Oddělený nazývaná náhodná proměnná, která může s určitou pravděpodobností nabývat jednotlivých izolovaných hodnot.
PŘÍKLAD 1. Kolikrát se erb objeví ve třech hodech mincí. Možné hodnoty: 0, 1, 2, 3, jejich pravděpodobnosti jsou stejné:
P(0) =; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .
PŘÍKLAD 2. Počet vadných prvků v zařízení sestávajícím z pěti prvků. Možné hodnoty: 0, 1, 2, 3, 4, 5; jejich pravděpodobnosti závisí na spolehlivosti každého prvku.
Diskrétní náhodná veličina X může být dáno distribuční řadou nebo distribuční funkcí (zákon integrálního rozdělení).
Blízko distribuce je množina všech možných hodnot Xi a jejich odpovídající pravděpodobnosti Ri = P(X = xi), lze to zadat jako tabulku:
| x i | x n |
|||
| p i | р n |
Zároveň i pravděpodobnosti Ri splnit podmínku
Ri= 1 protože 
kde je počet možných hodnot n může být konečný nebo nekonečný.
Grafické znázornění distribuční řady nazývaný distribuční polygon . Pro jeho konstrukci jsou možné hodnoty náhodné proměnné ( Xi) jsou vyneseny podél osy x a pravděpodobnosti Ri- podél svislé osy; body Ai se souřadnicemi ( Xi,рi) jsou spojeny přerušovanými čarami.
Distribuční funkce náhodná proměnná X nazývaná funkce F(X), jehož hodnota v bodě X se rovná pravděpodobnosti, že náhodná veličina X bude menší než tato hodnota X, to je
F(x) = P(X< х).
Funkce F(X) Pro diskrétní náhodná veličina vypočítané podle vzorce
F(X) = Ri , (1.10.1)
kde se sčítání provádí přes všechny hodnoty i, pro který Xi< х.
PŘÍKLAD 3. Z šarže obsahující 100 výrobků, z nichž je 10 vadných, je náhodně vybráno pět výrobků pro kontrolu jejich kvality. Sestrojte řadu rozdělení náhodného čísla X vadné výrobky obsažené ve vzorku.
Řešení. Protože ve vzorku může být počet vadných výrobků libovolné celé číslo v rozsahu od 0 do 5 včetně, pak možné hodnoty Xi náhodná proměnná X jsou rovny:
x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.
Pravděpodobnost R(X = k) že vzorek přesně obsahuje k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) vadné produkty, rovná se
P (X = k) =.
V důsledku výpočtů pomocí tohoto vzorce s přesností 0,001 získáme:
R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;
R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.
Použití rovnosti ke kontrole Rk=1, dbáme na správné provedení výpočtů a zaokrouhlení (viz tabulka).
| x i | ||||||
| p i |
PŘÍKLAD 4. Je dána distribuční řada náhodné veličiny X :
| x i | |||||
| p i |
Najděte funkci rozdělení pravděpodobnosti F(X) této náhodné veličiny a sestrojte ji.
Řešení. Li X pak 10 liber F(X)= P(X<X) = 0;
pokud 10<X pak 20 liber F(X)= P(X<X) = 0,2 ;
pokud 20<X pak 30 liber F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;
pokud 30<X pak 40 liber F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;
pokud 40<X pak 50 liber F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;
Li X tak > 50 F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.
ZÁKON O ROZDĚLENÍ A CHARAKTERISTIKY
NÁHODNÉ PROMĚNNÉ
Náhodné veličiny, jejich klasifikace a metody popisu.
Náhodná veličina je veličina, která v důsledku experimentu může nabývat té či oné hodnoty, ale která není předem známa. Pro náhodnou proměnnou tedy můžete zadat pouze hodnoty, z nichž jednu bude určitě nabývat jako výsledek experimentu. V následujícím budeme tyto hodnoty nazývat možné hodnoty náhodné proměnné. Protože náhodná veličina kvantitativně charakterizuje náhodný výsledek experimentu, lze ji považovat za kvantitativní charakteristiku náhodné události.
Náhodné proměnné se obvykle označují velkými písmeny latinské abecedy, například X..Y..Z, a jejich možné hodnoty odpovídajícími malými písmeny.
Existují tři typy náhodných proměnných:
Oddělený; Kontinuální; Smíšený.
Oddělený je náhodná veličina, jejíž počet možných hodnot tvoří spočetnou množinu. Množina, jejíž prvky lze očíslovat, se zase nazývá spočetná. Slovo „diskrétní“ pochází z latinského discretus, což znamená „nesouvislý, skládající se z oddělených částí“.
Příklad 1. Diskrétní náhodná veličina je počet vadných dílů X v dávce nproduktů. Ve skutečnosti jsou možné hodnoty této náhodné proměnné série celých čísel od 0 do n.
Příklad 2. Diskrétní náhodná veličina je počet výstřelů před prvním zásahem do cíle. Zde, stejně jako v příkladu 1, lze možné hodnoty očíslovat, i když v omezujícím případě je možná hodnota nekonečně velké číslo.
Kontinuální je náhodná veličina, jejíž možné hodnoty plynule vyplňují určitý interval číselné osy, někdy nazývaný interval existence této náhodné veličiny. Na jakémkoli konečném intervalu existence je tedy počet možných hodnot spojité náhodné proměnné nekonečně velký.
Příklad 3. Spojitá náhodná veličina je měsíční spotřeba elektřiny podniku.
Příklad 4. Spojitá náhodná veličina je chyba měření výšky pomocí výškoměru. Z principu činnosti výškoměru budiž známo, že chyba leží v rozsahu od 0 do 2 m. Interval existence této náhodné veličiny je tedy interval od 0 do 2 m.
Zákon rozdělení náhodných veličin.
Náhodná veličina je považována za zcela specifikovanou, pokud jsou její možné hodnoty uvedeny na číselné ose a je stanoven distribuční zákon.
Zákon rozdělení náhodné veličiny je vztah, který vytváří spojení mezi možnými hodnotami náhodné veličiny a odpovídajícími pravděpodobnostmi.
O náhodné veličině se říká, že je rozdělena podle daného zákona nebo podléhá danému zákonu rozdělení. Jako distribuční zákony se používá řada pravděpodobností, distribuční funkce, hustota pravděpodobnosti a charakteristická funkce.
Distribuční zákon poskytuje úplný pravděpodobný popis náhodné veličiny. Podle distribučního zákona lze před experimentem posoudit, které možné hodnoty náhodné veličiny se budou objevovat častěji a které méně často.
Pro diskrétní náhodnou veličinu lze distribuční zákon specifikovat ve formě tabulky, analyticky (ve formě vzorce) a graficky.
Nejjednodušší formou upřesnění distribučního zákona diskrétní náhodné veličiny je tabulka (matice), která uvádí vzestupně všechny možné hodnoty náhodné veličiny a jim odpovídající pravděpodobnosti, tzn.
Taková tabulka se nazývá distribuční řada diskrétní náhodné veličiny. 1
Události X 1, X 2,..., X n, spočívající v tom, že v důsledku testu náhodná veličina X nabude hodnot x 1, x 2,... x n, resp. nekonzistentní a jediné možné (protože tabulka uvádí všechny možné hodnoty náhodné veličiny), tzn. vytvořit kompletní skupinu. Proto je součet jejich pravděpodobností roven 1. Tedy pro libovolnou diskrétní náhodnou veličinu
(Tato jednotka je nějakým způsobem rozdělena mezi hodnoty náhodné proměnné, odtud termín „distribuce“).
