Periksa suatu fungsi untuk monotonisitas online. Studi fungsi monotonisitas dan ekstrem

Ekstrem dan konveksitas.

Asimtot grafik suatu fungsi

Definisi.Titik kritis fungsi pada = F(X) adalah titik dimana turunannya nol atau tidak ada.

Dalil. Jika pada interval (a;b) turunannya positif/negatif, maka fungsi bertambah/berkurang dalam interval ini.

Dalil. Jika, setelah melewati titik kritis, turunannya mengubah tanda dari “+” menjadi “−” (dari “−” menjadi “+”), maka − adalah titik maksimum (minimum) dari fungsi tersebut

Definisi. Fungsi ditelepon cembung ke atas (bawah) dalam interval (a; b), jika dalam interval ini titik-titik grafik terletak di bawah (di atas) garis singgung yang dibangun pada titik-titik tersebut. Titik belok adalah suatu titik pada grafik suatu fungsi yang membaginya menjadi beberapa bagian yang arah konveksitasnya berbeda-beda.

Contoh 2.3.

Jelajahi fungsi untuk monoton dan ekstrem, konveksitas.

1. Kita periksa fungsi monotonisitas dan ekstrem.

Mari kita membuat gambar ( beras. 2.1).

kamu′′

X

−

−

+

kamu

masalah turun

masalah ke atas

masalah turun

Beras. 2.2. Studi tentang fungsi konveksitas

Mari kita hitung ordinat titik belok grafik:

Koordinat titik belok: (0; 0), (1; −1).

2.32. Periksa fungsi monotonisitas dan ekstrem:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.33. Temukan nilai fungsi terkecil dan terbesar:

1) pada interval;

2) pada interval [−1; 1];

3) pada interval [−4; 4];

4) pada interval [−2; 1].

2.34. Biaya produksi C (cu) tergantung pada volume output X(unit): Temukan biaya produksi tertinggi jika X perubahan selama interval. Temukan nilai X, dimana keuntungan akan maksimal jika hasil penjualan satu unit produksi sama dengan 15 c.u. e.

2.35. Diperlukan untuk mengalokasikan sebidang tanah berbentuk persegi panjang seluas 512 m2, memagarinya dan membaginya dengan pagar menjadi tiga bagian yang sama besar sejajar dengan salah satu sisi situs. Berapa ukuran lokasi agar jumlah material yang digunakan untuk pagar paling sedikit?

2.36. Diketahui keliling jendela berbentuk persegi panjang, tentukan dimensi jendela yang memungkinkan masuknya cahaya sebanyak-banyaknya.

2.37. Carilah keuntungan maksimum jika pendapatan R dan biaya C ditentukan dengan rumus: dimana X− jumlah barang yang terjual.

2.38. Ketergantungan volume produksi W dari biaya modal KE ditentukan oleh fungsinya
Temukan interval perubahan KE, di mana peningkatan biaya modal tidak efektif.

2.39. Fungsi biaya berbentuk Pendapatan dari penjualan satu unit produksi sama dengan 200. Temukan nilai output optimal bagi produsen.

2.40. Ketergantungan volume output (dalam satuan moneter) pada biaya modal ditentukan oleh fungsinya Temukan interval nilai di mana peningkatan biaya modal tidak efektif.

2.41. Diyakini bahwa peningkatan penjualan dari biaya iklan (juta rubel) ditentukan oleh rasio Pendapatan dari penjualan satu unit produksi sama dengan 20 ribu rubel. Temukan tingkat biaya periklanan di mana perusahaan akan menerima keuntungan maksimal.

2.42. Pendapatan dari produksi produk dengan menggunakan unit sumber daya adalah sama dengan Biaya satu unit sumber daya adalah 10 ruang. unit Berapa banyak sumber daya yang harus dibeli agar keuntungannya maksimal?

2.43. Fungsi biaya mempunyai bentuk Pendapatan dari penjualan satu unit produksi adalah 50. Tentukan nilai keuntungan maksimum yang dapat diterima produsen tersebut.

2.44. Ketergantungan pendapatan monopoli terhadap jumlah output didefinisikan sebagai: Fungsi biaya dalam interval ini berbentuk Temukan nilai output optimal untuk monopoli.

2.45. Harga produk produsen monopoli ditetapkan sesuai dengan rasio yang diidentifikasi sebagai . Pada nilai output produk manakah pendapatan dari penjualannya akan paling besar?

2.46. Fungsi biaya mempunyai bentuk sebagai berikut pada pada . Saat ini tingkat produksi Dalam kondisi apa pada parameternya P Apakah menguntungkan bagi suatu perusahaan untuk mengurangi output jika pendapatan dari penjualan satu unit output adalah 50?

