X adalah banyaknya buku teks yang dijilid di antara yang diambil. Buatlah hukum distribusi variabel acak. 1.5.
Ada dua tugas di tiket. Peluang menyelesaikan soal pertama dengan benar adalah 0,9, soal kedua 0,7. Variabel acak X adalah jumlah soal yang diselesaikan dengan benar di tiket. Buatlah hukum distribusi, hitung ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak ini, serta temukan fungsi distribusi F(x) dan buat grafiknya. 1.6.
Tiga penembak menembak sasaran. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,5 untuk penembak pertama, 0,8 untuk penembak kedua, dan 0,7 untuk penembak ketiga. Variabel acak X adalah jumlah pukulan pada sasaran jika penembak melepaskan satu tembakan dalam satu waktu. Temukan hukum distribusi, M(X),D(X). 1.7.
Seorang pemain bola basket melemparkan bola ke dalam keranjang dengan peluang mengenai setiap tembakan sebesar 0,8. Untuk setiap pukulan, dia menerima 10 poin, dan jika dia gagal, dia tidak diberikan poin. Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak X - jumlah poin yang diterima seorang pemain bola basket dalam 3 tembakan. Temukan M(X),D(X), serta peluang dia mendapat lebih dari 10 poin. 1.8.
Huruf tertulis di kartu, total 5 vokal dan 3 konsonan. 3 kartu dipilih secara acak, dan setiap kali kartu yang diambil dikembalikan. Variabel acak X adalah banyaknya vokal yang diambil. Buatlah hukum distribusi dan temukan M(X),D(X),σ(X). 1.9.
Rata-rata, berdasarkan 60% kontrak, perusahaan asuransi membayar jumlah asuransi sehubungan dengan terjadinya peristiwa yang diasuransikan. Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak X - jumlah kontrak yang jumlah asuransinya dibayarkan di antara empat kontrak yang dipilih secara acak. Temukan karakteristik numerik dari kuantitas ini. 1.10.
Stasiun radio mengirimkan tanda panggil (tidak lebih dari empat) pada interval tertentu sampai komunikasi dua arah terjalin. Peluang menerima respons terhadap tanda panggil adalah 0,3. Variabel acak X adalah banyaknya tanda panggil yang dikirimkan. Buatlah hukum distribusi dan temukan F(x). 1.11.
Ada 3 kunci, hanya satu yang cocok untuk gemboknya. Buatlah hukum untuk distribusi variabel acak X-jumlah upaya membuka kunci, jika kunci yang dicoba tidak ikut serta dalam upaya berikutnya. Temukan M(X),D(X). 1.12.
Pengujian independen berturut-turut terhadap tiga perangkat dilakukan untuk keandalan. Setiap perangkat berikutnya diuji hanya jika perangkat sebelumnya dapat diandalkan. Probabilitas lulus tes untuk setiap perangkat adalah 0,9. Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak X-jumlah perangkat yang diuji. 1.13
.Variabel acak diskrit X memiliki tiga kemungkinan nilai: x1=1, x2, x3, dan x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Blok perangkat elektronik berisi 100 elemen identik. Peluang kegagalan setiap elemen selama waktu T adalah 0,002. Elemen-elemennya bekerja secara independen. Temukan probabilitas bahwa tidak lebih dari dua elemen akan gagal selama waktu T. 1.15.
Buku teks tersebut diterbitkan dalam sirkulasi 50.000 eksemplar. Peluang buku teks dijilid salah adalah 0,0002. Tentukan peluang bahwa sirkulasi tersebut berisi: a) empat buku cacat, b) kurang dari dua buku cacat. 1
.16.
Banyaknya panggilan yang masuk ke PBX setiap menitnya didistribusikan sesuai hukum Poisson dengan parameter λ=1.5. Temukan probabilitas bahwa dalam satu menit hal berikut akan tiba: a) dua panggilan; b) setidaknya satu panggilan. 1.17.
Carilah M(Z),D(Z) jika Z=3X+Y. 1.18.
Hukum distribusi dua variabel acak independen diberikan: Carilah M(Z),D(Z) jika Z=X+2Y. Jawaban:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 pada x≤-2, 0,3 pada -2<х≤0, F(x)= 0,5 pada 0<х≤2, 0,9 pada 2<х≤5, 1 pada x>5 0,3 pada -1<х≤0, 0,4 pada 0<х≤1, F(x)= 0,6 pada 1<х≤2, 0,7 pada 2<х≤3, 1 di x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 pada x≤0, 0,03 pada 0<х≤1, F(x)= 0,37 pada 1<х≤2, 1 untuk x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Bab 2. Variabel acak kontinu
Definisi: Kontinu
adalah besaran yang semua nilai yang mungkin memenuhi seluruh rentang garis bilangan yang berhingga atau tak terhingga. Jelasnya, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas. Variabel acak kontinu dapat ditentukan menggunakan fungsi distribusi. Definisi: F fungsi distribusi
variabel acak kontinu X disebut fungsi F(x), yang menentukan untuk setiap nilai xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Fungsi distribusi terkadang disebut fungsi distribusi kumulatif. Sifat-sifat fungsi distribusi:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Untuk variabel acak kontinu, fungsi distribusinya kontinu di titik mana pun dan terdiferensiasi di mana pun, kecuali, mungkin, di titik-titik individual. 3) Peluang suatu variabel acak X masuk ke salah satu interval (a;b), [a;b], [a;b], sama dengan selisih antara nilai fungsi F(x) di titik a dan b, yaitu. R(a)<Х 4) Peluang suatu variabel acak kontinu X mengambil satu nilai terpisah adalah 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Menentukan variabel acak kontinu menggunakan fungsi distribusi bukanlah satu-satunya cara. Mari kita perkenalkan konsep kepadatan distribusi probabilitas (distribution kepadatan). Definisi
:
Kepadatan distribusi probabilitas
F
(
X
)
dari variabel acak kontinu X merupakan turunan dari fungsi distribusinya, yaitu: Fungsi kepadatan probabilitas kadang-kadang disebut fungsi distribusi diferensial atau hukum distribusi diferensial. Grafik distribusi kepadatan probabilitas f(x) disebut kurva distribusi probabilitas
.