Distribuční řadu lze znázornit graficky, pokud jsou hodnoty náhodné veličiny vyneseny podél osy x a jejich odpovídající pravděpodobnosti jsou vyneseny podél osy pořadnice. Spojení získaných bodů tvoří lomenou čáru nazývanou polygon nebo polygon rozdělení pravděpodobnosti (obr. 1).
Příklad Loterie obsahuje: auto v hodnotě 5 000 denů. jednotky, 4 TV v ceně 250 den. jednotek, 5 videorekordérů v hodnotě 200 den. Jednotky Celkem je prodáno 1000 vstupenek na 7 dní. Jednotky Vypracujte zákon o rozdělení čisté výhry, kterou obdrží účastník loterie, který si zakoupil jeden tiket.
Řešení. Možné hodnoty náhodné veličiny X - čisté výhry na tiket - se rovnají 0-7 = -7 peněz. Jednotky (pokud tiket nevyhrál), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. Jednotky (pokud je na tiketu výhra videorekordéru, televize nebo auta). Vzhledem k tomu, že z 1000 tiketů je počet nevýherců 990 a uvedené výhry jsou 5, 4 a 1 a za použití klasické definice pravděpodobnosti dostáváme.
Kapitola 1. Diskrétní náhodná veličina
§ 1. Pojmy náhodné veličiny.
Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny.
Definice : Náhodná je veličina, která v důsledku testování odebírá pouze jednu hodnotu z možné množiny svých hodnot, předem neznámou a závislou na náhodných důvodech.
Existují dva typy náhodných proměnných: diskrétní a spojité.
Definice : Volá se náhodná proměnná X oddělený (nespojitý), pokud je množina jeho hodnot konečná nebo nekonečná, ale spočetná.
Jinými slovy, možné hodnoty diskrétní náhodné proměnné lze přečíslovat.
Náhodná veličina může být popsána pomocí jejího distribučního zákona.
Definice : Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny nazvěte korespondenci mezi možnými hodnotami náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostmi.
Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny X lze specifikovat ve formě tabulky, v jejímž prvním řádku jsou vzestupně uvedeny všechny možné hodnoty náhodné veličiny a ve druhém řádku odpovídající pravděpodobnosti těchto veličin. hodnoty, tzn.
kde р1+ р2+…+ рn=1
Taková tabulka se nazývá distribuční řada diskrétní náhodné veličiny.
Pokud je množina možných hodnot náhodné veličiny nekonečná, pak řada p1+ p2+…+ pn+… konverguje a její součet je roven 1.
Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny X lze znázornit graficky, pro kterou je v pravoúhlém souřadnicovém systému sestrojena přerušovaná čára spojující postupně body se souřadnicemi (xi; pi), i=1,2,…n. Výsledný řádek se nazývá distribuční polygon (Obr. 1).
Organická chemie" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organická chemie je 0,7 a 0,8. Sestavte distribuční zákon pro náhodnou veličinu X - počet zkoušek, které student složí.
Řešení. Uvažovaná náhodná veličina X jako výsledek zkoušky může nabývat jedné z následujících hodnot: x1=0, x2=1, x3=2.
Najděte pravděpodobnost těchto hodnot. Označme události:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Takže distribuční zákon náhodné veličiny X je dán tabulkou:
Kontrola: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Distribuční funkce
Úplný popis náhodné veličiny poskytuje také distribuční funkce.
Definice: Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny X se nazývá funkce F(x), která pro každou hodnotu x určuje pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší než x:
F(x)=P(X<х)
Geometricky je distribuční funkce interpretována jako pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty, která je na číselné ose reprezentována bodem ležícím vlevo od bodu x.
1)0 2) F(x) je neklesající funkce na (-∞;+∞); 3) F(x) - spojitá zleva v bodech x= xi (i=1,2,...n) a spojitá ve všech ostatních bodech; 4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞, F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞. Pokud je distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny X dán ve formě tabulky: pak distribuční funkce F(x) je určena vzorcem: https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 0 pro x≤ x1, р1 na x1< х≤ x2, F(x)= р1 + р2 v x2< х≤ х3 1 pro x> xn. Jeho graf je na obr. 2: §
3. Numerické charakteristiky diskrétní náhodné veličiny. Jednou z důležitých číselných charakteristik je matematické očekávání. Definice: Matematické očekávání M(X)
diskrétní náhodná veličina X je součtem součinů všech jejích hodnot a jejich odpovídajících pravděpodobností: M(X) =
∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn Matematické očekávání slouží jako charakteristika průměrné hodnoty náhodné veličiny. Vlastnosti matematického očekávání:
1)M(C)=C, kde C je konstantní hodnota; 2)M(CX)=CM(X), 3) M(X±Y)=M(X)+M(Y); 4)M(XY)=M(X) M(Y), kde X, Y jsou nezávislé náhodné proměnné; 5) M(X±C)=M(X)±C, kde C je konstantní hodnota; Pro charakterizaci stupně disperze možných hodnot diskrétní náhodné proměnné kolem její střední hodnoty se používá disperze. Definice:
Rozptyl
D
(
X
)
náhodná veličina X je matematické očekávání druhé mocniny odchylky náhodné veličiny od jejího matematického očekávání:
Vlastnosti disperze:
1)D(C)=0, kde C je konstantní hodnota; 2)D(X)>0, kde X je náhodná veličina; 3)D(CX)=C2D(X), kde C je konstantní hodnota; 4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), kde X, Y jsou nezávislé náhodné proměnné; Pro výpočet rozptylu je často vhodné použít vzorec: D(X)=M(X2)-(M(X))2, kde M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn Rozptyl D(X) má rozměr druhé mocniny náhodné veličiny, což není vždy vhodné. Proto se hodnota √D(X) používá také jako indikátor rozptylu možných hodnot náhodné veličiny. Definice: Standardní odchylka σ(X)
náhodná proměnná X se nazývá druhá odmocnina rozptylu: Úkol č. 2. Diskrétní náhodná veličina X je určena distribučním zákonem: Najděte P2, distribuční funkci F(x) a nakreslete její graf, stejně jako M(X), D(X), σ(X). Řešení:
Protože součet pravděpodobností možných hodnot náhodné veličiny X je roven 1, pak Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1 Pojďme najít distribuční funkci F(x)=P(X Geometricky lze tuto rovnost interpretovat následovně: F(x) je pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnotu, kterou na číselné ose představuje bod ležící vlevo od bodu x. Jestliže x≤-1, pak F(x)=0, protože na (-∞;x) není jediná hodnota této náhodné veličiny; Pokud -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Pokud 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) existují dvě hodnoty x1=-1 a x2=0; Pokud 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Pokud 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Pokud x>3, pak F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, protože čtyři hodnoty x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 spadají do intervalu (-∞;x) a x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 na x≤-1, 0,1 při -1<х≤0, 0,2 na 0<х≤1, F(x)= 0,5 při 1<х≤2, 0,7 ve 2<х≤3, 1 na x>3 Znázorněme funkci F(x) graficky (obr. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845. §
4. Zákon binomického rozdělení diskrétní náhodná veličina, Poissonův zákon. Definice: Binomický
se nazývá zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X - počet výskytů jevu A v n nezávislých opakovaných pokusech, v každém z nich může událost A nastat s pravděpodobností p nebo nenastat s pravděpodobností q = 1-p. Pak P(X=m) - pravděpodobnost výskytu události A přesně mkrát v n pokusech se vypočítá pomocí Bernoulliho vzorce: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Matematické očekávání, rozptyl a směrodatná odchylka náhodné veličiny X rozdělené podle binárního zákona se nalézají pomocí vzorců: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Pravděpodobnost události A – „vypuštění pětky“ v každém pokusu je stejná a rovná se 1/6 , tj. P(A)=p=1/6, pak P(A)=1-p=q=5/6, kde - "neschopnost získat A." Náhodná veličina X může nabývat následujících hodnot: 0;1;2;3. Pravděpodobnost každé z možných hodnot X zjistíme pomocí Bernoulliho vzorce: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q=3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Že. distribuční zákon náhodné veličiny X má tvar: Kontrola: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Pojďme najít číselné charakteristiky náhodné veličiny X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Úkol č. 4. Automat razí díly. Pravděpodobnost, že vyrobený díl bude vadný, je 0,002. Najděte pravděpodobnost, že mezi 1000 vybranými díly bude: a) 5 vadných; b) alespoň jeden je vadný. Řešení:
Číslo n=1000 je velké, pravděpodobnost výroby vadného dílu p=0,002 je malá a uvažované události (součást se ukáže jako vadná) jsou nezávislé, proto platí Poissonův vzorec: Рn(m)= E-
λ
λm Nalezneme λ=np=1000 0,002=2. a) Najděte pravděpodobnost, že bude 5 vadných dílů (m=5): Р1000(5)= E-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Najděte pravděpodobnost, že bude alespoň jeden vadný díl. Událost A – „alespoň jeden z vybraných dílů je vadný“ je opakem události – „všechny vybrané díly nejsou vadné.“ Proto P(A) = 1-P(). Požadovaná pravděpodobnost je tedy rovna: P(A)=1-P1000(0)=1- E-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Úkoly pro samostatnou práci.