Turunan juga membantu dalam mempelajari suatu fungsi untuk fungsi naik dan turun. Mari kita mengingat kembali definisi terkait terlebih dahulu.

Definisi . Biarkan fungsinya terdefinisi pada interval . Mereka mengatakan bahwa itu bertambah (berkurang) pada interval jika seperti yang .

Dalil. Jika suatu fungsi terdiferensiasi pada interval dan , maka fungsi tersebut bertambah (berkurang) pada interval .

Biarkan turunan fungsi tersebut kontinu pada intervalnya. Untuk mempelajari kenaikan dan penurunannya, biasanya dilakukan rencana berikut:

1) Temukan titik dari , dimana . Titik-titik ini disebut stasioner.

2) Pada semua interval dimana titik-titik stasioner terbagi, tentukan tandanya. Untuk melakukan ini, cukup menentukan tanda pada satu titik setiap interval (tanda di dalam setiap interval tidak berubah, karena jika tidak, menurut teorema Bolzano-Cauchy, di dalam interval ini harus ada turunan nol, yaitu mustahil). Jika berada di dalam interval, maka menurut teorema bertambah. Jika , maka berkurang.

Definisi . Titik yang turunan suatu fungsi sama dengan nol disebut titik stasioner. Titik-titik yang turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada disebut titik kritis.

Contoh. Periksa fungsi naik dan turun

Fungsi ini terdiferensiasi pada seluruh garis bilangan.

1) . Mari kita cari titik stasioner: . Akar persamaannya adalah bilangan , .

2) Titik , bagilah garis bilangan menjadi tiga interval : , , .

Pada interval pertama kita ambil.

Oleh karena itu, ini meningkat selama interval tersebut. Dalam interval yang kita ambil, . Oleh karena itu menurun. Pada interval yang kita ambil, . Oleh karena itu, ini meningkat selama interval tersebut.

Definisi. Biarkan fungsinya didefinisikan dalam . Suatu titik disebut titik maksimum (minimum) lokal jika ada seperti yang

Jika pertidaksamaan (1) tegas untuk , maka titik tersebut disebut titik maksimum lokal (minimum) yang ketat. Titik maksimum dan minimum lokal disebut titik ekstrem.

Dalil(kondisi yang diperlukan untuk ekstrem). Jika suatu fungsi terdiferensialkan pada suatu titik dan merupakan titik ekstrem, maka

Pembuktian teorema tersebut tidak sulit diperoleh dari definisi turunannya.

Komentar. Berdasarkan teorema tersebut, titik ekstrem suatu fungsi harus dicari di antara titik stasioner dan titik yang tidak ada turunannya. Salah satu kondisi cukup untuk suatu ekstrem mengikuti langsung dari teorema berikut.

Komentar. Kondisi yang diperlukan saja tidak cukup. Misalnya, untuk suatu fungsi kita mempunyai , tetapi titiknya bukan titik ekstrem, karena fungsi tersebut bertambah sepanjang garis bilangan.

Dalil(kondisi cukup untuk ekstrem). Misalkan fungsi tersebut kontinu di suatu titik dan terdiferensiasi di . Kemudian:

a) jika turunannya ketika melewati suatu titik berubah tanda dari plus menjadi minus, maka titik tersebut merupakan titik maksimum lokal;

b) jika turunannya ketika melalui suatu titik berubah tanda dari minus menjadi plus, maka titik tersebut merupakan titik minimum lokal dari fungsi tersebut.

Perhatikan bahwa dari teorema berikut bahwa pada contoh sebelumnya titik tersebut adalah titik maksimum lokal, dan titik tersebut adalah titik minimum lokal dari fungsi tersebut.

Seringkali, ketika memecahkan berbagai masalah, perlu untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada himpunan tertentu.

Mari kita pertimbangkan bagaimana masalah ini diselesaikan terlebih dahulu untuk kasus ketika ini adalah sebuah segmen. Biarkan fungsi tersebut kontinu pada segmen tersebut dan terdiferensiasi pada intervalnya kecuali, mungkin, untuk sejumlah titik yang berhingga. Kemudian, menurut teorema Weierstrass, fungsi tersebut mencapai nilai terbesar dan terkecil pada segmen tersebut.

Dari teorema di atas, berikut rencana mencari nilai fungsi terbesar dan terkecil.

1) Temukan turunan dan nol dari turunan .

2) Temukan nilai

a) pada angka nol dari turunan ;

b) di ujung ruas;

c) pada titik dimana turunannya tidak ada.