Sifat distribusi kepadatan probabilitas:
1) f(x) ≥0, di xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8 detik; b) Diketahui F(x)= ∫ f(x)dx Oleh karena itu, x jika x≤2, maka F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 jika x>6, maka F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Dengan demikian, 0 di x≤2, F(x)= (x-2)2/16 jam 2<х≤6, 1 untuk x>6. Grafik fungsi F(x) ditunjukkan pada Gambar 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 di x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π pada 0<х≤√3, 1 untuk x>√3. Temukan fungsi distribusi diferensial f(x) Larutan:
Karena f(x)= F’(x), maka DIV_ADBLOCK93"> · Ekspektasi matematis M (X)
variabel acak kontinu X ditentukan oleh persamaan: M(X)= ∫ xf(x)dx, asalkan integral ini konvergen mutlak. · Penyebaran
D
(
X
)
variabel acak kontinu X ditentukan oleh persamaan: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, atau D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Simpangan baku σ(X)
variabel acak kontinu ditentukan oleh persamaan: Semua sifat ekspektasi dan dispersi matematis, yang dibahas sebelumnya untuk variabel acak tersebar, juga valid untuk variabel kontinu. Tugas No.3. Variabel acak X ditentukan oleh fungsi diferensial f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Masalah untuk solusi mandiri.
2.1.
Variabel acak kontinu X ditentukan oleh fungsi distribusi: 0 pada x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 untuk x≤ π/6, F(x)= - cos 3x pada π/6<х≤ π/3, 1 untuk x> π/3. Temukan fungsi distribusi diferensial f(x), dan juga (2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 di x≤2, f(x)= cx pada 2<х≤4, 0 untuk x>4. 2.4.
Variabel acak kontinu X ditentukan oleh kepadatan distribusi: 0 pada x≤0, f(x)= c √x pada 0<х≤1, 0 untuk x>1. Temukan: a) nomor c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> di x, 0 di x. Temukan: a) F(x) dan buat grafiknya; b) M(X),D(X), σ(X); c) peluang bahwa dalam empat percobaan bebas nilai X akan tepat 2 kali nilai pada interval (1;4). 2.6.
Kepadatan distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu X diberikan: f(x)= 2(x-2) di x, 0 di x. Temukan: a) F(x) dan buat grafiknya; b) M(X),D(X), σ (X); c) probabilitas bahwa dalam tiga percobaan independen nilai X akan mengambil tepat 2 kali nilai segmen tersebut. 2.7.
Fungsi f(x) diberikan sebagai: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Fungsi f(x) diberikan sebagai: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Temukan: a) nilai konstanta c di mana fungsi tersebut akan menjadi kepadatan probabilitas beberapa variabel acak X; b) fungsi distribusi F(x). 2.9.
Variabel acak X, terkonsentrasi pada interval (3;7), ditentukan oleh fungsi distribusi F(x)= . Temukan kemungkinan itu variabel acak X akan mengambil nilai: a) kurang dari 5, b) tidak kurang dari 7. 2.10.
Variabel acak X, terkonsentrasi pada interval (-1;4), diberikan oleh fungsi distribusi F(x)= . Temukan kemungkinan itu variabel acak X akan mengambil nilai: a) kurang dari 2, b) tidak kurang dari 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Temukan: a) nomor c; b) M(X); c) probabilitas P(X> M(X)). 2.12.
Variabel acak ditentukan oleh fungsi distribusi diferensial: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Temukan: a) M(X); b) probabilitas P(X≤M(X)) 2.13.
Distribusi Rem diberikan oleh kepadatan probabilitas: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> untuk x ≥0. Buktikan bahwa f(x) memang merupakan fungsi kepadatan probabilitas. 2.14.
Kepadatan distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu X diberikan: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(Gbr. 5) 2.16.
