Prozkoumejte funkci pro monotónnost online. Studium funkcí pro monotónnost a extrémy

Extrémy a konvexita.

Asymptoty grafu funkce

Definice.Kritický bod funkcí na = F(X) je bod, ve kterém je derivace nulová nebo neexistuje.

Teorém. Pokud je v intervalu (a; b) derivace pozitivní/negativní, pak se funkce v tomto intervalu zvyšuje/snižuje.

Teorém. Pokud při průchodu kritickým bodem derivace změní znaménko z „+“ na „-“ (z „-“ na „+“), pak − je maximální (minimální) bod funkce

Definice. Funkce volal konvexní nahoru (dolů) v intervalu (a; b), pokud v tomto intervalu leží body grafu pod (nad) tečnami sestrojenými v těchto bodech. Inflexní bod je bod v grafu funkce, který ji rozděluje na části s různými směry konvexnosti.

Příklad 2.3.

Funkce Prozkoumat pro monotónnost a extrémy, konvexnost.

1. Vyšetřujeme funkci na monotónnost a extrémy.

Uděláme kresbu ( rýže. 2.1).

y′′

X

−

−

+

y

problém dolů

problém nahoru

problém dolů

Rýže. 2.2. Studium funkce pro konvexnost

Vypočítejme souřadnice inflexních bodů grafu:

Souřadnice inflexních bodů: (0; 0), (1; −1).

2.32. Prozkoumejte funkci pro monotónnost a extrémy:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.33. Najděte nejmenší a největší hodnoty funkce:

1) na intervalu;

2) na intervalu [−1; 1];

3) na intervalu [−4; 4];

4) na intervalu [−2; 1].

2.34. Výrobní náklady C (cu) závisí na objemu produkce X(jednotky): Najděte nejvyšší výrobní náklady, pokud X změny v průběhu intervalu. Najít hodnotu X, při kterém bude zisk maximální, bude-li výnos z prodeje jednotky výroby roven 15 c.u. E.

2.35. Je nutné vyčlenit obdélníkový pozemek o výměře 512 m2, oplotit jej a rozdělit plotem na tři stejné části rovnoběžné s jednou ze stran pozemku. Jaká by měla být velikost pozemku, aby bylo na oplocení použito co nejméně materiálu?

2.36. Vzhledem k obvodu obdélníkového okna najděte jeho rozměry takové, aby dovnitř propouštělo co největší množství světla.

2.37. Najděte maximální zisk, pokud jsou příjmy R a náklady C určeny vzorcem: kde X− množství prodaného zboží.

2.38. Závislost objemu výroby W z kapitálových nákladů NA určeno funkcí
Najděte interval výměny NA, kde je zvyšování kapitálových nákladů neúčinné.

2.39. Nákladová funkce má tvar Příjem z prodeje jednotky výroby je roven 200. Najděte optimální hodnotu výkonu pro výrobce.

2,40. Závislost objemu produkce (v peněžních jednotkách) na kapitálových nákladech je určena funkcí Najděte interval hodnot, při kterém je zvyšování kapitálových nákladů neúčinné.

2.41. Předpokládá se, že nárůst tržeb z reklamních nákladů (miliony rublů) je určen poměrem Příjem z prodeje jednotky výroby se rovná 20 tisíc rublů. Najděte úroveň nákladů na reklamu, při které společnost získá maximální zisk.

2.42. Příjem z výroby produktů pomocí jednotek zdrojů se rovná Cena jednotky zdroje je 10 den. Jednotky Kolik zdrojů by se mělo nakoupit, aby byl zisk největší?

2.43. Nákladová funkce má tvar Příjem z prodeje jednotky výroby je 50. Najděte maximální hodnotu zisku, kterou může výrobce obdržet.

2.44. Závislost důchodu monopolu na množství výstupu je definována jako: Nákladová funkce v tomto intervalu má tvar Najděte optimální výstupní hodnotu pro monopol.

2.45. Cena za výrobky monopolního výrobce je stanovena v souladu s poměrem označeným jako . Při jaké hodnotě produkce produktu bude příjem z jeho prodeje největší?