3) Dari bilangan yang dihasilkan, pilihlah yang terbesar dan terkecil.

Catatan 1. Perhatikan bahwa sama sekali tidak perlu mencari interval kenaikan dan penurunan di sini.

Catatan 2. Jika merupakan interval, setengah interval, atau interval tak terhingga, maka denah di atas tidak dapat digunakan. Dalam hal ini, untuk menyelesaikan masalah nilai terbesar dan terkecil, Anda perlu mencari interval kenaikan dan penurunan fungsi, batas titik batas dan, dengan menggunakan analisis sederhana, dapatkan jawabannya.

Contoh 3. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada interval tersebut.

Mari kita cari interval kenaikan dan penurunannya. Untuk melakukan ini, kita mencari turunannya:

Titik membagi interval menjadi dua interval: dan . Mari kita cari tanda turunannya pada interval tersebut. Untuk melakukan ini, mari kita hitung

Jadi, fungsinya berkurang setengah interval, dan bertambah pada interval. Itu sebabnya Tidak ada nilai terbesar karena . Dalam hal ini mereka menulis: .

Pelajaran dan presentasi aljabar di kelas 10 dengan topik: "Penyelidikan fungsi monotonisitas. Algoritma penelitian"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Manual dan simulator di toko online Integral untuk kelas 10 dari 1C
Soal aljabar dengan parameter, kelas 9–11
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor Matematika 6.1"

Apa yang akan kita pelajari:
1. Penurunan dan peningkatan fungsi.
2. Hubungan turunan dan monotonisitas suatu fungsi.
3. Dua teorema penting tentang monotonisitas.
4. Contoh.

Teman-teman, sebelumnya kita telah melihat banyak fungsi berbeda dan memplotnya. Sekarang mari kita perkenalkan aturan baru yang berlaku untuk semua fungsi yang telah kami pertimbangkan dan akan terus kami pertimbangkan.

Mengurangi dan meningkatkan fungsi

Mari kita lihat konsep fungsi naik dan turun. Teman-teman, apa itu fungsinya?

Suatu fungsi adalah korespondensi y= f(x), yang setiap nilai x dikaitkan dengan satu nilai y.

Mari kita lihat grafik beberapa fungsi:

Grafik kami menunjukkan: semakin besar x, semakin kecil y. Jadi mari kita definisikan fungsi menurun. Suatu fungsi disebut menurun jika nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Jika x2 > x1, maka f(x2) Sekarang mari kita lihat grafik fungsi ini:
Grafik ini menunjukkan bahwa semakin besar x, semakin besar pula y. Jadi mari kita definisikan fungsi naik. Suatu fungsi disebut meningkat jika nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar.
Jika x2 > x1, maka f(x2 > f(x1) atau: semakin besar x, semakin besar y.

Jika suatu fungsi bertambah atau berkurang dalam selang waktu tertentu, maka dikatakan demikian itu monoton pada interval ini.

Hubungan antara turunan dan monotonisitas suatu fungsi

Teman-teman, sekarang mari kita pikirkan bagaimana cara menerapkan konsep turunan saat mempelajari grafik fungsi. Mari kita menggambar grafik fungsi terdiferensiasi meningkat dan menggambar beberapa garis singgung pada grafik kita.

Jika Anda melihat garis singgung kita atau menggambar garis singgung lainnya secara visual, Anda akan melihat bahwa sudut antara garis singgung dan arah positif sumbu x akan lancip. Artinya garis singgung mempunyai kemiringan positif. Koefisien sudut garis singgung sama dengan nilai turunannya pada absis titik singgung tersebut. Jadi, nilai turunannya positif di semua titik pada grafik kita. Untuk fungsi yang meningkat, pertidaksamaan berikut berlaku: f"(x) ≥ 0, untuk setiap titik x.

Teman-teman, sekarang mari kita lihat grafik beberapa fungsi menurun dan membuat garis singgung grafik fungsi tersebut.

Mari kita lihat garis singgungnya dan menggambar garis singgung lainnya secara visual. Kita akan melihat bahwa sudut antara garis singgung dan arah positif sumbu x adalah tumpul, yang berarti garis singgung tersebut memiliki kemiringan negatif. Jadi, nilai turunannya negatif di semua titik pada grafik kita. Untuk fungsi menurun, pertidaksamaan berikut berlaku: f"(x) ≤ 0, untuk setiap titik x.

Jadi, monotonisitas suatu fungsi bergantung pada tanda turunannya:

Jika suatu fungsi bertambah pada suatu interval dan mempunyai turunan pada interval tersebut, maka turunannya tidak akan negatif.