Variabel acak X terdistribusi menurut hukum “segitiga siku-siku” pada interval (0;4) (Gbr. 5). Temukan ekspresi analitis untuk kepadatan probabilitas f(x) pada seluruh garis bilangan. Jawaban
0 pada x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 untuk x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x pada π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 untuk x≤a, f(x)= untuk a<х 0 untuk x≥b. Grafik fungsi f(x) ditunjukkan pada Gambar. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Tugas No.1. Variabel acak X terdistribusi secara merata pada segmen tersebut. Menemukan: a) kepadatan distribusi probabilitas f(x) dan plot; b) fungsi distribusi F(x) dan plot; c) M(X),D(X), σ(X). Larutan:
Dengan menggunakan rumus yang dibahas di atas, dengan a=3, b=7, kita mendapatkan: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> pada 3≤х≤7, 0 untuk x>7 Mari kita buat grafiknya (Gbr. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 di x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Gbr. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 pada x<0, f(x)= λе-λх untuk x≥0. Fungsi distribusi variabel acak X, yang terdistribusi menurut hukum eksponensial, diberikan dengan rumus: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> Gambar 6 Ekspektasi matematis, varians dan deviasi standar dari distribusi eksponensial masing-masing sama dengan: M(X)= , D(X)=, σ (Х)= Jadi, ekspektasi matematis dan simpangan baku dari distribusi eksponensial adalah sama satu sama lain. Peluang jatuhnya X pada interval (a;b) dihitung dengan rumus: P(sebuah<Х Tugas No.2. Rata-rata waktu pengoperasian bebas kegagalan perangkat adalah 100 jam Dengan asumsi waktu pengoperasian bebas kegagalan perangkat memiliki hukum distribusi eksponensial, tentukan: a) kepadatan distribusi probabilitas; b) fungsi distribusi; c) kemungkinan waktu pengoperasian bebas kegagalan perangkat akan melebihi 120 jam. Larutan:
Sesuai dengan kondisi, distribusi matematika M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 di x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x untuk x≥0. b) F(x)= 0 di x<0, 1-e -0,01x pada x≥0. c) Kami menemukan probabilitas yang diinginkan menggunakan fungsi distribusi: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3.Hukum distribusi normal Definisi:
Variabel acak kontinu yang dimiliki X hukum distribusi normal (hukum Gauss),
jika kepadatan distribusinya berbentuk: dimana m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Kurva distribusi normal disebut kurva normal atau Gaussian
(Gbr.7) Fungsi distribusi variabel acak X yang terdistribusi menurut hukum normal dinyatakan melalui fungsi Laplace (x) dengan rumus: di mana fungsi Laplace. Komentar:
Fungsi Ф(x) ganjil (Ф(-х)=-Ф(х)), selain itu, untuk x>5 kita asumsikan Ф(х) ≈1/2. Grafik fungsi distribusi F(x) ditunjukkan pada Gambar. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Probabilitas nilai absolut simpangan lebih kecil dari bilangan positif dihitung dengan rumus: Khususnya, untuk m=0 persamaan berikut berlaku: "Aturan Tiga Sigma"
Jika suatu variabel acak X mempunyai hukum distribusi normal dengan parameter m dan σ, maka hampir dapat dipastikan nilainya terletak pada interval (a-3σ; a+3σ), karena https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Mari kita gunakan rumus: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Dari tabel nilai fungsi Ф(х) kita menemukan Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Jadi, probabilitas yang diinginkan: hal(28 Tugas untuk pekerjaan mandiri
3.1.
Variabel acak X terdistribusi merata pada interval (-3;5). Menemukan: b) fungsi distribusi F(x); c) karakteristik numerik; d) probabilitas P(4<х<6). 3.2.
Variabel acak X terdistribusi secara merata pada segmen tersebut. Menemukan: a) kepadatan distribusi f(x); b) fungsi distribusi F(x); c) karakteristik numerik; d) probabilitas P(3≤х≤6). 3.3.
Terdapat lampu lalu lintas otomatis di jalan raya yang lampu hijau menyala selama 2 menit, kuning selama 3 detik, merah selama 30 detik, dan seterusnya. Tentukan peluang sebuah mobil melewati lampu lalu lintas tanpa berhenti. 3.4.
Kereta bawah tanah beroperasi secara teratur dengan interval 2 menit. Seorang penumpang memasuki peron secara acak. Berapa peluang seorang penumpang harus menunggu lebih dari 50 detik untuk mendapatkan kereta? Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak X - waktu tunggu kereta. 3.5.
Temukan varians dan deviasi standar dari distribusi eksponensial yang diberikan oleh fungsi distribusi: F(x)= 0 pada x<0, 1-8x untuk x≥0. 3.6.
Variabel acak kontinu X ditentukan oleh kepadatan distribusi probabilitas: f(x)= 0 di x<0, 0,7 e-0,7x pada x≥0. a) Sebutkan hukum distribusi variabel acak yang ditinjau. b) Temukan fungsi distribusi F(X) dan karakteristik numerik dari variabel acak X. 3.7.
Variabel acak X terdistribusi menurut hukum eksponensial yang ditentukan oleh kepadatan distribusi probabilitas: f(x)= 0 di x<0, 0,4 e-0,4 x pada x≥0. Tentukan peluang bahwa sebagai hasil pengujian X akan mengambil nilai dari interval (2,5;5). 3.8.
Variabel acak kontinu X terdistribusi menurut hukum eksponensial yang ditentukan oleh fungsi distribusi: F(x)= 0 pada x<0, 1-0,6x pada x≥0 Temukan probabilitas bahwa, sebagai hasil pengujian, X akan mengambil nilai dari segmen tersebut. 3.9.
Nilai yang diharapkan dan deviasi standar dari variabel acak yang terdistribusi normal masing-masing adalah 8 dan 2. Temukan: a) kepadatan distribusi f(x); b) peluang bahwa sebagai hasil pengujian X akan mengambil nilai dari interval (10;14). 3.10.
Variabel acak X berdistribusi normal dengan ekspektasi matematis 3,5 dan varians 0,04. Menemukan: a) kepadatan distribusi f(x); b) probabilitas bahwa sebagai hasil pengujian X akan mengambil nilai dari segmen tersebut . 3.11.
Variabel acak X berdistribusi normal dengan M(X)=0 dan D(X)=1. Manakah kejadian berikut: |X|≤0.6 atau |X|≥0.6 yang lebih mungkin terjadi? 3.12.
Variabel acak X berdistribusi normal dengan M(X)=0 dan D(X)=1.Dari interval mana (-0,5;-0,1) atau (1;2) lebih mungkin untuk mengambil nilai dalam satu pengujian? 3.13.