2.46. Nákladová funkce má následující tvar na na . V současné době úroveň výroby Za jaké podmínky na parametru p Je pro firmu výhodné snížit výkon, když příjem z prodeje jednotky výkonu je 50?

Derivace také pomáhá při studiu funkce pro rostoucí a klesající funkce. Nejprve si připomeňme odpovídající definici.

Definice . Nechť je funkce definována na intervalu . Říká se, že se zvyšuje (snižuje) na intervalu if takové, že .

Teorém. Je-li funkce diferencovatelná na intervalu a , pak se zvětšuje (snižuje) na intervalu .

Nechť je derivace funkce spojitá na intervalu. Ke studiu jeho nárůstu a poklesu se obvykle postupuje podle následujícího plánu:

1) Najděte body z , kde . Tyto body se nazývají stacionární.

2) Ve všech intervalech, na které se dělí stacionární body, určete znaménko. K tomu stačí určit znaménko v jednom bodě každého intervalu (znaménko uvnitř každého intervalu se nemění, protože jinak podle Bolzano-Cauchyho věty musí uvnitř tohoto intervalu existovat nulová derivace, která je nemožné). Pokud je uvnitř intervalu, pak podle věty roste. Pokud , pak se snižuje.

Definice . Body, ve kterých je derivace funkce rovna nule, se nazývají stacionární. Body, ve kterých je derivace funkce nulová nebo neexistuje, se nazývají kritické.

Příklad. Prozkoumejte rostoucí a klesající funkci

Tato funkce je diferencovatelná na celé číselné řadě.

1) . Pojďme najít stacionární body: . Kořeny rovnice jsou čísla , .

2) Body , rozdělte číselnou řadu na tři intervaly: , , .

Na prvním intervalu bereme .

Proto se během intervalu zvyšuje. V intervalu, který bereme, . Proto se snižuje. Na intervalu bereme , . Proto se během intervalu zvyšuje.

Definice. Nechť je funkce definována v . Bod se nazývá lokální maximální (minimální) bod, pokud existuje takové, že

Pokud jsou nerovnosti (1) striktní pro , pak se bod nazývá bod striktního lokálního maxima (minimum). Body lokálního maxima a minima se nazývají extrémní body.

Teorém(nutná podmínka pro extrém). Pokud je funkce diferencovatelná v bodě a je extrémním bodem, pak

Důkaz věty není těžké získat z definice derivace.

Komentář. Z věty vyplývá, že extrémní body funkce je třeba hledat mezi stacionárními body a body, kde derivace neexistuje. Jedna z postačujících podmínek pro extrém vyplývá přímo z následující věty.

Komentář. Nezbytná podmínka nestačí. Například pro funkci máme , ale bod není extrém, protože funkce roste podél celé číselné osy.

Teorém(dostatečná podmínka pro extrém). Nechť je funkce spojitá v bodě a diferencovatelná v . Pak:

a) jestliže derivace při průchodu bodem změní znaménko z plus na mínus, pak je bod bodem lokálního maxima;

b) jestliže derivace při průchodu bodem změní znaménko z mínus na plus, pak je bod lokálním minimálním bodem funkce.

Všimněte si, že z věty vyplývá, že v předchozím příkladu je bod bodem lokálního maxima a bod je bodem lokálního minima funkce.

Při řešení různých problémů je často nutné najít největší a nejmenší hodnoty funkce na určité množině.

Podívejme se nejprve, jak je tento problém vyřešen pro případ, kdy se jedná o segment. Nechť je funkce spojitá na segmentu a diferencovatelná na intervalu, snad kromě konečného počtu bodů. Potom podle Weierstrassovy věty funkce dosáhne své největší a nejmenší hodnoty na segmentu.

Z výše uvedených teorémů vyplývá následující plán hledání největších a nejmenších hodnot funkce.

1) Najděte derivaci a nuly derivace .

2) Najděte hodnoty

a) na nulách derivace ;

b) na koncích segmentu;

c) v bodech, kde derivát neexistuje.

3) Z výsledných čísel vyberte největší a nejmenší.

Poznámka 1. Všimněte si, že zde není vůbec nutné hledat intervaly zvyšování a snižování.