1.1
1.2.
Dispergovaná náhodná veličina X je určena distribučním zákonem: Najděte p4, distribuční funkci F(X) a vykreslete její graf, stejně jako M(X), D(X), σ(X). 1.3.
V krabičce je 9 fixů, z nichž 2 již nepíší. Náhodně vezměte 3 značky. Náhodná proměnná X je počet zapsaných značek mezi těmi, které byly odebrány. Sestavte zákon rozdělení náhodné veličiny. 1.4.
Na polici knihovny je náhodně rozmístěno 6 učebnic, z toho 4 svázané. Knihovník si náhodně vezme 4 učebnice. Náhodná veličina X je počet svázaných učebnic mezi převzatými. Sestavte zákon rozdělení náhodné veličiny. 1.5.
Na lístku jsou dva úkoly. Pravděpodobnost správného vyřešení prvního problému je 0,9, druhého 0,7. Náhodná veličina X je počet správně vyřešených problémů v tiketu. Sestavte distribuční zákon, vypočítejte matematické očekávání a rozptyl této náhodné veličiny a také najděte distribuční funkci F(x) a sestavte její graf. 1.6.
Tři střelci střílejí na terč. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou je 0,5 pro prvního střelce, 0,8 pro druhého a 0,7 pro třetího. Náhodná proměnná X je počet zásahů do cíle, pokud střelci vystřelí po jedné střele. Najděte zákon rozdělení, M(X),D(X). 1.7.
Basketbalista hodí míč do koše s pravděpodobností, že trefí každý úder 0,8. Za každý zásah dostává 10 bodů a pokud netrefí, body mu nejsou přiděleny. Sestavte distribuční zákon pro náhodnou veličinu X - počet bodů, které basketbalista obdrží za 3 rány. Najděte M(X),D(X) a také pravděpodobnost, že získá více než 10 bodů. 1.8.
Na kartičkách jsou napsána písmena, celkem 5 samohlásek a 3 souhlásky. Náhodně se vyberou 3 karty a pokaždé se odebraná karta vrátí zpět. Náhodná proměnná X je počet samohlásek mezi převzatými. Sestavte distribuční zákon a najděte M(X),D(X),σ(X). 1.9.
V průměru pod 60 % smluv pojišťovna vyplácí pojistné částky v souvislosti se vznikem pojistné události. Vypracujte distribuční zákon pro náhodnou veličinu X - počet smluv, za které byla vyplacena pojistná částka, mezi čtyři náhodně vybrané smlouvy. Najděte číselné charakteristiky této veličiny. 1.10.
Radiostanice vysílá volací značky (ne více než čtyři) v určitých intervalech, dokud není navázána obousměrná komunikace. Pravděpodobnost přijetí odpovědi na volací znak je 0,3. Náhodná proměnná X je počet odeslaných volacích znaků. Sestavte zákon o rozdělení a najděte F(x). 1.11.
K dispozici jsou 3 klíče, z nichž pouze jeden pasuje do zámku. Sestavte zákon pro rozdělení náhodné veličiny X-počet pokusů o otevření zámku, pokud se vyzkoušený klíč nezúčastní následujících pokusů. Najděte M(X),D(X). 1.12.
Provádějí se po sobě jdoucí nezávislé testy spolehlivosti tří zařízení. Každé následující zařízení je testováno pouze v případě, že se předchozí ukázalo jako spolehlivé. Pravděpodobnost úspěšného složení testu pro každé zařízení je 0,9. Sestavte distribuční zákon pro náhodnou veličinu X-počet testovaných zařízení. 1.13
.Diskrétní náhodná proměnná X má tři možné hodnoty: x1=1, x2, x3 a x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Blok elektronického zařízení obsahuje 100 stejných prvků. Pravděpodobnost selhání každého prvku během času T je 0,002. Prvky fungují samostatně. Najděte pravděpodobnost, že během času T selžou maximálně dva prvky. 1.15.
Učebnice vyšla v nákladu 50 000 výtisků. Pravděpodobnost, že je učebnice svázána špatně, je 0,0002. Najděte pravděpodobnost, že oběh obsahuje: a) čtyři vadné knihy, b) méně než dvě vadné knihy. 1
.16.
Počet hovorů přicházejících na ústřednu každou minutu je rozdělen podle Poissonova zákona s parametrem λ=1,5. Najděte pravděpodobnost, že za minutu přijde následující: a) dvě výzvy; b) alespoň jeden hovor. 1.17.
Najděte M(Z),D(Z), pokud Z=3X+Y. 1.18.