Jika suatu fungsi menurun pada suatu interval dan mempunyai turunan pada interval tersebut, maka turunannya tidak akan positif.

Penting, sehingga interval yang kita anggap fungsinya terbuka!

Dua teorema penting tentang monotonisitas

Teorema 1. Jika pertidaksamaan f'(x) ≥ 0 berlaku di semua titik pada interval terbuka X (dan persamaan turunan dengan nol tidak berlaku atau berlaku, tetapi hanya pada himpunan titik berhingga), maka fungsi kamu= f(x) meningkat pada interval X.

Teorema 2. Jika pertidaksamaan f'(x) ≤ 0 berlaku di semua titik pada interval terbuka X (dan persamaan turunan dengan nol tidak berlaku atau berlaku, melainkan hanya pada himpunan titik berhingga), maka fungsi kamu= f(x) berkurang pada interval X.

Teorema 3. Jika di semua titik interval terbuka X persamaan
f’(x)= 0, maka fungsi y= f(x) konstan pada interval ini.

Contoh mempelajari fungsi monotonisitas

1) Buktikan bahwa fungsi y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 meningkat pada seluruh garis bilangan.

Penyelesaian: Mari kita cari turunan dari fungsi kita: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Karena derajat di x genap, fungsi pangkat hanya bernilai positif. Maka y" > 0 untuk sembarang x, yang artinya berdasarkan Teorema 1, fungsi kita bertambah sepanjang garis bilangan.

2) Buktikan fungsi tersebut menurun: y= sin(2x) - 3x.

Mari kita cari turunan dari fungsi kita: y"= 2cos(2x) - 3.
Mari selesaikan pertidaksamaan:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Karena -1 ≤ cos(x) ≤ 1, artinya pertidaksamaan kita terpenuhi untuk sembarang x, maka berdasarkan Teorema 2 fungsi y= sin(2x) - 3x berkurang.

3) Periksa monotonisitas fungsi: kamu= x 2 + 3x - 1.

Solusi: Cari turunan dari fungsi kita: y"= 2x + 3.
Mari selesaikan pertidaksamaan:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Kemudian fungsi kita bertambah untuk x ≥ -3/2, dan menurun untuk x ≤ -3/2.
Jawaban: Untuk x ≥ -3/2 fungsinya bertambah, untuk x ≤ -3/2 fungsinya berkurang.

4) Periksa monotonisitas fungsi: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Solusi: Mari kita cari turunan dari fungsi kita: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Mari selesaikan pertidaksamaan: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Ketimpangan kita lebih besar atau sama dengan nol:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Mari selesaikan pertidaksamaan:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Tapi ini tidak mungkin, karena Akar kuadrat hanya didefinisikan untuk ekspresi positif, yang berarti fungsi kita tidak memiliki interval penurunan.
Jawaban: untuk x ≥ 1/3 fungsinya bertambah.

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

a) Buktikan bahwa fungsi y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 meningkat sepanjang garis bilangan.
b) Buktikan fungsi tersebut menurun: y= cos(5x) - 7x.
c) Periksa monotonisitas fungsi: kamu= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Periksa monotonisitas fungsi: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Kami pertama kali bertemu di pelajaran aljabar kelas 7. Melihat grafik fungsinya, kami mencatat informasi yang sesuai: jika, bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan, kami pada saat yang sama bergerak dari bawah ke atas (seolah-olah mendaki bukit), maka kami mendeklarasikan fungsi tersebut ke meningkat (Gbr. 124); jika kita berpindah dari atas ke bawah (menuruni bukit), maka fungsinya kita nyatakan menurun (Gbr. 125).

Namun, matematikawan tidak terlalu menyukai metode mempelajari sifat-sifat suatu fungsi. Mereka percaya bahwa definisi konsep tidak boleh didasarkan pada gambar - gambar tersebut hanya boleh menggambarkan satu atau beberapa properti dari suatu fungsi pada fungsi tersebut. grafis. Mari kita berikan definisi tegas tentang konsep fungsi naik dan turun.

Definisi 1. Fungsi y = f(x) dikatakan meningkat pada interval X jika, dari pertidaksamaan x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Definisi 2. Fungsi y = f(x) dikatakan menurun pada interval X jika pertidaksamaan x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует ketidaksamaan f(x 1) > f(x 2).

Dalam praktiknya, akan lebih mudah menggunakan formulasi berikut:

suatu fungsi meningkat jika nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar;
suatu fungsi berkurang jika nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Dengan menggunakan definisi-definisi ini dan sifat-sifat pertidaksamaan numerik yang ditetapkan dalam § 33, kita akan dapat memperkuat kesimpulan tentang kenaikan atau penurunan fungsi-fungsi yang dipelajari sebelumnya.