Harga per saham saat ini dapat dimodelkan menggunakan hukum distribusi normal dengan M(X)=10 den. unit dan σ (X)=0,3 sarang. unit Menemukan: a) probabilitas bahwa harga saham saat ini akan berasal dari 9,8 den. unit hingga 10,4 hari unit; b) dengan menggunakan “aturan tiga sigma”, temukan batas di mana harga saham saat ini akan ditempatkan. 3.14.
Zat tersebut ditimbang tanpa kesalahan sistematik. Kesalahan penimbangan acak tunduk pada hukum normal dengan rasio kuadrat rata-rata σ=5g. Temukan probabilitas bahwa dalam empat percobaan independen kesalahan dalam tiga penimbangan tidak akan terjadi pada nilai absolut 3r. 3.15.
Variabel acak X berdistribusi normal dengan M(X)=12,6. Peluang suatu variabel acak masuk ke dalam interval (11,4;13,8) adalah 0,6826. Temukan simpangan baku σ. 3.16.
Variabel acak X berdistribusi normal dengan M(X)=12 dan D(X)= 36. Tentukan interval ke mana variabel acak X akan masuk sebagai hasil pengujian dengan probabilitas 0,9973. 3.17.
Suatu bagian yang diproduksi oleh mesin otomatis dianggap cacat jika deviasi X parameter yang dikontrol dari nilai nominal melebihi modulo 2 satuan pengukuran. Diasumsikan bahwa variabel acak X berdistribusi normal dengan M(X)=0 dan σ(X)=0,7. Berapa persentase suku cadang cacat yang diproduksi mesin tersebut? 3.18.
Parameter X bagian tersebut berdistribusi normal dengan ekspektasi matematis 2 sama dengan nilai nominal dan simpangan baku 0,014. Tentukan peluang penyimpangan X dari nilai nominal tidak melebihi 1% dari nilai nominal. Jawaban
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 untuk x≤-3, F(x)= kiri"> 3.10.
a)f(x)= , b) P(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. X; arti F(5); probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai dari segmen tersebut. Buatlah poligon distribusi. Tetapkan hukum distribusi variabel acak X dalam bentuk tabel. Temukan fungsi distribusi variabel acak X. Buatlah grafik fungsi dan . Hitung ekspektasi matematis, varians, modus, dan median suatu variabel acak X. Contoh A: 6 9 7 6 4 4 Contoh B: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 Opsi 17. Hitung ekspektasi dan varians matematisnya. Temukan fungsi distribusi variabel acak X. Buatlah grafik fungsi dan . Hitung ekspektasi matematis, varians, modus dan median dari variabel acak X. · rata-rata sampel; · varian sampel; Modus dan median; Contoh A: 0 0 2 2 1 4 · rata-rata sampel; · varian sampel; deviasi sampel standar; · modus dan median; Contoh B: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 Opsi 18. Hitung ekspektasi dan varians matematisnya. Temukan fungsi distribusi variabel acak X. Gambarlah grafik fungsi dan . Hitung ekspektasi matematis, varians, modus, dan median suatu variabel acak X. · rata-rata sampel; · varian sampel; deviasi sampel standar; · modus dan median; Contoh A: 4 7 6 3 3 4 · rata-rata sampel; · varian sampel; deviasi sampel standar; · modus dan median; Contoh B: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 Opsi 19. 1. Ada 16 perempuan dan 5 laki-laki yang bekerja di lokasi. 3 orang dipilih secara acak menggunakan nomor personelnya. Tentukan peluang bahwa semua orang yang terpilih adalah laki-laki. 2. Empat buah uang logam dilempar. Temukan probabilitas bahwa hanya dua koin yang memiliki “lambang”. 3. Kata “PSIKOLOGI” terdiri dari kartu-kartu yang masing-masing terdapat satu huruf di atasnya. Kartu dikocok dan dikeluarkan satu per satu tanpa dikembalikan. Tentukan peluang terambilnya huruf-huruf membentuk sebuah kata: a) PSIKOLOGI; b) STAF. 4. Guci tersebut berisi 6 bola hitam dan 7 bola putih. 5 bola diambil secara acak. Temukan probabilitas bahwa di antara mereka ada: A. 3 bola putih; B. kurang dari 3 bola putih; C. setidaknya satu bola putih. 5. Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa A dalam satu kali percobaan sama dengan 0,5. Temukan peluang kejadian berikut: A. peristiwa A muncul 3 kali dalam rangkaian 5 uji coba independen; B. peristiwa A akan muncul minimal 30 dan tidak lebih dari 40 kali dalam rangkaian 50 uji coba. 6. Terdapat 100 mesin dengan daya yang sama, beroperasi secara independen satu sama lain dalam mode yang sama, di mana penggeraknya dihidupkan selama 0,8 jam kerja. Berapa peluang bahwa pada suatu saat antara 70 hingga 86 mesin akan dihidupkan? 7. Guci pertama berisi 4 bola putih dan 7 bola hitam, dan guci kedua berisi 8 bola putih dan 3 bola hitam. 4 bola diambil secara acak dari guci pertama, dan 1 bola dari guci kedua. Tentukan peluang terambilnya hanya 4 bola hitam. 8. Ruang pamer penjualan mobil menerima mobil dari tiga merek setiap hari dalam volume: “Moskvich” – 40%; "Oke" - 20%; "Volga" - 40% dari semua mobil impor. Di antara mobil Moskvich, 0,5% memiliki perangkat anti maling, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Tentukan peluang bahwa mobil yang diambil untuk diperiksa mempunyai alat anti maling. 