Jsou dány zákony rozdělení dvou nezávislých náhodných veličin: Najděte M(Z),D(Z), pokud Z=X+2Y. Odpovědi:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3 = 0,4; 0 při x≤-2, 0,3 při -2<х≤0, F(x)= 0,5 při 0<х≤2, 0,9 ve 2<х≤5, 1 při x>5 0,3 při -1<х≤0, 0,4 na 0<х≤1, F(x)= 0,6 při 1<х≤2, 0,7 ve 2<х≤3, 1 na x>3 M(X) = 1; D(X) = 2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 při x≤0, 0,03 na 0<х≤1, F(x)= 0,37 při 1<х≤2, 1 pro x>2 M(X) = 2; D(X) = 0,62 M(X) = 2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X) = 15/8; D(X) = 45/64; σ(X) ≈ M(X) = 2,4; D(X) = 0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X) = 2; D(X) = 2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Kapitola 2. Spojitá náhodná veličina
Definice: Kontinuální
je veličina, jejíž všechny možné hodnoty zcela vyplňují konečný nebo nekonečný rozsah číselné osy. Je zřejmé, že počet možných hodnot spojité náhodné proměnné je nekonečný. Spojitou náhodnou veličinu lze zadat pomocí distribuční funkce. Definice: F distribuční funkce
spojitá náhodná proměnná X se nazývá funkce F(x), která pro každou hodnotu určuje xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Distribuční funkce se někdy nazývá kumulativní distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Pro spojitou náhodnou veličinu je distribuční funkce spojitá v libovolném bodě a diferencovatelná všude, snad kromě jednotlivých bodů. 3) Pravděpodobnost, že náhodná veličina X spadne do jednoho z intervalů (a;b), [a;b], [a;b], je rovna rozdílu mezi hodnotami funkce F(x) v bodech a a b, tzn. R(a)<Х 4) Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina X bude mít jednu samostatnou hodnotu, je 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Zadání spojité náhodné proměnné pomocí distribuční funkce není jediný způsob. Zaveďme pojem hustota rozdělení pravděpodobnosti (hustota rozdělení). Definice
:
Hustota rozdělení pravděpodobnosti
F
(
X
)
spojité náhodné veličiny X je derivace její distribuční funkce, tj. Funkce hustoty pravděpodobnosti se někdy nazývá diferenciální distribuční funkce nebo zákon diferenciálního rozdělení. Zavolá se graf rozdělení hustoty pravděpodobnosti f(x). křivka rozdělení pravděpodobnosti
.
Vlastnosti rozdělení hustoty pravděpodobnosti:
1) f(x) ≥0, na adrese xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4)) = 8 s; b) Je známo, že F(x)= ∫ f(x)dx Proto x pokud x≤2, pak F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 pokud x>6, pak F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Tím pádem, 0 při x≤2, F(x)= (x-2)2/16 na 2<х≤6, 1 pro x>6. Graf funkce F(x) je na obr. 3. Obr https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 na x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π při 0<х≤√3, 1 pro x>√3. Najděte diferenciální distribuční funkci f(x) Řešení:
Protože f(x)= F'(x), tak DIV_ADBLOCK93"> · Matematické očekávání M (X)
spojitá náhodná veličina X je určena rovností: M(X)= ∫ x f(x)dx, za předpokladu, že tento integrál absolutně konverguje. · Disperze
D
(
X
)
spojitá náhodná veličina X je určena rovností: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, nebo D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Směrodatná odchylka σ(X)
spojitá náhodná veličina je určena rovností: Všechny vlastnosti matematického očekávání a disperze, diskutované dříve pro rozptýlené náhodné veličiny, platí také pro spojité. Úkol č. 3. Náhodná veličina X je určena diferenciální funkcí f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Problémy k samostatnému řešení.
2.1.
Spojitá náhodná veličina X je určena distribuční funkcí: 0 při x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pro x≤ π/6, F(x)= - cos 3x při π/6<х≤ π/3, 1 pro x> π/3. Najděte diferenciální distribuční funkci f(x) a také Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 při x≤2, f(x)= c x na 2<х≤4, 0 pro x>4. 2.4.
Spojitá náhodná veličina X je určena hustotou distribuce: 0 při x≤0, f(x)= c √x při 0<х≤1, 0 pro x>1. Najděte: a) číslo c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> na x, 0 v x. Najděte: a) F(x) a sestrojte jeho graf; b) M(X), D(X), a(X); c) pravděpodobnost, že ve čtyřech nezávislých pokusech bude hodnota X nabývat přesně dvojnásobku hodnoty patřící do intervalu (1;4). 2.6.
Hustota rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X je dána: f(x)= 2(x-2) v x, 0 v x. Najděte: a) F(x) a sestrojte jeho graf; b) M(X), D(X), a (X); c) pravděpodobnost, že ve třech nezávislých pokusech bude hodnota X nabývat přesně dvojnásobku hodnoty patřící segmentu . 2.7.
Funkce f(x) je dána jako: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Funkce f(x) je dána jako: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4; π /4]. Najděte: a) hodnotu konstanty c, při které bude funkce hustotou pravděpodobnosti nějaké náhodné veličiny X; b) distribuční funkce F(x). 2.9.
Náhodná veličina X, soustředěná na interval (3;7), je specifikována distribuční funkcí F(x)= . Najděte pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude mít hodnotu: a) menší než 5, b) ne menší než 7. 2.10.
Náhodná veličina X, soustředěná na interval (-1;4), je dáno distribuční funkcí F(x)= . Najděte pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude mít hodnotu: a) menší než 2, b) ne menší než 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Najděte: a) číslo c; b) M(X); c) pravděpodobnost P(X> M(X)). 2.12.
Náhodná veličina je určena diferenciální distribuční funkcí: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Najděte: a) M(X); b) pravděpodobnost P(X≤M(X)) 2.13.
Removo rozdělení je dáno hustotou pravděpodobnosti: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> pro x ≥0. Dokažte, že f(x) je skutečně funkce hustoty pravděpodobnosti. 2.14.
Hustota rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X je dána: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(obr. 5) 2.16.
Náhodná veličina X je rozdělena podle zákona „pravoúhlého trojúhelníku“ v intervalu (0;4) (obr. 5). Najděte analytický výraz pro hustotu pravděpodobnosti f(x) na celé číselné ose. Odpovědi
0 při x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pro x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x při π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 pro x≤a, f(x)= pro a<х 0 pro x≥b. Graf funkce f(x) je na Obr. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Úkol č. 1. Náhodná veličina X je na segmentu rovnoměrně rozložena. Nalézt: a) hustotu rozdělení pravděpodobnosti f(x) a vykreslete ji; b) distribuční funkci F(x) a vykreslete ji; c) M(X), D(X), a(X). Řešení:
Pomocí výše uvedených vzorců s a=3, b=7 zjistíme: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> ve 3≤х≤7, 0 pro x>7 Sestavme jeho graf (obr. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 na x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Obr. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 na x<0, f(x)= λе-λх pro x≥0. Distribuční funkce náhodné veličiny X, rozdělené podle exponenciálního zákona, je dána vzorcem: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> Obr. 6 Matematické očekávání, rozptyl a směrodatná odchylka exponenciálního rozdělení se rovnají: M(X)=, D(X)=, σ (Х)= Matematické očekávání a směrodatná odchylka exponenciálního rozdělení se tedy navzájem rovnají. Pravděpodobnost, že X spadne do intervalu (a;b) se vypočítá podle vzorce: P(a<Х Úkol č. 2. Průměrná doba bezporuchového provozu zařízení je 100 hod. Za předpokladu, že doba bezporuchového provozu zařízení má exponenciální distribuční zákon, zjistěte: a) hustota rozdělení pravděpodobnosti; b) distribuční funkce; c) pravděpodobnost, že doba bezporuchového provozu zařízení přesáhne 120 hodin. Řešení:
Podle podmínky je matematické rozdělení M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 na x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x pro x≥0. b) F(x)= 0 v x<0, 1-e -0,01x při x≥0. c) Požadovanou pravděpodobnost najdeme pomocí distribuční funkce: P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1,2)= e-1,2≈0,3. §
3.Zákon normálního rozdělení Definice:
Spojitá náhodná veličina X má zákon normálního rozdělení (Gaussův zákon),
pokud má hustota distribuce tvar: kde m=M(X), a2=D(X), a>0. Křivka normálního rozdělení se nazývá normální nebo Gaussova křivka
(obr.7) Distribuční funkce náhodné veličiny X, rozdělené podle normálního zákona, je vyjádřena pomocí Laplaceovy funkce Ф (x) podle vzorce: kde je Laplaceova funkce. Komentář:
Funkce Ф(x) je lichá (Ф(-х)=-Ф(х)), navíc pro x>5 můžeme předpokládat Ф(х) ≈1/2. Graf distribuční funkce F(x) je na Obr. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Pravděpodobnost, že absolutní hodnota odchylky je menší než kladné číslo δ, se vypočítá podle vzorce: Konkrétně pro m=0 platí následující rovnost: "Pravidlo tří sigma"
Pokud má náhodná veličina X zákon normálního rozdělení s parametry m a σ, pak je téměř jisté, že její hodnota leží v intervalu (a-3σ; a+3σ), protože https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Použijeme vzorec: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Z tabulky funkčních hodnot Ф(х) najdeme Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Takže požadovaná pravděpodobnost: P(28 Úkoly pro samostatnou práci
3.1.