1. Fungsi linier y = kx +m

Jika k > 0, maka fungsinya bertambah (Gbr. 126); jika k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Bukti. Misalkan f(x) = kx +m. Jika x 1< х 2 и k >Oh, kalau begitu, menurut sifat 3 pertidaksamaan numerik (lihat § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Jadi, dari pertidaksamaan x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. linier fungsi y = kx+ m.

Jika x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , dan menurut sifat 2, dari kx 1 > kx 2 maka kx 1 + m> kx 2 + yaitu.

Jadi, dari pertidaksamaan x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Artinya terjadi penurunan fungsi y = f(x), yaitu fungsi linier y = kx + m.

Jika suatu fungsi bertambah (menurun) di seluruh domain definisinya, maka fungsi tersebut dapat disebut naik (menurun) tanpa menunjukkan intervalnya. Misalnya, mengenai fungsi y = 2x - 3 kita dapat mengatakan bahwa fungsi tersebut meningkat sepanjang garis bilangan, namun kita juga dapat mengatakannya secara lebih singkat: y = 2x - 3 - meningkat
fungsi.

2. Fungsi y = x2

1. Perhatikan fungsi y = x 2 pada sinar. Mari kita ambil dua bilangan non-positif x 1 dan x 2 sedemikian rupa sehingga x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Karena bilangan - x 1 dan - x 2 adalah bilangan non-negatif, maka dengan mengkuadratkan kedua ruas pertidaksamaan terakhir, kita memperoleh pertidaksamaan yang mempunyai arti yang sama (-x 1) 2 > (-x 2) 2, yaitu. Artinya f(x 1) > f(x 2).

Jadi, dari pertidaksamaan x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Oleh karena itu, fungsi y = x 2 berkurang pada sinar (- 00, 0] (Gbr. 128).

1. Perhatikan suatu fungsi pada interval (0, + 00).
Biarkan x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Jadi, dari pertidaksamaan x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Artinya fungsinya menurun pada sinar terbuka (0, + 00) (Gbr. 129).

2. Perhatikan suatu fungsi pada interval (-oo, 0). Misalkan x 1< х 2 , х 1 и х 2 - отрицательные числа. Тогда - х 1 >- x 2, dan kedua ruas pertidaksamaan terakhir adalah bilangan positif, dan oleh karena itu (kita kembali menggunakan pertidaksamaan yang dibuktikan pada contoh 1 dari 33). Berikutnya kita punya, dari mana kita mendapatkannya.

Jadi, dari pertidaksamaan x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) yaitu fungsi berkurang pada sinar terbuka (- 00 , 0)

Biasanya istilah “fungsi naik” dan “fungsi turun” digabungkan dengan nama umum fungsi monotonik, dan studi tentang suatu fungsi naik dan turun disebut studi tentang fungsi monotonisitas.

Larutan.

1) Mari kita gambarkan fungsi y = 2x2 dan ambil cabang parabola ini di x< 0 (рис. 130).

2) Bangun dan pilih bagiannya pada segmen tersebut (Gbr. 131).

3) Mari kita buat hiperbola dan pilih bagiannya pada sinar terbuka (4, + 00) (Gbr. 132).
4) Mari kita gambarkan ketiga "bagian" dalam satu sistem koordinat - ini adalah grafik fungsi y = f(x) (Gbr. 133).

Mari kita baca grafik fungsi y = f(x).

1. Daerah asal definisi fungsi adalah garis bilangan keseluruhan.

2. y = 0 pada x = 0; y > 0 untuk x > 0.

3. Fungsi mengecil pada sinar (-oo, 0], bertambah pada ruas, berkurang pada sinar, cembung ke atas pada ruas, cembung ke bawah pada sinar, berlaku teorema Lagrange: ada titik X 0 dari ( X 1 ;X 2) sedemikian rupa F(X 2) -F(X 1) = (X 2 -X 1)×f¢( X 0). Namun sesuai dengan kondisinya, F"(X 0) = 0, oleh karena itu, F(X 2) =F(X 1), yaitu fungsi F(X) konstan pada ( A; B). Artinya kecukupannya sudah terbukti. Teorema tersebut telah terbukti.

Teorema 4 (kondisi yang diperlukan untuk monotonisitas suatu fungsi). Biarkan di sela-selanya (A; B) fungsi f(X) dapat dibedakan. Kemudian:

A)jika f(X) meningkat, maka turunannya di(A; B) tidak negatif, yaitu F ¢( X) ³ 0;

B) jika f(X) berkurang, maka turunannya di (A; B) tidak positif, yaitu F ¢( X) £ 0.