Poznámka 2 Pokud se jedná o interval, půlinterval nebo nekonečný interval, pak výše uvedený plán nelze použít. V tomto případě je pro vyřešení problému největších a nejmenších hodnot potřeba najít intervaly nárůstu a poklesu funkce, limity v hraničních bodech a pomocí jednoduché analýzy získat odpověď.

Příklad 3 Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce na intervalu.

Najděte intervaly zvyšování a snižování. K tomu najdeme derivaci:

Tečka rozděluje interval na dva intervaly: a . Najděte znaménko derivace v těchto intervalech. Chcete-li to provést, pojďme počítat

Funkce tedy klesá v polovičním intervalu a zvyšuje se v intervalu. Proto Neexistuje žádná největší hodnota, protože . V tomto případě píšou: .

Lekce a prezentace z algebry v 10. ročníku na téma: "Výzkum funkce pro monotónnost. Výzkumný algoritmus"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.

Manuály a simulátory v internetovém obchodě Integral pro stupeň 10 od 1C
Algebraické úlohy s parametry, ročníky 9–11
Softwarové prostředí "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Co budeme studovat:
1. Klesající a rostoucí funkce.
2. Vztah mezi derivací a monotónností funkce.
3. Dvě důležité věty o monotónnosti.
4. Příklady.

Chlapi, dříve jsme se podívali na mnoho různých funkcí a nakreslili je. Nyní si představíme nová pravidla, která fungují pro všechny funkce, o kterých jsme uvažovali a budeme uvažovat i nadále.

Snižování a zvyšování funkcí

Podívejme se na koncept rostoucí a klesající funkce. Kluci, co je to funkce?

Funkce je korespondence y= f(x), ve které je každá hodnota x spojena s jedinou hodnotou y.

Podívejme se na graf některé funkce:

Náš graf ukazuje: čím větší x, tím menší y. Definujme tedy klesající funkci. Funkce se nazývá klesající, pokud větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce.

Pokud x2 > x1, pak f(x2) Nyní se podívejme na graf této funkce:
Tento graf ukazuje, že čím větší x, tím větší y. Definujme tedy rostoucí funkci. Funkce se nazývá rostoucí, pokud větší hodnota argumentu odpovídá větší hodnotě funkce.
Jestliže x2 > x1, pak f(x2 > f(x1) nebo: čím větší x, tím větší y.

Pokud se funkce v určitém intervalu zvyšuje nebo snižuje, říká se to na tomto intervalu je monotónní.

Vztah mezi derivací a monotónností funkce

Kluci, teď se zamysleme nad tím, jak můžete použít koncept derivace při studiu grafů funkcí. Nakreslete graf rostoucí diferencovatelné funkce a nakreslete k našemu grafu pár tečen.

Pokud se podíváte na naše tečny nebo vizuálně nakreslíte jakoukoli jinou tečnu, všimnete si, že úhel mezi tečnou a kladným směrem osy x bude ostrý. To znamená, že tečna má kladný sklon. Úhlový koeficient tečny je roven hodnotě derivace na úsečce tečného bodu. Hodnota derivace je tedy ve všech bodech našeho grafu kladná. Pro rostoucí funkci platí následující nerovnost: f"(x) ≥ 0, pro libovolný bod x.

Kluci, teď se podíváme na graf nějaké klesající funkce a sestrojíme tečny ke grafu funkce.

Podívejme se na tečny a vizuálně nakreslete jakoukoli jinou tečnu. Všimneme si, že úhel mezi tečnou a kladným směrem osy x je tupý, což znamená, že tečna má záporný sklon. Hodnota derivace je tedy ve všech bodech našeho grafu záporná. Pro klesající funkci platí následující nerovnost: f"(x) ≤ 0, pro libovolný bod x.

Takže monotónnost funkce závisí na znaménku derivace:

Pokud funkce roste na intervalu a má na tomto intervalu derivaci, pak tato derivace nebude záporná.

Pokud funkce klesá na intervalu a má na tomto intervalu derivaci, pak tato derivace nebude kladná.

Důležité, takže intervaly, na kterých uvažujeme funkci, jsou otevřené!