Náhodná veličina X je rovnoměrně rozložena v intervalu (-3;5). Nalézt: b) distribuční funkce F(x); c) číselné charakteristiky; d) pravděpodobnost P(4<х<6). 3.2.
Náhodná veličina X je na segmentu rovnoměrně rozložena. Nalézt: a) hustota distribuce f(x); b) distribuční funkce F(x); c) číselné charakteristiky; d) pravděpodobnost P(3≤х≤6). 3.3.
Na dálnici je automatický semafor, ve kterém svítí zelené světlo 2 minuty, žluté 3 sekundy, červené 30 sekund atd. Po dálnici jede auto v náhodný okamžik. Najděte pravděpodobnost, že auto projede semaforem, aniž by zastavilo. 3.4.
Vlaky metra jezdí pravidelně v intervalu 2 minut. Cestující vstoupí na nástupiště v náhodnou dobu. Jaká je pravděpodobnost, že cestující bude muset čekat na vlak déle než 50 sekund? Najděte matematické očekávání náhodné veličiny X - doba čekání na vlak. 3.5.
Najděte rozptyl a směrodatnou odchylku exponenciálního rozdělení dané distribuční funkcí: F(x)= 0 v x<0, 1.-8x pro x≥0. 3.6.
Spojitá náhodná veličina X je určena hustotou rozdělení pravděpodobnosti: f(x)= 0 v x<0, 0,7 e-0,7x při x≥0. a) Pojmenujte zákon rozdělení uvažované náhodné veličiny. b) Najděte distribuční funkci F(X) a číselné charakteristiky náhodné veličiny X. 3.7.
Náhodná veličina X je rozdělena podle exponenciálního zákona určeného hustotou rozdělení pravděpodobnosti: f(x)= 0 v x<0, 0,4 e-0,4 x při x≥0. Najděte pravděpodobnost, že jako výsledek testu bude X nabývat hodnoty z intervalu (2,5;5). 3.8.
Spojitá náhodná veličina X je distribuována podle exponenciálního zákona určeného distribuční funkcí: F(x)= 0 v x<0, 1.-0,6x při x≥0 Najděte pravděpodobnost, že v důsledku testu X převezme hodnotu ze segmentu. 3.9.
Očekávaná hodnota a směrodatná odchylka normálně rozdělené náhodné proměnné jsou 8 a 2. Najděte: a) hustota distribuce f(x); b) pravděpodobnost, že v důsledku testu X nabude hodnoty z intervalu (10;14). 3.10.
Náhodná veličina X je normálně rozdělena s matematickým očekáváním 3,5 a rozptylem 0,04. Nalézt: a) hustota distribuce f(x); b) pravděpodobnost, že v důsledku testu X nabude hodnotu ze segmentu . 3.11.
Náhodná veličina X je normálně rozdělena s M(X)=0 a D(X)=1. Která z událostí: |X|≤0,6 nebo |X|≥0,6 je pravděpodobnější? 3.12.
Náhodná veličina X je distribuována normálně s M(X)=0 a D(X)=1. Z jakého intervalu (-0,5;-0,1) nebo (1;2) je pravděpodobnější, že nabude hodnoty během jednoho testu? 3.13.
Aktuální cenu za akcii lze modelovat pomocí zákona normální distribuce s M(X)=10 den. Jednotky a a (X) = 0,3 den. Jednotky Nalézt: a) pravděpodobnost, že aktuální cena akcie bude od 9,8 den. Jednotky až 10,4 dne Jednotky; b) pomocí „pravidla tří sigma“ najděte hranice, ve kterých se bude nacházet aktuální cena akcií. 3.14.
Látka je zvážena bez systematických chyb. Náhodné chyby vážení podléhají normálnímu zákonu se středním čtvercovým poměrem σ=5g. Najděte pravděpodobnost, že ve čtyřech nezávislých experimentech nedojde k chybě ve třech vážení v absolutní hodnotě 3r. 3.15.
Náhodná veličina X je normálně rozdělena s M(X)=12,6. Pravděpodobnost, že náhodná veličina spadne do intervalu (11,4;13,8) je 0,6826. Najděte směrodatnou odchylku σ. 3.16.
Náhodná veličina X je distribuována normálně s M(X)=12 a D(X)=36. Najděte interval, do kterého náhodná veličina X spadne jako výsledek testu s pravděpodobností 0,9973. 3.17.
Díl vyrobený automatickým strojem je považován za vadný, pokud odchylka X jeho řízeného parametru od jmenovité hodnoty překročí modulo 2 měrné jednotky. Předpokládá se, že náhodná veličina X je normálně rozdělena s M(X)=0 a σ(X)=0,7. Jaké procento vadných dílů stroj vyrábí? 3.18.
Parametr X součásti je rozložen normálně s matematickým očekáváním 2 rovným nominální hodnotě a směrodatnou odchylkou 0,014. Najděte pravděpodobnost, že odchylka X od jmenovité hodnoty nepřekročí 1 % jmenovité hodnoty. Odpovědi
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 pro x≤-3, F(x)= vlevo"> 3.10.