Bukti. A). Biarkan fungsinya F(X) bertambah ( A; B), yaitu untuk apa pun X 1 ,X 2 dari ( A; B) hubungan berikut berlaku: X 1 < X 2® F(X 1) < F(X 2). Kemudian, untuk poin-poin yang ditunjukkan X 1 ,X 2 hubungan berikut ini positif:

Oleh karena itu turunannya F ¢( X 1) ³ 0. Pernyataan A B).

Teorema 5 (kondisi yang cukup untuk monotonisitas suatu fungsi). Biarkan di sela-selanya (A; B) fungsi f(X) dapat dibedakan. Kemudian:

A)jika f ¢( X) > 0 pada (A; B), lalu f(X)meningkat sebesar (A; B);

B) jika f ¢( X) < 0pada(A; B),lalu f(X) berkurang sebesar (A ; B).

Bukti. A). Membiarkan F ¢( X) > 0 pada ( A; B) dan poin X 1 , X 2 dari ( A; B) seperti yang X 1 < X 2. Menurut teorema Lagrange, ada benarnya X 0 dari ( X 1 ;X 2) sedemikian rupa F(X 2) -F(X 1) = (X 2 -X 1)×f¢( X 0). Di sini ruas kanan persamaannya positif, jadi F(X 2) -F(X 1) > 0, yaitu F(X 2) > F(X 1) . Artinya F(X) meningkat sebesar ( A; B). Penyataan A) telah terbukti. Pernyataan tersebut dibuktikan dengan cara serupa B).

Contoh 9. Fungsi pada= X 3 meningkat dimana-mana, seiring dengan meningkatnya nilai X Kubus nilai-nilai ini meningkat. Turunan dari fungsi ini pada= 3 X 2 tidak negatif di mana-mana, mis. kondisi monotonisitas yang diperlukan terpenuhi.

Contoh 10. Tentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi y= 0,25X 4 - 0,5X 2 .

Larutan. Turunan dari fungsi ini ditemukan pada¢ = X 3 - X, dan interval dibangun di mana X 3 - X positif atau negatif. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita temukan titik-titik kritisnya pada¢ = 0: X 3 - X = 0 ® X(X + 1)(X-1) = 0 ® X 1 = 0, X 2 = -1 X 3 = 1. Titik-titik ini membagi garis bilangan menjadi 4 ruang:

- + - + X

-¥ -2 -1 0 1 2 3 +¥

Sial.36.

Secara umum, untuk menentukan tanda-tanda turunan, ambil satu titik pada setiap interval dan hitung nilai turunan pada titik-titik tersebut. Namun terkadang cukup dengan mengambil satu titik saja pada interval paling kanan, menentukan tanda turunannya pada titik tersebut, dan mengganti tanda pada interval yang tersisa. Dalam contoh ini, misalkan X= 2, maka pada¢(2) = 2 3 – 2 = 6 > 0. Tanda + diletakkan pada interval yang tepat, kemudian tanda-tanda tersebut berselang-seling. Diterima pada¢ > 0 pada interval (-1; 0) dan (1; +¥), oleh karena itu fungsi yang diteliti bertambah pada interval tersebut. Lebih jauh, pada¢< 0 на (- ¥; -1) и (0; 1), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках убывает. Ниже на чертеже 37 построен график этой функции.

Definisi 3. 1). Dot X o dipanggil titik maksimum fungsi F(X), jika ada interval ( A; B), mengandung X oh maksudnya apa F(X o) yang terbesar, yaitu. F(X o) > F(X) untuk semua X dari ( A; B).

2). Dot X o dipanggil poin minimum fungsi F(X), jika ada interval ( A; B), mengandung X oh maksudnya apa F(X o) yang terkecil, yaitu F(X HAI)< F(X) untuk semua X dari ( A; B). Poin maksimum dan minimum disebut titik ekstrim.

Teorema 6(kondisi yang diperlukan untuk fungsi ekstrem). Jika x HAI adalah titik ekstrem dari fungsi f(X)dan ada turunannya

F ¢( X 0),lalu f "(X 0) = 0.

Pembuktiannya mirip dengan pembuktian teorema Rolle.

Dot X 0 , di mana F ¢( X 0) = 0 atau F ¢( X 0) tidak ada, disebut titik kritis fungsi F (X). Mereka mengatakan itu adalah poin kritis curiga terhadap ekstrem, yaitu mereka mungkin atau mungkin bukan poin maksimum atau minimum.