9. Angka dan dipilih secara acak pada segmen tersebut. Temukan probabilitas bahwa angka-angka ini memenuhi pertidaksamaan. 10. Hukum distribusi variabel acak diberikan X: Temukan fungsi distribusi variabel acak X; arti F(2); probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai dari interval . Buatlah poligon distribusi. Dalam penerapan teori probabilitas, karakteristik kuantitatif eksperimen adalah hal yang paling penting. Besaran yang dapat ditentukan secara kuantitatif dan yang sebagai hasil percobaan dapat mempunyai nilai yang berbeda-beda tergantung pada kasusnya disebut variabel acak. Contoh variabel acak: 1. Berapa kali muncul angka genap dalam sepuluh kali pelemparan sebuah dadu. 2. Jumlah pukulan tepat sasaran oleh seorang penembak yang melepaskan serangkaian tembakan. 3. Jumlah pecahan cangkang yang meledak. Pada setiap contoh yang diberikan, variabel acak hanya dapat mengambil nilai terisolasi, yaitu nilai yang dapat diberi nomor menggunakan rangkaian angka natural. Variabel acak seperti itu, yang nilai kemungkinannya adalah bilangan-bilangan terisolasi individual, yang diambil variabel ini dengan probabilitas tertentu, disebut terpisah. Banyaknya nilai yang mungkin dari suatu variabel acak diskrit dapat berhingga atau tidak terhingga (dapat dihitung). Hukum distribusi Variabel acak diskrit adalah daftar nilai yang mungkin dan probabilitas yang sesuai. Hukum distribusi suatu variabel acak diskrit dapat ditetapkan dalam bentuk tabel (deret distribusi probabilitas), secara analitis dan grafis (poligon distribusi probabilitas). Saat melakukan percobaan, penting untuk mengevaluasi nilai yang dipelajari “rata-rata”. Peran nilai rata-rata suatu variabel acak dimainkan oleh karakteristik numerik yang disebut ekspektasi matematis, yang ditentukan oleh rumus Di mana X 1 , X 2
,.. , X N– nilai variabel acak X, A P 1 ,P 2 ,
... , P N– probabilitas nilai-nilai ini (perhatikan itu P 1
+
P 2
+…+
P N =
1). Contoh. Penembakan dilakukan pada sasaran (Gbr. 11). Pukulan di I menghasilkan tiga poin, di II – dua poin, di III – satu poin. Jumlah poin yang dicetak dalam satu tembakan oleh satu penembak memiliki bentuk hukum distribusi Untuk membandingkan keterampilan penembak, cukup membandingkan nilai rata-rata poin yang diperoleh, yaitu. ekspektasi matematis M(X) Dan M(Y):
M(X)
=
1
0,4
+ 2
0,2
+ 3
0,4
= 2,0, M(Y)
=
1
0,2
+ 2
0,5
+ 3
0,3
= 2,1. Penembak kedua rata-rata memberikan jumlah poin yang sedikit lebih tinggi, yaitu. itu akan memberikan hasil yang lebih baik bila ditembakkan berulang kali. Mari kita perhatikan sifat-sifat ekspektasi matematis: 1. Ekspektasi matematis dari suatu nilai konstanta sama dengan konstanta itu sendiri: M(C)
=C. 2. Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis suku: M =(X 1 +
X 2 +…+
X N)=
M(X 1)+
M(X 2)+…+
M(X N). 3. Ekspektasi matematis dari produk variabel acak yang saling independen sama dengan produk dari ekspektasi matematis faktor-faktor M(X 1 X 2 …
X N)
=
M(X 1)M(X 2)…
M(X N). 4. Negasi matematis dari distribusi binomial sama dengan hasil kali jumlah percobaan dan peluang terjadinya suatu peristiwa dalam satu percobaan (tugas 4.6). M(X)
= pr. Untuk menilai bagaimana suatu variabel acak “rata-rata” menyimpang dari ekspektasi matematisnya, mis. Untuk mengkarakterisasi penyebaran nilai suatu variabel acak dalam teori probabilitas digunakan konsep dispersi. Perbedaan variabel acak X disebut ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat: D(X)
=
M[(X
-
M(X)) 2 ]. Dispersi adalah karakteristik numerik dari dispersi suatu variabel acak. Dari definisi tersebut jelas bahwa semakin kecil sebaran suatu variabel acak maka semakin dekat kemungkinan nilai-nilainya di sekitar ekspektasi matematisnya, yaitu semakin baik nilai-nilai variabel acak tersebut dicirikan oleh ekspektasi matematisnya. . Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa varians dapat dihitung dengan menggunakan rumus Lebih mudah untuk menghitung varians menggunakan rumus lain: D(X)
=
M(X 2)
- (M(X)) 2 .
Dispersi mempunyai sifat sebagai berikut: 1. Varians dari konstanta adalah nol: D(C)
=
0.
2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya: D(CX)
=
C 2 D(X). 3. Varians jumlah variabel acak bebas sama dengan jumlah varians suku: D(X 1 +
X 2 +
X 3 +…+
X N)=
D(X 1)+
D(X 2)+…+
D(X N) 4. Varians distribusi binomial sama dengan hasil kali jumlah percobaan dan peluang terjadinya dan tidak terjadinya suatu peristiwa dalam satu percobaan: D(X)
= npq. Dalam teori probabilitas, karakteristik numerik yang sama dengan akar kuadrat dari varians suatu variabel acak sering digunakan. Karakteristik numerik ini disebut deviasi kuadrat rata-rata dan dilambangkan dengan simbol Ini mencirikan perkiraan ukuran penyimpangan variabel acak dari nilai rata-ratanya dan memiliki dimensi yang sama dengan variabel acak. 4.1.