a)f(x)=, b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
a = 1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. X; význam F(5); pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude přebírat hodnoty ze segmentu . Sestrojte distribuční polygon. Nastavte zákon rozdělení náhodné veličiny X ve formě tabulky. Najděte distribuční funkci náhodné veličiny X. Sestavte grafy funkcí a . Vypočítejte matematické očekávání, rozptyl, modus a medián náhodné veličiny X. Ukázka A: 6 9 7 6 4 4 Ukázka B: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 Možnost 17. Vypočítejte jeho matematické očekávání a rozptyl. Najděte distribuční funkci náhodné veličiny X. Sestavte grafy funkcí a . Vypočítejte matematické očekávání, rozptyl, modus a medián náhodné veličiny X. · průměr vzorku; · výběrový rozptyl; Režim a medián; Ukázka A: 0 0 2 2 1 4 · průměr vzorku; · výběrový rozptyl; standardní výběrová odchylka; · modus a medián; Ukázka B: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 Možnost 18. Vypočítejte jeho matematické očekávání a rozptyl. Najděte distribuční funkci náhodné veličiny X. Nakreslete grafy funkcí a . Vypočítejte matematické očekávání, rozptyl, modus a medián náhodné veličiny X. · průměr vzorku; · výběrový rozptyl; standardní výběrová odchylka; · modus a medián; Ukázka A: 4 7 6 3 3 4 · průměr vzorku; · výběrový rozptyl; standardní výběrová odchylka; · modus a medián; Ukázka B: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 Možnost 19. 1. Na stavbě pracuje 16 žen a 5 mužů. Náhodně byli vybráni 3 lidé podle jejich osobních čísel. Najděte pravděpodobnost, že všichni vybraní lidé budou muži. 2. Hodí se čtyřmi mincemi. Najděte pravděpodobnost, že pouze dvě mince budou mít „erb“. 3. Slovo „PSYCHOLOGIE“ se skládá z karet, z nichž každá má napsáno jedno písmeno. Karty se zamíchají a vyjmou jedna po druhé, aniž by se vracely. Najděte pravděpodobnost, že vyjmutá písmena tvoří slovo: a) PSYCHOLOGIE; b) ZAMĚSTNANCI. 4. Urna obsahuje 6 černých a 7 bílých kuliček. Náhodně se losuje 5 míčků. Najděte pravděpodobnost, že mezi nimi jsou: A. 3 bílé kuličky; b. méně než 3 bílé koule; C. alespoň jedna bílá koule. 5. Pravděpodobnost výskytu události A v jednom pokusu se rovná 0,5. Najděte pravděpodobnosti následujících událostí: A. událost A objeví se 3x v sérii 5 nezávislých studií; b. událost A se objeví alespoň 30 a ne více než 40krát v sérii 50 pokusů. 6. Existuje 100 strojů stejného výkonu, pracujících nezávisle na sobě ve stejném režimu, ve kterém je jejich pohon zapnutý na 0,8 pracovní hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že v kteroukoli chvíli bude zapnuto 70 až 86 strojů? 7. První urna obsahuje 4 bílé a 7 černých kuliček a druhá urna obsahuje 8 bílých a 3 černé koule. Z první urny jsou náhodně vylosovány 4 míčky a z druhé 1 míček. Najděte pravděpodobnost, že mezi vytaženými koulemi jsou pouze 4 černé koule. 8. Autosalon denně přijímá vozy tří značek v objemech: „Moskvič“ – 40 %; "Dobře" - 20 %; "Volha" - 40% všech dovážených automobilů. Mezi vozy Moskvič má 0,5 % zařízení proti krádeži, Oka – 0,01 %, Volha – 0,1 %. Najděte pravděpodobnost, že auto odvezené na kontrolu má zařízení proti krádeži. 9. Čísla a jsou vybrána náhodně na segmentu. Najděte pravděpodobnost, že tato čísla splňují nerovnosti. 10. Je dán zákon rozdělení náhodné veličiny X: Najděte distribuční funkci náhodné veličiny X; význam F(2); pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude přebírat hodnoty z intervalu . Sestrojte distribuční polygon. V aplikacích teorie pravděpodobnosti mají kvantitativní charakteristiky experimentu primární význam. Veličina, kterou lze kvantitativně určit a která může v důsledku experimentu nabývat různých hodnot v závislosti na případu, se nazývá náhodná proměnná. Příklady náhodných proměnných: 1. Kolikrát se objeví sudý počet bodů v deseti hodech kostkou. 2. Počet zásahů do terče střelcem, který vypálí sérii výstřelů. 3. Počet úlomků explodujícího náboje. V každém z uvedených příkladů může náhodná proměnná nabývat pouze izolovaných hodnot, tedy hodnot, které lze očíslovat pomocí přirozené řady čísel. Taková náhodná veličina, jejíž možné hodnoty jsou jednotlivá izolovaná čísla, které tato proměnná nabývá s určitou pravděpodobností, se nazývá oddělený. Počet možných hodnot diskrétní náhodné proměnné může být konečný nebo nekonečný (spočetný). Zákon rozdělování Diskrétní náhodná proměnná je seznam jejích možných hodnot a jejich odpovídajících pravděpodobností. Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny lze specifikovat ve formě tabulky (řady rozdělení pravděpodobnosti), analyticky a graficky (polygon rozdělení pravděpodobnosti). Při provádění experimentu je nutné hodnotit studovanou hodnotu „v průměru“. Roli průměrné hodnoty náhodné veličiny hraje číselná charakteristika tzv matematické očekávání, který je určen vzorcem Kde X 1 , X 2
,.. , X n– náhodné proměnné hodnoty X, A p 1 ,p 2 ,
... , p n– pravděpodobnosti těchto hodnot (všimněte si, že p 1
+
p 2
+…+
p n =
1). Příklad. Střelba se provádí na cíl (obr. 11). Zásah v I dává tři body, v II – dva body, ve III – jeden bod. Počet bodů dosažených v jedné střele jedním střelcem má distribuční zákon tvaru Pro srovnání dovednosti střelců stačí porovnat průměrné hodnoty dosažených bodů, tzn. matematická očekávání M(X) A M(Y):
M(X)
=
1
0,4
+ 2
0,2
+ 3
0,4
= 2,0, M(Y)
=
1
0,2
+ 2
0,5
+ 3
0,3
= 2,1. Druhý střelec dává v průměru o něco vyšší počet bodů, tzn. při opakovaném vystřelování poskytne lepší výsledky. Všimněme si vlastností matematického očekávání: 1. Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná samotné konstantě: M(C)
= C. 2. Matematické očekávání součtu náhodných veličin se rovná součtu matematických očekávání členů: M =(X 1 +
X 2 +…+
X n)=
M(X 1)+
M(X 2)+…+
M(X n). 3. Matematické očekávání součinu vzájemně nezávislých náhodných veličin se rovná součinu matematických očekávání faktorů M(X 1 X 2 …
X n)
=
M(X 1)M(X 2)…
M(X n). 4. Matematická negace binomického rozdělení je rovna součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti události, která nastane v jednom pokusu (úloha 4.6). M(X)
= pr. Posoudit, jak se náhodná veličina „v průměru“ odchyluje od svého matematického očekávání, tzn. Aby bylo možné charakterizovat šíření hodnot náhodné veličiny v teorii pravděpodobnosti, používá se koncept disperze. Rozptyl náhodná proměnná X se nazývá matematické očekávání druhé mocniny odchylky: D(X)
=
M[(X
-
M(X)) 2 ]. Disperze je numerická charakteristika disperze náhodné veličiny. Z definice je zřejmé, že čím menší je rozptyl náhodné veličiny, tím blíže se její možné hodnoty nacházejí kolem matematického očekávání, to znamená, že čím lépe jsou hodnoty náhodné veličiny charakterizovány jejím matematickým očekáváním. . Z definice vyplývá, že rozptyl lze vypočítat pomocí vzorce Je vhodné vypočítat rozptyl pomocí jiného vzorce: D(X)
=
M(X 2)
- (M(X)) 2 .
Disperze má následující vlastnosti: 1. Rozptyl konstanty je nulový: D(C)
=
0.
2. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka disperze jeho umocněním: D(CX)
=
C 2 D(X). 3. Rozptyl součtu nezávislých náhodných veličin se rovná součtu rozptylu členů: D(X 1 +
X 2 +
X 3 +…+
X n)=
D(X 1)+
D(X 2)+…+
D(X n) 4. Rozptyl binomického rozdělení se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti výskytu a nevyskytnutí události v jednom pokusu: D(X)
= npq. V teorii pravděpodobnosti se často používá numerická charakteristika rovna odmocnině rozptylu náhodné veličiny. Tato číselná charakteristika se nazývá střední kvadratická odchylka a je označena symbolem Charakterizuje přibližnou velikost odchylky náhodné veličiny od její průměrné hodnoty a má stejný rozměr jako náhodná veličina. 4.1.