Teorema 7 (kondisi cukup untuk ekstrem suatu fungsi). Biarkan f(X)terdiferensiasi dalam beberapa interval yang mengandung titik kritis x HAI ( kecuali, mungkin, poin x itu sendiri HAI) . Kemudian:

A) jika ketika melewati x HAI turunan kiri ke kanan f ¢( X) perubahan tanda dari + menjadi -,lalu x HAI adalah titik maksimum dari fungsi f (X);

B) jika ketika melewati x HAI turunan kiri ke kanan f ¢( X) perubahan tanda dari - menjadi+,lalu x HAI adalah titik minimum dari fungsi f (X).

Bukti. Biarkan semua kondisi paragraf dipenuhi A). Mari kita ambil satu poin X(dari interval yang ditentukan) sedemikian rupa sehingga X <X oh, dan terapkan teorema Lagrange pada interval ( X; X HAI). Kita mendapatkan: F(X 0) -F(X) = (X 0 -X)×f¢( X 1), dimana X 1 – beberapa titik dari ( X; X HAI). Dengan syarat, F¢( X 1) > 0 dan ( X 0 -X) > 0, oleh karena itu F(X 0) >F(X) . Demikian pula, terbukti untuk setiap titik X >X oh juga F(X 0) >F(X). Dari pernyataan-pernyataan tersebut maka titik maksimumnya adalah pernyataan A) telah terbukti. Pernyataan tersebut dibuktikan dengan cara serupa B).

Contoh 11. Contoh 9 menunjukkan bahwa fungsinya pada= X 3 meningkat di mana-mana, oleh karena itu, tidak ada ekstremnya. Memang turunannya kamu"= 3X 2 sama dengan nol hanya jika X o = 0, yaitu pada titik ini kondisi yang diperlukan untuk fungsi ekstrem terpenuhi. Namun ketika melewati 0 turunannya kamu"= 3X 2 tidak berubah tanda, jadi X o = 0 bukanlah titik ekstrem dari fungsi ini.

Contoh 12. Contoh 10 menunjukkan bahwa fungsinya pada = 0,25X 4 - 0,5X 2 memiliki titik kritis X 1 = 0, X 2 = -1, X 3 = 1. Pada gambar 34 ditunjukkan bahwa ketika melewati titik-titik tersebut turunannya berubah tanda, oleh karena itu, X 1 , X 2 , X 3 - titik ekstrem, sedangkan X 1 = 0 adalah titik maksimum, dan X 2 = -1, X 3 = 1 - poin minimum.

Selanjutnya, gambar dibuat untuk contoh ini. Fungsi F(X) = 0,25X 4 - 0,5X 2 sedang dipelajari keseimbangan: F(-X) = 0,25(-X) 4 - 0,5(-X) 2 = F(X), oleh karena itu, fungsi ini genap, dan grafiknya simetris terhadap sumbunya oh. Titik-titik grafik yang terdapat di atas dan beberapa titik bantu yang terletak pada grafik diplot dan dihubungkan oleh sebuah garis halus.

kamu= 0,25X 4 - 0,5X 2 0,5 -0,11

1 0 maks 1 xÖ`1/3 –0,14 A B

Sial.37.

Teorema 8 (kondisi cukup kedua untuk ekstrem). Biarkan x 0 – titik kritis fungsi f(X), dan ada turunan orde kedua f¢¢( X 0). Kemudian:

A) jika f ¢¢( X 0) < 0, lalu x 0 – titik maksimum fungsi f(X);

B) jika f ¢¢( X 0) > 0, lalu x 0 - titik minimum fungsi f(X).

Bukti teorema ini tidak dipertimbangkan (lihat).

Contoh 13. Periksa ekstrem dari fungsi y= 2X 2 - X 4 .

Larutan. Turunannya ditemukan kamu¢ dan titik kritis di mana

kamu= 9: kamu= 4 X - 4X 3 ; 4X - 4X 3 = 0 ® X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = -1 - titik kritis. Turunan orde kedua ditemukan kamu¢¢ dan nilainya pada titik kritis dihitung: kamu¢¢= 4 –12 X 2 ; kamu¢¢(0) = 4, kamu¢¢(1) = –8, kamu¢¢(-1) = –8. Karena kamu¢¢(0) > 0, lalu X 1 = 0 - poin minimum; dan sejak itu kamu¢¢(1)< 0, kamu¢¢(-1)< 0, то X 2 = 1, X 3 = -1 - poin maksimum dari fungsi ini.

Ekstrem mutlak suatu fungsi pada suatu segmen [A; B] disebut nilai terbesar dan terkecil F(X) pada [ A; B]. Ekstrem ini dicapai pada titik kritis fungsi F(X), atau di ujung segmen [ A; B].

Contoh 14. Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y = X 2× lnx pada interval .