Penembak melepaskan tiga tembakan ke sasaran. Peluang mengenai sasaran dengan setiap tembakan adalah 0,3. Buatlah deret distribusi untuk jumlah hit. Larutan. Jumlah hit adalah variabel acak diskrit X. Setiap nilai X N
variabel acak X sesuai dengan probabilitas tertentu P N . Hukum distribusi variabel acak diskrit dalam hal ini dapat ditentukan dekat distribusi. Dalam masalah ini X mengambil nilai 0, 1, 2, 3. Menurut rumus Bernoulli Mari kita cari probabilitas nilai yang mungkin dari variabel acak: R 3 (0)
= (0,7) 3 =
0,343, R 3 (1)
= R 3 (2)
= R 3 (3)
= (0,3) 3 =
0,027. Dengan menyusun nilai-nilai variabel acak X dalam urutan yang meningkat, kita memperoleh deret distribusi: X N Perhatikan jumlahnya berarti probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil setidaknya satu nilai dari nilai yang mungkin, dan oleh karena itu peristiwa ini dapat diandalkan 4.2
.Ada empat bola di dalam guci dengan nomor 1 sampai 4. Dua bola diambil. Nilai acak X– jumlah nomor bola. Buatlah deret distribusi variabel acak X. Larutan. Nilai variabel acak X adalah 3, 4, 5, 6, 7. Mari kita cari peluang yang bersesuaian. Nilai variabel acak 3 X dapat diterima dalam satu-satunya kasus ketika salah satu bola yang dipilih memiliki nomor 1, dan yang lainnya 2. Banyaknya kemungkinan hasil tes sama dengan jumlah kombinasi empat (jumlah kemungkinan pasangan bola) dari dua. Dengan menggunakan rumus probabilitas klasik, kita peroleh Juga, R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6. Jumlah 5 dapat muncul dalam dua kasus: 1 + 4 dan 2 + 3, jadi X memiliki bentuk: Temukan fungsi distribusi F(X) variabel acak X dan merencanakannya. Hitung untuk X ekspektasi dan varians matematisnya. Larutan. Hukum distribusi suatu variabel acak dapat ditentukan oleh fungsi distribusi F(X)
= hal(X
X).
Fungsi distribusi F(X) adalah fungsi tak-menurun, kontinu ke kiri yang didefinisikan pada seluruh garis bilangan, sedangkan F
(-
)=
0,F
(+
)=
1. Untuk variabel acak diskrit, fungsi ini dinyatakan dengan rumus Oleh karena itu dalam hal ini Grafik fungsi distribusi F(X) adalah garis berundak (Gbr. 12) F(X) Nilai yang diharapkanM(X) adalah rata-rata aritmatika tertimbang dari nilai-nilai tersebut X 1 , X 2 ,……X N variabel acak X dengan timbangan ρ
1,
ρ
2, ……
, ρ
N
dan disebut nilai rata-rata dari variabel acak X. Menurut rumusnya M(X)= x 1
ρ
1 + x 2
ρ
2 +……+x N
ρ
N M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72. Penyebaran mencirikan derajat dispersi nilai-nilai variabel acak dari nilai rata-ratanya dan dilambangkan D(X): D(X)=M[(Hm(X)) 2 ]= M(X 2)
–[M(X)] 2 . Untuk variabel acak diskrit, variansnya berbentuk atau bisa dihitung dengan rumus Mengganti data numerik dari masalah ke dalam rumus, kita mendapatkan: M(X 2)
=
3 2
∙ 0,14+5 2
∙ 0,2+7 2
∙ 0,49+11 2
∙ 0,17 = 50,84 D(X)
= 50,84-6,72 2
= 5,6816. 4.4.
Dua buah dadu dilempar dua kali secara bersamaan. Tuliskan hukum binomial distribusi variabel acak diskrit X- jumlah kemunculan jumlah poin genap pada dua dadu. Larutan. Mari kita perkenalkan peristiwa acak A= (dua dadu dengan sekali pelemparan menghasilkan jumlah poin genap). Dengan menggunakan definisi klasik tentang probabilitas, kita temukan R(A)=
Di mana N
- jumlah kemungkinan hasil tes ditemukan menurut aturan perkalian: N
= 6∙6 =36, M
-
sejumlah orang yang mendukung acara tersebut A hasil - sama M= 3∙6=18. Jadi, peluang keberhasilan dalam satu kali percobaan adalah ρ
= hal(A)=
1/2.
Masalahnya diselesaikan dengan menggunakan skema uji Bernoulli. Salah satu tantangan di sini adalah melempar dua dadu sekaligus. Jumlah tes tersebut N
= 2. Variabel acak X mengambil nilai 0, 1, 2 dengan probabilitas R 2 (0)
= Distribusi binomial yang diperlukan dari variabel acak X dapat direpresentasikan sebagai rangkaian distribusi: X N ρ
N 4.5
. Dalam kumpulan enam bagian, ada empat bagian standar. Tiga bagian dipilih secara acak. Buatlah distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit X– jumlah bagian standar di antara bagian yang dipilih dan temukan ekspektasi matematisnya. Larutan. Nilai variabel acak X adalah angka 0,1,2,3. Sudah jelas itu R(X=0)=0, karena hanya ada dua bagian non-standar. R(X=1) = R(X= 2) = R(X=3) = Hukum distribusi variabel acak X Mari kita sajikan dalam bentuk rangkaian distribusi: X N ρ
N Nilai yang diharapkan M(X)=1
∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2. 4.6
. Buktikan bahwa ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit X- jumlah kemunculan peristiwa tersebut A V N uji coba independen, yang masing-masing peluang terjadinya suatu peristiwa sama dengan ρ
– sama dengan hasil kali jumlah percobaan dengan peluang terjadinya suatu kejadian dalam satu percobaan, yaitu untuk membuktikan bahwa ekspektasi matematis dari distribusi binomial M(X)
=N .