Střelec vypálí tři rány na cíl. Pravděpodobnost zásahu cíle při každém výstřelu je 0,3. Sestavte distribuční řadu pro počet zásahů. Řešení. Počet zásahů je diskrétní náhodná proměnná X. Každá hodnota X n
náhodná proměnná X odpovídá určité pravděpodobnosti P n . Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny v tomto případě může být specifikován blízko distribuce. V tomto problému X nabývá hodnot 0, 1, 2, 3. Podle Bernoulliho vzorce Pojďme najít pravděpodobnosti možných hodnot náhodné veličiny: R 3 (0)
= (0,7) 3 =
0,343, R 3 (1)
= R 3 (2)
= R 3 (3)
= (0,3) 3 =
0,027. Uspořádáním hodnot náhodné proměnné X v rostoucím pořadí získáme distribuční řadu: X n Všimněte si, že částka znamená pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude mít alespoň jednu hodnotu z možných, a proto je tato událost spolehlivá 4.2
.V urně jsou čtyři míčky s čísly od 1 do 4. Vyjmou se dva míčky. Náhodná hodnota X– součet čísel koulí. Sestrojte distribuční řadu náhodné veličiny X. Řešení. Náhodné proměnné hodnoty X jsou 3, 4, 5, 6, 7. Pojďme najít odpovídající pravděpodobnosti. Hodnota náhodné proměnné 3 X lze akceptovat pouze v případě, že jeden z vybraných míčků má číslo 1 a druhý 2. Počet možných výsledků testu se rovná počtu kombinací čtyři (počet možných párů míčků) dvou. Pomocí klasického pravděpodobnostního vzorce dostaneme Rovněž, R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6. Součet 5 se může objevit ve dvou případech: 1 + 4 a 2 + 3, takže X má tvar: Najděte distribuční funkci F(X) náhodná proměnná X a naplánovat to. Vypočítat pro X jeho matematické očekávání a rozptyl. Řešení. Distribuční zákon náhodné veličiny může být specifikován distribuční funkcí F(X)
= P(X
X).
Distribuční funkce F(X) je neklesající, zleva spojitá funkce definovaná na celé číselné ose, zatímco F
(-
)=
0,F
(+
)=
1. Pro diskrétní náhodnou veličinu je tato funkce vyjádřena vzorcem Proto v tomto případě Graf distribuční funkce F(X) je stupňovitá čára (obr. 12) F(X) Očekávaná hodnotaM(X) je vážený aritmetický průměr hodnot X 1 , X 2 ,……X n náhodná proměnná X s váhami ρ
1,
ρ
2, ……
, ρ
n
a nazývá se střední hodnota náhodné veličiny X. Podle vzorce M(X)= x 1
ρ
1 + x 2
ρ
2 +……+ x n
ρ
n M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72. Disperze charakterizuje stupeň rozptylu hodnot náhodné veličiny od její průměrné hodnoty a je označen D(X): D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2)
–[M(X)] 2 . Pro diskrétní náhodnou veličinu má rozptyl tvar nebo jej lze vypočítat pomocí vzorce Dosazením číselných dat problému do vzorce dostaneme: M(X 2)
=
3 2
∙ 0,14+5 2
∙ 0,2+7 2
∙ 0,49+11 2
∙ 0,17 = 50,84 D(X)
= 50,84-6,72 2
= 5,6816. 4.4.
Dvěma kostkami se hází dvakrát současně. Napište binomický zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X- počet výskytů sudého celkového počtu bodů na dvou kostkách. Řešení. Představme si náhodnou událost A= (dvě kostky jedním hodem vedly k celkovému sudému počtu bodů). Pomocí klasické definice pravděpodobnosti najdeme R(A)=
Kde n
- počet možných výsledků testu se zjistí podle pravidla násobení: n
= 6∙6 =36, m
-
počet lidí, kteří akci podporují A výsledky - stejné m= 3∙6=18. Pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu tedy je ρ
= P(A)=
1/2.
Problém je řešen pomocí Bernoulliho testovacího schématu. Jednou z výzev by bylo hodit jednou dvěma kostkami. Počet takových testů n
= 2. Náhodná veličina X nabývá hodnot 0, 1, 2 s pravděpodobnostmi R 2 (0)
= Požadované binomické rozdělení náhodné veličiny X lze reprezentovat jako distribuční řadu: X n ρ
n 4.5
. V dávce šesti dílů jsou čtyři standardní. Náhodně byly vybrány tři části. Sestrojte rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny X– počet normalizovaných částí mezi vybranými a najít jejich matematické očekávání. Řešení. Náhodné proměnné hodnoty X jsou čísla 0,1,2,3. To je jasné R(X=0)=0, protože existují pouze dvě nestandardní části. R(X=1) = R(X= 2) = R(X=3) = Zákon rozdělení náhodné veličiny X Pojďme si to představit ve formě distribuční série: X n ρ
n Očekávaná hodnota M(X)=1
∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2. 4.6
. Dokažte, že matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny X- počet výskytů události A PROTI n nezávislé pokusy, ve kterých je pravděpodobnost výskytu události rovna ρ
– rovná se součinu počtu pokusů pravděpodobností výskytu události v jednom pokusu, to znamená dokázat, že matematické očekávání binomického rozdělení M(X)
=n .
ρ
, a disperze D(X)
=n.p.
. Řešení. Náhodná hodnota X může nabývat hodnot 0, 1, 2..., n. Pravděpodobnost R(X= k) se zjistí pomocí Bernoulliho vzorce: R(X=k)= R n(k)= Distribuční řady náhodné veličiny X má tvar: X n ρ
n q n Kde q=
1-
ρ
. Pro matematické očekávání máme výraz: M(X)= V případě jednoho testu, tedy s n= 1 pro náhodnou veličinu X 1 – počet výskytů události A- distribuční série má tvar: X n ρ
n M(X 1)=
0∙q +
1
∙ p
=
p D(X 1)
=
p
–
p 2
=
p(1-
p)
=
pq. Li X k – počet výskytů události A v jakém testu tedy R(X Na)=
ρ
A X=X 1 +X 2 +….+X n . Odtud se dostáváme M(X)=M(X 1
)+M(X 2)+
… +M(X n)=
nρ,
D(X)=D(X 1)+D(X 2)+
...
+D(X n)=npq. 4.7.
Oddělení kontroly kvality kontroluje standardnost výrobků. Pravděpodobnost, že je výrobek standardní, je 0,9. Každá šarže obsahuje 5 produktů. Najděte matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny X- počet šarží, z nichž každá bude obsahovat 4 standardní produkty - pokud podléhá kontrole 50 šarží. Řešení. Pravděpodobnost, že v každé náhodně vybrané šarži budou 4 standardní produkty, je konstantní; označme to tím ρ
.Poté matematické očekávání náhodné veličiny X rovná se M(X)=
50∙ρ.