Dvě důležité věty o monotónnosti

Věta 1. Platí-li nerovnost f'(x) ≥ 0 ve všech bodech otevřeného intervalu X (a rovnost derivace k nule buď neplatí, nebo platí, ale pouze v konečné množině bodů), pak funkce y= f(x) roste na intervalu X.

Věta 2. Platí-li nerovnost f'(x) ≤ 0 ve všech bodech otevřeného intervalu X (a rovnost derivace k nule buď neplatí, nebo platí, ale pouze v konečné množině bodů), pak funkce y= f(x) na intervalu X klesá.

Věta 3. Je-li ve všech bodech otevřeného intervalu X rovnost
f’(x)= 0, pak je funkce y= f(x) na tomto intervalu konstantní.

Příklady studia funkce pro monotónnost

1) Dokažte, že funkce y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 je rostoucí na celé číselné ose.

Řešení: Najdeme derivaci naší funkce: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Protože stupeň v x je sudý, mocninná funkce nabývá pouze kladných hodnot. Pak y" > 0 pro libovolné x, což znamená podle věty 1, naše funkce roste podél celé číselné osy.

2) Dokažte, že funkce je klesající: y= sin(2x) - 3x.

Najdeme derivaci naší funkce: y"= 2cos(2x) - 3.
Pojďme vyřešit nerovnost:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Protože -1 ≤ cos(x) ≤ 1, což znamená, že naše nerovnost je splněna pro libovolné x, pak podle věty 2 funkce y= sin(2x) - 3x klesá.

3) Zkoumejte monotónnost funkce: y= x 2 + 3x - 1.

Řešení: Najděte derivaci naší funkce: y"= 2x + 3.
Pojďme vyřešit nerovnost:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Potom naše funkce roste pro x ≥ -3/2 a klesá pro x ≤ -3/2.
Odpověď: Pro x ≥ -3/2 se funkce zvyšuje, pro x ≤ -3/2 se funkce snižuje.

4) Prozkoumejte monotónnost funkce: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Řešení: Najdeme derivaci naší funkce: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Pojďme vyřešit nerovnost: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Naše nerovnost je větší nebo rovna nule:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Pojďme vyřešit nerovnost:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Ale to je nemožné, protože Odmocnina je definována pouze pro kladné výrazy, což znamená, že naše funkce nemá žádné klesající intervaly.
Odpověď: pro x ≥ 1/3 se funkce zvýší.

Problémy řešit samostatně

a) Dokažte, že funkce y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 je rostoucí podél celé číselné osy.
b) Dokažte, že funkce je klesající: y= cos(5x) - 7x.
c) Prozkoumejte monotónnost funkce: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Prozkoumejte monotónnost funkce: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Poprvé jsme se setkali v kurzu algebry v 7. třídě. Při pohledu na graf funkce jsme odstranili odpovídající informace: pokud se pohybem po grafu zleva doprava zároveň pohybujeme zdola nahoru (jako bychom šplhali do kopce), pak jsme funkci prohlásili za být rostoucí (obr. 124); pokud se pohybujeme shora dolů (jedeme z kopce), pak jsme funkci prohlásili za klesající (obr. 125).

Matematici však tento způsob studia vlastností funkce příliš v lásce nemají. Domnívají se, že definice pojmů by neměly být založeny na výkresu - výkres by měl pouze ilustrovat jednu nebo druhou vlastnost funkce na svém grafika. Uveďme striktní definice pojmů rostoucí a klesající funkce.

Definice 1. Říkáme, že funkce y = f(x) je rostoucí na intervalu X, jestliže z nerovnosti x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Definice 2. Říkáme, že funkce y = f(x) je na intervalu X klesající, pokud nerovnost x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует nerovnost f(x 1) > f(x 2).

V praxi je výhodnější použít následující formulace:

funkce se zvyšuje, pokud větší hodnota argumentu odpovídá větší hodnotě funkce;
funkce klesá, pokud větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce.

Pomocí těchto definic a vlastností číselných nerovnic stanovených v § 33 budeme schopni doložit závěry o zvýšení nebo snížení dříve studovaných funkcí.