ρ
, dan dispersi D(X)
=n.p.
. Larutan. Nilai acak X dapat mengambil nilai 0, 1, 2..., N. Kemungkinan R(X= k) ditemukan menggunakan rumus Bernoulli: R(X=k)= R N(k)= Rangkaian distribusi variabel acak X memiliki bentuk: X N ρ
N Q N Di mana Q=
1-
ρ
. Untuk ekspektasi matematis kita memiliki ekspresi: M(X)= Dalam kasus satu tes, yaitu dengan n= 1 untuk variabel acak X 1 – jumlah kemunculan peristiwa A- rangkaian distribusinya berbentuk : X N ρ
N M(X 1)=
0∙q +
1
∙ P
=
P D(X 1)
=
P
–
P 2
=
P(1-
P)
=
hal. Jika X k – jumlah kemunculan peristiwa A di tes mana, lalu R(X Ke)=
ρ
Dan X = X 1 +X 2 +….+X N . Dari sini kita dapatkan M(X)=M(X 1
)+M(X 2)+
… +M(X N)=
tidak,
D(X)=D(X 1)+D(X 2)+
...
+D(X N)=npq. 4.7.
Departemen kendali mutu memeriksa standaritas produk. Peluang produk tersebut standar adalah 0,9. Setiap batch berisi 5 produk. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit X- jumlah batch, yang masing-masing akan berisi 4 produk standar - jika 50 batch harus diperiksa. Larutan. Probabilitas bahwa akan terdapat 4 produk standar dalam setiap batch yang dipilih secara acak adalah konstan; mari kita nyatakan dengan ρ
.Kemudian ekspektasi matematis dari variabel acak X sama M(X)=
50∙ρ.
Mari kita cari kemungkinannya ρ
menurut rumus Bernoulli: ρ=P 5 (4)= M(X)=
50∙0,32=16. 4.8
. Tiga buah dadu dilempar. Temukan ekspektasi matematis dari jumlah poin yang dijatuhkan. Larutan. Anda dapat menemukan distribusi variabel acak X- jumlah poin yang dijatuhkan dan kemudian ekspektasi matematisnya. Namun, jalur ini terlalu rumit. Lebih mudah menggunakan teknik lain, yang mewakili variabel acak X, ekspektasi matematis yang perlu dihitung, berupa penjumlahan beberapa variabel acak yang lebih sederhana, ekspektasi matematisnya lebih mudah dihitung. Jika variabel acak X Saya adalah jumlah poin yang diperoleh Saya– tulang ( Saya= 1, 2, 3), maka jumlah poinnya X akan dinyatakan dalam bentuk X = X 1 + X 2 + X 3 . Untuk menghitung ekspektasi matematis dari variabel acak asli, yang tersisa hanyalah menggunakan properti ekspektasi matematis M(X 1
+ X 2 + X 3
)= M(X 1
)+ M(X 2)+ M(X 3
). Jelas sekali R(X Saya = K)=
1/6, KE=
1, 2, 3, 4, 5, 6,
Saya=
1,
2, 3. Oleh karena itu, ekspektasi matematis dari variabel acak X Saya seperti M(X Saya)
=
1/6∙1
+ 1/6∙2
+1/6∙3
+ 1/6∙4
+ 1/6∙5
+ 1/6∙6
= 7/2, M(X)
=
3∙7/2 = 10,5.
4.9.
Tentukan ekspektasi matematis dari jumlah perangkat yang gagal selama pengujian jika: a) kemungkinan kegagalan semua perangkat adalah sama R, dan jumlah perangkat yang diuji sama dengan N; b) kemungkinan kegagalan untuk Saya
–
perangkat sama dengan P Saya
,
Saya=
1,
2, … , N. Larutan. Biarkan variabel acak X adalah jumlah perangkat yang gagal X = X 1 + X 2 + … + X N ,
X Saya
=
Sudah jelas itu R(X Saya =
1)=
R Saya ,
R(X Saya =
0)=
1–
R Saya ,saya= 1,
2,
…
,N. M(X Saya)=
1∙R Saya +
0∙(1-R Saya)=P Saya , M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X N)=P 1 +P 2 + … + P N .
Dalam kasus “a”, kemungkinan kegagalan perangkat adalah sama, yaitu R Saya = hal,saya= 1,
2, …
,N. M(X)=
n.p.. Jawaban ini bisa langsung didapat jika kita memperhatikan variabel acaknya X memiliki distribusi binomial dengan parameter ( N,
P).
4.10.