Larutan. Turunan fungsi ini dan titik kritisnya ditemukan: pada= 2 X× lnx + X 2×(1/ X) = X×(2 lnx+1); X×(2× lnx+1) = 0 ® a) X 1 = 0; b) 2× lnx+ 1 = 0 ® di x= -0,5 ® X 2 = e - 0,5 = 1/Ö `e» 0,607. Titik kritis X 1 = 0 tidak termasuk dalam interval yang ditinjau, oleh karena itu nilai fungsinya terdapat pada titik tersebut X 2 = e- 0,5 dan di ujungnya A= 0,5, B = e. pada(e -0,5) = (e- 0,5) 2× dalam(e - 0,5) =e - 1 (-0,5) = -0,5/e» -0,184; pada(0,5) = 0,25× dalam 0,5 » 0,25(-0,693) = -0,17325; pada(e) = e 2× lne = e 2×1" 7.389. Nilai terbesar dan terkecil di antara nilai yang ditemukan dipilih: nilai terbesar "7,389 in X = e, nilai terkecil "-0,184 V pada X = e - 0,5 .

Masalah ekstrim.

Dalam permasalahan seperti ini, ada dua variabel yang dipertimbangkan X Dan pada, dan Anda perlu menemukan nilai tersebut X, di mana nilainya pada adalah yang terbesar atau terkecil. Memecahkan masalah ini berisi langkah-langkah berikut:

1) nilai ekstrim dipilih kamu, yang maksimum atau minimumnya harus dicari;

2) suatu variabel dipilih X, Dan kamu diungkapkan melalui X;

3) turunannya dihitung pada"dan ada titik-titik kritis di mana pada"adalah 0 atau tidak ada;

4) titik-titik kritis pada titik ekstrem diselidiki;

5) nilai-nilai dipertimbangkan kamu di ujungnya, dan nilai yang dibutuhkan dalam soal dihitung.

Contoh 15. Secara eksperimental telah ditetapkan bahwa konsumsi bensin

pada(aku) pada 100 km dengan mobil GAZ-69 tergantung pada kecepatan x(km/jam) dijelaskan oleh fungsi y = 18 - 0,3X + 0,003X 2 . Tentukan kecepatan paling ekonomis.

Larutan. Di sini dua langkah pertama 1) dan 2) dilakukan dalam pernyataan masalah. Oleh karena itu, turunannya segera dihitung: kamu"= -0,3 +0,006X, dan titik kritis ditemukan: -0,3 + 0,006 X = 0 ® X o = 50. Sekarang, syarat cukup kedua untuk titik ekstrem berlaku: kamu""= 0,006 > 0 pada titik mana pun, oleh karena itu, X o = 50 - poin minimum. Kesimpulan: kecepatan paling irit adalah 50 km/jam, sedangkan konsumsi bensinnya 18 - 0,3×50 + 0,003×50 2 = 10,5 liter. per 100 km.

Contoh 16. Dari selembar karton persegi dengan sisi 60 cm, kotak identik dipotong di sudut dan kotak persegi panjang direkatkan dari sisanya. Berapa sisi persegi yang dipotong agar volume kotak menjadi paling besar?.

Larutan. Langkah-langkah di atas untuk menyelesaikan masalah dilakukan.

1). Syaratnya, volume kotak harus paling besar, jadi misalkan kamu- volume kotak.

2). Di belakang X(cm) ambil sisi persegi yang dipotong. Maka tinggi kotak akan sama dengan X dan alas kotaknya adalah persegi dengan sisinya

(60 – 2X), luasnya (60 – 2 X) 2 . Jadi, volume kotak tersebut adalah kamu= X(60 – 2X) 2 = 3600X - 240X 2 + 4X 3 .

3). Turunannya dihitung dan titik kritis ditemukan: kamu"= 3600 - 480X + 12X 2 ; X 2 - 40X+300 = 0 ® X 1 =10, X 2 =30 - titik kritis.

4). Turunan orde ke-2 sama dengan kamu""= - 480 + 24X Dan kamu""(10) = -240, kamu""(30) = 240. Berdasarkan Teorema 8, X 1 =10 - titik maksimum dan kamu maks = 400 (cm3).

5). Di samping itu, X dapat mengambil nilai ekstrim X 3 = 0. Tapi pada(0) = 0 - ini kurang dari kamu maks.

Menjawab: Panjang sisi persegi yang dipotong adalah 10 cm.

©2015-2019 situs
Semua hak milik penulisnya. Situs ini tidak mengklaim kepenulisan, tetapi menyediakan penggunaan gratis.
Tanggal pembuatan halaman: 20-08-2016