1. Lineární funkce y = kx +m

Je-li k > 0, pak funkce roste v celém rozsahu (obr. 126); pokud k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Důkaz. Nechť f(x) = kx +m. Pokud x 1< х 2 и k >Oh, tedy podle vlastnosti 3 číselných nerovností (viz § 33) kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Takže z nerovnosti x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. lineární funkce y = kx+ m.

Pokud x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 a podle vlastnosti 2 z kx 1 > kx 2 vyplývá, že kx 1 + m> kx 2 + tzn.

Takže z nerovnosti x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). To znamená pokles funkce y = f(x), tj. lineární funkce y = kx + m.

Jestliže funkce roste (klesá) v celém svém definičním oboru, lze ji nazvat rostoucí (klesající) bez uvedení intervalu. Například o funkci y = 2x - 3 můžeme říci, že je rostoucí podél celé číselné osy, ale můžeme to říci i stručněji: y = 2x - 3 - rostoucí
funkce.

2. Funkce y = x2

1. Uvažujme funkci y = x 2 na paprsku. Vezměme dvě nekladná čísla x 1 a x 2 taková, že x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Protože čísla - x 1 a - x 2 jsou nezáporná, pak umocněním obou stran poslední nerovnosti získáme nerovnost stejného významu (-x 1) 2 > (-x 2) 2, tzn. To znamená, že f(x 1) > f(x 2).

Takže z nerovnosti x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Proto funkce y = x 2 na paprsku klesá (- 00, 0] (obr. 128).

1. Uvažujme funkci na intervalu (0, + 00).
Nechat x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Takže z nerovnosti x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). To znamená, že funkce klesá na otevřeném paprsku (0, + 00) (obr. 129).

2. Uvažujme funkci na intervalu (-oo, 0). Nechat x 1< х 2 , х 1 и х 2 - отрицательные числа. Тогда - х 1 >- x 2, a obě strany poslední nerovnosti jsou kladná čísla, a tedy (použili jsme opět nerovnost dokázanou v příkladu 1 z § 33). Dále máme, odkud pocházíme.

Takže z nerovnosti x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) tj. funkce na otevřeném paprsku klesá (- 00 , 0)

Obvykle se pojmy „rostoucí funkce“ a „klesající funkce“ spojují pod obecným názvem monotónní funkce a studium funkce pro rostoucí a klesající se nazývá studium funkce pro monotónnost.

Řešení.

1) Nakreslíme funkci y = 2x2 a vezmeme větev této paraboly v x< 0 (рис. 130).

2) Sestrojte a vyberte jeho část na segmentu (obr. 131).

3) Sestrojme hyperbolu a označme její část na otevřeném polopřímce (4, + 00) (obr. 132).
4) Znázorněme všechny tři „kusy“ v jednom souřadnicovém systému - to je graf funkce y = f(x) (obr. 133).

Přečteme graf funkce y = f(x).

1. Definiční obor funkce je celá číselná řada.

2. y = 0 při x = 0; y > 0 pro x > 0.

3. Funkce na paprsku klesá (-oo, 0], na úsečce se zvětšuje, na paprsku klesá, na úsečce je konvexní nahoru, na paprsku konvexní dolů, platí Lagrangeova věta: existuje bod X 0 z ( X 1 ;X 2) takové, že F(X 2) -F(X 1) = (X 2 -X 1)×f¢( X 0). Ale podle podmínek F"(X 0) = 0, tedy F(X 2) =F(X 1), tj. funkce F(X) je trvale zapnuto ( A; b). To znamená, že byla prokázána dostatečnost. Věta byla prokázána.

Věta 4 (nutná podmínka pro monotónnost funkce). Nechte v intervalu (A; b) funkce f(X) diferencovatelné. Pak:

A)pokud f(X) zvyšuje, pak jeho derivace v(A; b) ne negativní, tj. F ¢( X) ³ 0;

b) pokud f(X) klesá, pak jeho derivace v (A; b) ne pozitivní, tj. F ¢( X) £ 0.