Dua buah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak dua kali. Tuliskan hukum binomial distribusi variabel acak diskrit X - jumlah pelemparan sejumlah poin genap pada dua dadu. Larutan. Membiarkan A=(menggulirkan bilangan genap pada dadu pertama), B =(melempar angka genap pada dadu kedua). Mendapatkan angka genap pada kedua dadu dalam satu pelemparan dinyatakan dengan hasil perkalian AB. Kemudian R
(AB)
= R(A)∙R(DI DALAM)
=
Hasil lemparan dua dadu yang kedua tidak bergantung pada lemparan pertama, sehingga berlaku rumus Bernoulli kapan N
=
2,hal = 1/4,
Q
=
1– hal = 3/4.
Nilai acak X dapat mengambil nilai 0, 1, 2 ,
probabilitasnya dapat dicari dengan menggunakan rumus Bernoulli: R(X= 0)= hal 2
(0)
=
Q
2
= 9/16, R(X= 1)= hal 2
(1)= C R(X= 2)= hal 2
(2)= C Rangkaian distribusi variabel acak X: 4.11.
Perangkat ini terdiri dari sejumlah besar elemen yang beroperasi secara independen dengan kemungkinan kegagalan yang sangat kecil dari setiap elemen seiring waktu T. Temukan jumlah rata-rata penolakan dari waktu ke waktu T elemen, jika probabilitas paling sedikit satu elemen akan gagal selama waktu ini adalah 0,98. Larutan.
Jumlah orang yang menolak seiring berjalannya waktu T elemen – variabel acak X, yang terdistribusi menurut hukum Poisson, karena jumlah elemennya banyak, elemen-elemen tersebut bekerja secara independen dan kemungkinan kegagalan setiap elemen kecil. Jumlah rata-rata kemunculan suatu peristiwa di N tes sama M(X)
=
n.p..
Karena kemungkinan kegagalan KE elemen dari N dinyatakan dengan rumus R N
(KE)
dimana
=
n.p., maka kemungkinan tidak ada satu pun elemen yang gagal selama waktu tersebut T
kita sampai K = 0: R N
(0)= e - . Oleh karena itu, kemungkinan terjadinya kejadian sebaliknya akan terjadi pada waktunya T
setidaknya satu elemen gagal – sama dengan 1 - e -
. Berdasarkan kondisi soal, probabilitasnya adalah 0,98. Dari Persamaan. 1
- e -
= 0,98, e -
= 1 – 0,98 =
0,02, dari sini
=
-ln
0,02
4. Jadi, tepat waktu T pengoperasian perangkat, rata-rata 4 elemen akan gagal. 4.12
. Dadu dilempar sampai muncul angka “dua”. Temukan jumlah rata-rata lemparan. Larutan. Mari kita perkenalkan variabel acak X– jumlah pengujian yang harus dilakukan hingga peristiwa yang menarik bagi kami terjadi. Kemungkinan itu X= 1 sama dengan peluang munculnya “dua” dalam satu pelemparan dadu, yaitu. R(X= 1)
= 1/6. Peristiwa X= 2 berarti pada tes pertama tidak muncul “dua”, tetapi pada tes kedua muncul. Kemungkinan kejadian X= 2 ditemukan dengan aturan mengalikan peluang kejadian independen: R(X= 2)
= (5/6)∙(1/6) Juga, R(X= 3)
= (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4)
= (5/6) 2 ∙1/6 dll. Kami memperoleh serangkaian distribusi probabilitas: (5/6) Ke
∙1/6 Jumlah rata-rata lemparan (percobaan) adalah ekspektasi matematis M(X)
=
1∙1/6 +
2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6
+ … + KE
(5/6) KE -1 ∙1/6
+ … = 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2
+ … + KE
(5/6) KE -1
+ …) Mari kita cari jumlah deretnya: Karena itu, M(X)
=
(1/6) (1/ (1 –
5/6) 2
= 6. Oleh karena itu, Anda perlu melakukan rata-rata 6 lemparan dadu hingga muncul angka “dua”. 4.13.
Tes independen dilakukan dengan probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang sama A dalam setiap ujian. Temukan probabilitas suatu peristiwa terjadi A, jika varians banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam tiga percobaan bebas adalah 0,63 .
Larutan. Banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam tiga percobaan merupakan variabel acak X, didistribusikan menurut hukum binomial. Varians banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam percobaan bebas (dengan peluang terjadinya peristiwa yang sama pada setiap percobaan) sama dengan hasil kali banyaknya percobaan dengan peluang terjadinya dan tidak terjadinya peristiwa tersebut. (masalah 4.6) D(X)
=
npq.
Dengan syarat N
=
3,
D(X)
=
0,63, jadi Anda bisa R temukan dari persamaan 0,63
= 3∙R(1-R), yang memiliki dua solusi R 1
=
0,7 dan R 2
=
0,3.
1.2.
p4=0,1; 0 pada x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 untuk x≤a,
,
Kurva normal simetris terhadap garis lurus x=m, maksimum di x=a sama dengan .
,
X
–28
–20
–12
–4
P
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
X
P
0,1
0,2
0,3
0,4
.
.
,
0,3(0,7) 2
= 0,441,
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
.
.
.
,
,R 2 (1)
=
∙
,R 2 (2)
=
=1/5,
= 3/5,
= 1/5.
ρ
Ke
(1-ρ
) N- Ke
ρq N- 1
ρq N- 2
ρ
N
ρq N -
1
+2
ρ
2
Q N -
2
+…+.N
ρ
N
= 0,94∙0,1=0,32.
.
,R∙Q
=
6/16,
,
R 2
=
1/16.
,
KEG
KE -1
= (
G KE)
G
.
Studi fungsi monotonisitas dan ekstrem
Rata-rata atau median
Hukum distribusi variabel acak
Arti Nama : Ilya
Asal dan karakter nama Aydar