Pojďme najít pravděpodobnost ρ
podle Bernoulliho vzorce: ρ=P 5 (4)= M(X)=
50∙0,32=16. 4.8
. Hodí se tři kostky. Najděte matematické očekávání součtu spadlých bodů. Řešení. Můžete najít rozdělení náhodné veličiny X- součet shozených bodů a následně jeho matematické očekávání. Tato cesta je však příliš těžkopádná. Jednodušší je použít jinou techniku, reprezentující náhodnou veličinu X, jehož matematické očekávání je potřeba vypočítat ve formě součtu několika jednodušších náhodných veličin, jejichž matematické očekávání je snazší vypočítat. Pokud náhodná veličina X i je počet nahozených bodů i– kosti ( i= 1, 2, 3), pak součet bodů X bude vyjádřen ve tvaru X = X 1 + X 2 + X 3 . K výpočtu matematického očekávání původní náhodné veličiny zbývá pouze použít vlastnost matematického očekávání M(X 1
+ X 2 + X 3
)= M(X 1
)+ M(X 2)+ M(X 3
). To je zřejmé R(X i = K)=
1/6, TO=
1, 2, 3, 4, 5, 6,
i=
1,
2, 3. Proto matematické očekávání náhodné veličiny X i vypadá jako M(X i)
=
1/6∙1
+ 1/6∙2
+1/6∙3
+ 1/6∙4
+ 1/6∙5
+ 1/6∙6
= 7/2, M(X)
=
3∙7/2 = 10,5.
4.9.
Určete matematické očekávání počtu zařízení, která selhala během testování, pokud: a) pravděpodobnost selhání všech zařízení je stejná R a počet testovaných zařízení je roven n; b) pravděpodobnost selhání pro i
–
zařízení se rovná p i
,
i=
1,
2, … , n. Řešení. Nechť náhodnou veličinu X je pak počet vadných zařízení X = X 1 + X 2 + … + X n ,
X i
=
To je jasné R(X i =
1)=
R i ,
R(X i =
0)=
1–
R i ,i= 1,
2,
…
,n. M(X i)=
1∙R i +
0∙(1-R i)=P i , M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 + P 2 + … + P n .
V případě „a“ je pravděpodobnost selhání zařízení stejná, tzn R i =p,i= 1,
2, …
,n. M(X)=
n.p.. Tuto odpověď lze získat okamžitě, pokud si všimneme, že náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametry ( n,
p).
4.10.
Dvě kostky jsou vrženy současně dvakrát. Napište binomický zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X - počet hodů sudým počtem bodů na dvou kostkách. Řešení. Nechat A=(házení sudým číslem na první kostce), B =(házení sudým číslem na druhé kostce). Získání sudého čísla na obou kostkách jedním hodem je vyjádřeno součinem AB. Pak R
(AB)
= R(A)∙R(V)
=
Výsledek druhého hodu dvěma kostkami nezávisí na prvním, takže platí Bernoulliho vzorec kdy n
=
2,p = 1/4,
q
=
1– p = 3/4.
Náhodná hodnota X může nabývat hodnot 0, 1, 2 ,
jehož pravděpodobnost lze zjistit pomocí Bernoulliho vzorce: R(X= 0)= P 2
(0)
=
q
2
= 9/16, R(X= 1)= P 2
(1)= C R(X= 2)= P 2
(2)= C Distribuční řady náhodné veličiny X: 4.11.
Zařízení se skládá z velkého počtu nezávisle pracujících prvků se stejnou velmi malou pravděpodobností selhání každého prvku v čase t. Najděte průměrný počet odmítnutí v průběhu času t prvků, pokud pravděpodobnost, že alespoň jeden prvek během této doby selže, je 0,98. Řešení.
Počet lidí, kteří v průběhu času odmítli t prvky – náhodná veličina X, který je rozdělen podle Poissonova zákona, jelikož počet prvků je velký, prvky pracují nezávisle a pravděpodobnost selhání každého prvku je malá. Průměrný počet výskytů události v n testy se rovnají M(X)
=
n.p..
Od pravděpodobnosti selhání NA prvky z n vyjádřeno vzorcem R n
(NA)
kde
=
n.p., pak pravděpodobnost, že během doby neselže ani jeden prvek t
dostaneme se na K = 0: R n
(0)= e - . Pravděpodobnost opačné události je tedy v čase t
alespoň jeden prvek selže – rovná se 1 - e -
. Podle podmínek úlohy je tato pravděpodobnost 0,98. Z rov. 1
- E -
= 0,98, E -
= 1 – 0,98 =
0,02, odtud
=
-Ln
0,02
4. Takže časem t provozu zařízení selžou v průměru 4 prvky. 4.12
. Kostkami se hází, dokud nepadne „dvojka“. Najděte průměrný počet hodů. Řešení. Zavedeme náhodnou veličinu X– počet testů, které musí být provedeny, dokud nenastane událost, která nás zajímá. Pravděpodobnost, že X= 1 se rovná pravděpodobnosti, že při jednom hodu kostkou se objeví „dvojka“, tzn. R(X= 1)
= 1/6. událost X= 2 znamená, že při prvním testu se „dvojka“ neobjevila, ale při druhém ano. Pravděpodobnost události X= 2 se najde podle pravidla násobení pravděpodobností nezávislých událostí: R(X= 2)
= (5/6)∙(1/6) Rovněž, R(X= 3)
= (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4)
= (5/6) 2 ∙1/6 atd. Získáme řadu rozdělení pravděpodobnosti: (5/6) Na
∙1/6 Průměrný počet hodů (pokusů) je matematické očekávání M(X)
=
1∙1/6 +
2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6
+ … + NA
(5/6) NA -1 ∙1/6
+ … = 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2
+ … + NA
(5/6) NA -1
+ …) Pojďme najít součet řady: Proto, M(X)
=
(1/6) (1/ (1 –
5/6) 2
= 6. Musíte tedy provést průměrně 6 hodů kostkou, dokud nepadne „dvojka“. 4.13.
Nezávislé testy se provádějí se stejnou pravděpodobností výskytu události A v každém testu. Najděte pravděpodobnost, že událost nastane A, jestliže rozptyl počtu výskytů události ve třech nezávislých studiích je 0,63 .
Řešení. Počet výskytů události ve třech studiích je náhodná proměnná X, rozdělené podle binomického zákona. Rozptyl počtu výskytů události v nezávislých pokusech (se stejnou pravděpodobností výskytu události v každém pokusu) se rovná součinu počtu pokusů pravděpodobností výskytu a nevyskytnutí události (problém 4.6) D(X)
=
npq.
Podle stavu n
=
3,
D(X)
=
0,63, takže můžete R najít z rovnice 0,63
= 3∙R(1-R), která má dvě řešení R 1
=
0,7 a R 2
=
0,3.
1.2.
p4 = 0,1; 0 při x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pro x≤a,
,
Normální křivka je symetrická vzhledem k přímce x=m, má maximum v x=a, rovné .
,
X
–28
–20
–12
–4
p
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
X
p
0,1
0,2
0,3
0,4
.
.
,
0,3(0,7) 2
= 0,441,
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
.
.
.
,
,R 2 (1)
=
∙
,R 2 (2)
=
=1/5,
= 3/5,
= 1/5.
ρ
Na
(1-ρ
) n- Na
ρq n- 1
ρq n- 2
ρ
n
ρq n -
1
+2
ρ
2
q n -
2
+…+.n
ρ
n
= 0,94∙0,1=0,32.
.
,R∙q
=
6/16,
,
R 2
=
1/16.
,
NAG
NA -1
= (
G NA)
G
.
Studium funkcí pro monotónnost a extrémy
Průměr nebo medián
Zákon rozdělení náhodných veličin
Význam jména: Ilya
Původ a charakter jména Aydar