Důkaz. A). Nechte funkci F(X) zvyšuje ( A; b), tj. pro jakékoli X 1 ,X 2 z ( A; b) platí následující vztah: X 1 < X 2® F(X 1) < F(X 2). Poté pro uvedené body X 1 ,X 2 následující vztah je kladný:

Z toho vyplývá, že derivát F ¢( X 1) ³ 0. Prohlášení A b).

Věta 5 (dostatečná podmínka pro monotónnost funkce). Nechte v intervalu (A; b) funkce f(X) diferencovatelné. Pak:

A)pokud f ¢( X) > 0 na (A; b), pak f(X)zvyšuje o (A; b);

b) pokud f ¢( X) < 0na(A; b),pak f(X) snižuje o (A ; b).

Důkaz. A). Nechat F ¢( X) > 0 na ( A; b) a body X 1 , X 2 z ( A; b) takové, že X 1 < X 2. Podle Lagrangeova teorému existuje pointa X 0 z ( X 1 ;X 2) takové, že F(X 2) -F(X 1) = (X 2 -X 1)×f¢( X 0). Zde je pravá strana rovnosti kladná, takže F(X 2) -F(X 1) > 0, tzn. F(X 2) > F(X 1). Znamená to, že F(X) se zvýší o ( A; b). Prohlášení A) bylo prokázáno. Tvrzení se dokazuje podobným způsobem b).

Příklad 9. Funkce na= X 3 se zvyšuje všude, protože s rostoucími hodnotami X Kostky těchto hodnot se zvyšují. Derivace této funkce na¢= 3 X 2 je všude nezáporná, tzn. je splněna nezbytná podmínka monotónnosti.

Příklad 10. Najděte intervaly rostoucí a klesající funkce y= 0,25X 4 - 0,5X 2 .

Řešení. Je nalezena derivace této funkce na¢ = X 3 - X, a intervaly jsou konstruovány ve kterých X 3 - X pozitivní nebo negativní. K tomu nejprve najdeme kritické body, ve kterých na¢ = 0: X 3 - X = 0 ® X(X + 1)(X-1) = 0® X 1 = 0, X 2 = -1 X 3 = 1. Tyto body rozdělují číselnou řadu na 4 mezery:

- + - + X

-¥ -2 -1 0 1 2 3 +¥

Sakra.36.

Obecně platí, že pro určení znamének derivace vezměte jeden bod v každém intervalu a vypočítejte hodnoty derivace v těchto bodech. Někdy ale stačí vzít jen jeden bod v intervalu nejvíce vpravo, určit znaménko derivace v tomto bodě a ve zbývajících intervalech znaménka střídat. V tomto příkladu nech X= 2 tedy na¢(2) = 2 3 – 2 = 6 > 0. Znaménko + je umístěno ve správném intervalu a poté se znaménka střídají. Přijato na¢ > 0 na intervalech (-1; 0) a (1; +¥), proto studovaná funkce na těchto intervalech roste. Dále, na¢< 0 на (- ¥; -1) и (0; 1), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках убывает. Ниже на чертеже 37 построен график этой функции.

Definice 3. 1). Tečka X o se nazývá maximální bod funkcí F(X), pokud existuje interval ( A; b), obsahující X ach v jakém smyslu F(X o) největší, tzn. F(X o) > F(X) pro všechny X z ( A; b).

2). Tečka X o se nazývá minimální bod funkcí F(X), pokud existuje interval ( A; b), obsahující X ach v jakém smyslu F(X o) nejmenší, tzn. F(XÓ)< F(X) pro všechny X z ( A; b). Jsou volány maximální a minimální body extrémní body.

Věta 6(nutná podmínka pro extrém funkce). Pokud xÓ je krajní bod funkce f(X)a existuje derivát

F ¢( X 0),pak f "(X 0) = 0.

Důkaz je podobný důkazu Rolleovy věty.

Tečka X 0, ve kterém F ¢( X 0) = 0 nebo F ¢( X 0) neexistuje, tzv kritický bod funkcí F (X). Říkají, že kritické body podezřelé z extrémů, tj. mohou nebo nemusí být maximální nebo minimální body.

Věta 7 (postačující podmínka pro extrém funkce). Nechť f(X)diferencovatelný v nějakém intervalu obsahujícím kritický bod x O ( snad kromě samotného bodu xÓ) . Pak:

A) jestliže při průchodu xÓ derivace zleva doprava f ¢( X) změní znaménko z + na -,pak xÓ je maximální bod funkce f (X);

b) jestliže při průchodu xÓ derivace zleva doprava f ¢( X) změní znaménko z - na+,pak xÓ je minimální bod funkce f (X).

Důkaz. Ať jsou splněny všechny podmínky paragrafu A). Vezměme si bod X(ze zadaného intervalu) tak, že X <X jo a aplikuj Lagrangeovu větu na interval ( X; XÓ). Dostaneme: F(X 0) -F(X) = (X 0 -X)×f¢( X 1), kde X 1 – nějaký bod od ( X; XÓ). podle podmínky, F¢( X 1) > 0 a ( X 0 -X) > 0, tedy F(X 0) >F(X). Podobně je dokázáno, že pro jakýkoli bod X >X ach taky F(X 0) >F(X). Z těchto výroků vyplývá, že jde o maximální bod, výrok A) bylo prokázáno. Tvrzení se dokazuje podobným způsobem b).

Příklad 11. Příklad 9 ukazuje, že funkce na= X 3 se zvyšuje všude, proto nemá žádné extrémy. Vlastně jeho derivát y"= 3X 2 se rovná nule pouze tehdy, když X o = 0, tj. v tomto bodě je splněna nezbytná podmínka pro extrém funkce. Ale při průchodu 0 jeho derivace y"= 3X 2 nemění znaménko, takže X o = 0 není krajní bod této funkce.

Příklad 12. Příklad 10 ukazuje, že funkce na = 0,25X 4 - 0,5X 2 má kritické body X 1 = 0, X 2 = -1, X 3 = 1. Na obrázku 34 je naznačeno, že při průchodu těmito body její derivace mění znaménko, proto, X 1 , X 2 , X 3 - extrémní body, zatímco X 1 = 0 je maximální bod a X 2 = -1, X 3 = 1 - minimální počet bodů.

Dále je pro tento příklad vytvořen výkres. Funkce F(X) = 0,25X 4 - 0,5X 2 se studuje na parita: F(-X) = 0,25(-X) 4 - 0,5(-X) 2 = F(X), proto je tato funkce sudá a její graf je symetrický kolem osy OY. Body grafu nalezené výše a některé pomocné body ležící na grafu jsou vyneseny a spojeny hladkou čarou.

y= 0,25X 4 - 0,5X 2 0,5 -0,11

1 0 max 1 x Ö`1/3 –0,14 A B

Sakra.37.

Věta 8 (druhá postačující podmínka pro extrém). Nechte x 0 – kritický bod funkce f(X), a existuje derivace f druhého řádu¢¢( X 0). Pak:

A) pokud f ¢¢( X 0) < 0, pak x 0 – maximální bod funkce f(X);

b) pokud f ¢¢( X 0) > 0, pak x 0 - minimální bod funkce f(X).

Důkaz této věty se neuvažuje (viz).

Příklad 13. Prozkoumejte extrém funkce y= 2X 2 - X 4 .

Řešení. Derivát je nalezen y¢ a kritické body, ve kterých

y¢= 9: y¢= 4 X - 4X 3 ; 4X - 4X 3 = 0® X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = -1 - kritické body. Je nalezena derivace druhého řádu y¢¢ a jeho hodnoty v kritických bodech jsou vypočteny: y¢¢= 4 –12 X 2 ; y¢¢(0) = 4, y¢¢(1) = –8, y¢¢(-1) = –8. Protože y¢¢(0) > 0, pak X 1 = 0 - minimální bod; a od té doby y¢¢(1)< 0, y¢¢(-1)< 0, то X 2 = 1, X 3 = -1 - maximální počet bodů této funkce.

Absolutní extrémy funkce na segmentu [A; b] se nazývají největší a nejmenší hodnoty F(X) dne [ A; b]. Tyto extrémy jsou dosaženy buď v kritických bodech funkce F(X), nebo na koncích segmentu [ A; b].

Příklad 14. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce y = X 2× lnx na intervalu .

Řešení. Derivace této funkce a její kritické body jsou nalezeny: na¢ = 2 X× lnx + X 2 × (1/ X) = X× (2 lnx+1); X× (2× lnx+1) = 0 ® a) X 1 = 0; b) 2× lnx+ 1 = 0® ln x= -0,5® X 2 = E - 0,5 = 1/Ö `E» 0,607. Kritický bod X 1 = 0 není zahrnuto v uvažovaném intervalu, proto jsou funkční hodnoty nalezeny v bodě X 2 = E- 0,5 a na koncích A= 0,5, b = E. na(E -0,5) = (E- 0,5) 2 x ln(E - 0,5) =E - 1 (-0,5) = -0,5/E» -0,184; na(0,5) = 0,25× ln 0,5 » 0,25 (-0,693) = -0,17325; na(E) = E 2× lne = E 2 × 1" 7,389. Vyberou se největší a nejmenší hodnoty z nalezených hodnot: největší hodnota "7,389 in X = E, nejmenší hodnota "-0,184 V at X = E - 0,5 .

Extrémní problémy.

V takových problémech jsou uvažovány dvě proměnné X A na a musíte takovou hodnotu najít X, při které je hodnota na je největší nebo nejmenší. Řešení tohoto problému obsahuje následující kroky:

1) je zvolena extrémní hodnota y, jehož maximum nebo minimum musí být nalezeno;

2) je vybrána proměnná X, A y vyjádřeno prostřednictvím X;

3) vypočítá se derivace na“ a existují kritické body, ve kterých na"je 0 nebo neexistuje;

4) vyšetřují se kritické body na extrému;

5) zohledňují se hodnoty y na koncích a vypočítá se hodnota požadovaná v problému.

Příklad 15. Experimentálně bylo zjištěno, že spotřeba benzínu

na(l) na 100 km autem GAZ-69 v závislosti na rychlosti x(km/h) popsána funkcí y = 18 - 0,3X + 0,003X 2 . Určete nejhospodárnější rychlost.

Řešení. Zde jsou první dva kroky 1) a 2) provedeny v příkazu k problému. Proto se derivát okamžitě vypočítá: y"= -0,3 +0,006X a kritický bod je nalezen: -0,3 + 0,006 X = 0 ® X o = 50. Nyní platí druhá dostatečná podmínka pro extrém: y""= 0,006 > 0 v libovolném bodě, proto, X o = 50 - minimální bod. Závěr: nejekonomičtější rychlost je 50 km/h, přičemž spotřeba benzínu je 18 - 0,3 × 50 + 0,003 × 50 2 = 10,5 litru. na 100 km.

Příklad 16. Ze čtvercového archu kartonu o straně 60 cm se v rozích vystřihnou stejné čtverce a ze zbývající části se slepí obdélníková krabice. Jaká by měla být strana vyříznutého čtverce, aby byl objem krabice největší?.

Řešení. Výše uvedené kroky k vyřešení problému jsou provedeny.

1). Podle stavu by objem krabice měl být největší, takže nech y- objem krabice.

2). Za X(cm) vezměte stranu vyříznutého čtverce. Pak bude výška krabice rovna X a základna krabice bude čtverec se stranou

(60 – 2X), jeho rozloha je (60 – 2 X) 2. Proto je objem krabice y= X(60 – 2X) 2 = 3600X - 240X 2 + 4X 3 .

3). Vypočítá se derivace a najdou se kritické body: y"= 3600 - 480X + 12X 2 ; X 2 - 40X+300 = 0® X 1 =10, X 2 = 30 - kritické body.

4). Derivace 2. řádu se rovná y""= - 480 + 24X A y""(10) = -240, y""(30) = 240. Podle věty 8 X 1 =10 - maximální bod a y max = 400 (cm3).

5). Kromě, X může mít extrémní hodnotu X 3 = 0. Ale na(0) = 0 - to je méně než y max.

Odpovědět: Strana řezaného čtverce je 10 cm.

©2015-2019 web
Všechna práva náleží jejich autorům. Tato stránka si nečiní nárok na autorství, ale poskytuje bezplatné použití.
Datum vytvoření stránky: 20.08.2016