منفصلة يسمى متغيرًا عشوائيًا يمكن أن يأخذ قيمًا منفصلة ومعزولة باحتمالات معينة.
مثال 1.عدد مرات ظهور شعار النبالة في ثلاث رميات للعملة المعدنية. القيم المحتملة: 0، 1، 2، 3، احتمالاتها متساوية على التوالي:
ف(0) = ; ص(1) = ; ص(2) = ; ص(3) = .
مثال 2.عدد العناصر الفاشلة في جهاز مكون من خمسة عناصر. القيم المحتملة: 0، 1، 2، 3، 4، 5؛ تعتمد احتمالاتها على موثوقية كل عنصر.
المتغير العشوائي المنفصل Xيمكن الحصول عليها من خلال سلسلة التوزيع أو دالة التوزيع (قانون التوزيع المتكامل).
بالقرب من التوزيع هي مجموعة كل القيم الممكنة Xأناوالاحتمالات المقابلة لها رط = ص(س = سأنا), يمكن تحديده كجدول:
| × ط | س ن |
|||
| باي | ص ن |
وفي نفس الوقت الاحتمالات رأناتلبية الشرط
رأنا= 1 لأن 
أين هو عدد القيم الممكنة نقد تكون محدودة أو لا نهائية.
تمثيل رسومي لسلسلة التوزيع يسمى مضلع التوزيع . ولبنائه القيم الممكنة للمتغير العشوائي ( Xأنا) يتم رسمها على طول المحور السيني، والاحتمالات رأنا- على طول المحور الإحداثي؛ نقاط أأنابالإحداثيات ( Xأنا، صأنا) متصلة بواسطة خطوط متقطعة.
وظيفة التوزيع متغير عشوائي Xتسمى وظيفة F(X), الذي قيمته عند هذه النقطة Xيساوي احتمال المتغير العشوائي Xسيكون أقل من هذه القيمة X، إنه
و(س) = ف(س< х).
وظيفة F(X) ل المتغير العشوائي المنفصلتحسب بواسطة الصيغة
F(×) = رأنا , (1.10.1)
حيث يتم الجمع على جميع القيم أنا، لأي منهم Xأنا< х.
مثال 3.من مجموعة تحتوي على 100 منتج، منها 10 منتجات معيبة، يتم اختيار خمسة منتجات بشكل عشوائي للتحقق من جودتها. بناء سلسلة من التوزيعات لرقم عشوائي Xالمنتجات المعيبة الواردة في العينة.
حل. نظرًا لأن عدد المنتجات المعيبة في العينة يمكن أن يكون أي عدد صحيح يتراوح من 0 إلى 5، فإن القيم المحتملة Xأنامتغير عشوائي Xمتساوون:
× 1 = 0، × 2 = 1، × 3 = 2، × 4 = 3، × 5 = 4، × 6 = 5.
احتمالا ر(س = ك) التي تحتويها العينة بالضبط ك(ك = 0، 1، 2، 3، 4، 5) المنتجات المعيبة، يساوي
ف (س = ك) = .
نتيجة للحسابات باستخدام هذه الصيغة بدقة 0.001 نحصل على:
ر 1 = ص(س = 0) @ 0,583;ر 2 = ص(س = 1) @ 0,340;ر 3 = ص(س = 2) @ 0,070;
ر 4 = ص(س = 3) @ 0,007;ر 5 = ص(X= 4) @ 0;ر 6 = ص(س = 5) @ 0.
استخدام المساواة للتحقق رك=1، نتأكد من إجراء الحسابات والتقريب بشكل صحيح (انظر الجدول).
| × ط | ||||||
| باي |
مثال 4.نظرا لسلسلة التوزيع لمتغير عشوائي X :
| × ط | |||||
| باي |
أوجد دالة التوزيع الاحتمالي F(X) لهذا المتغير العشوائي وقم بإنشائه.
حل. لو X 10 جنيهات إسترلينية إذن F(X)= ص(X<X) = 0;
إذا 10<X 20 جنيهًا إسترلينيًا إذن F(X)= ص(X<X) = 0,2 ;
إذا 20<X 30 جنيهًا إسترلينيًا إذن F(X)= ص(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;
إذا 30<X 40 جنيهًا إسترلينيًا إذن F(X)= ص(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;
إذا 40<X 50 جنيهًا إسترلينيًا إذن F(X)= ص(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;
لو X> 50 إذن F(X)= ص(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.
قانون التوزيع والخصائص
المتغيرات العشوائية
المتغيرات العشوائية وتصنيفها وطرق وصفها.
الكمية العشوائية هي الكمية التي، نتيجة للتجربة، يمكن أن تأخذ قيمة أو أخرى، ولكن أي منها غير معروف مسبقًا. بالنسبة للمتغير العشوائي، يمكنك فقط تحديد القيم، والتي سيتم أخذ إحداها بالتأكيد نتيجة للتجربة. وفيما يلي سنسمي هذه القيم بالقيم المحتملة للمتغير العشوائي. نظرًا لأن المتغير العشوائي يميز كميًا النتيجة العشوائية للتجربة، فيمكن اعتباره خاصية كمية لحدث عشوائي.
يُشار إلى المتغيرات العشوائية عادة بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية، على سبيل المثال، X..Y..Z، وقيمها المحتملة بالأحرف الصغيرة المقابلة.
هناك ثلاثة أنواع من المتغيرات العشوائية:
منفصلة؛ مستمر؛ مختلط.
منفصلةهو متغير عشوائي يشكل عدد قيمه المحتملة مجموعة قابلة للعد. وفي المقابل، فإن المجموعة التي يمكن ترقيم عناصرها تسمى قابلة للعد. كلمة "منفصلة" تأتي من الكلمة اللاتينية discretus، وتعني "متقطع، يتكون من أجزاء منفصلة".
مثال 1. المتغير العشوائي المنفصل هو عدد الأجزاء المعيبة X في مجموعة من المنتجات n. وبالفعل فإن القيم المحتملة لهذا المتغير العشوائي هي سلسلة من الأعداد الصحيحة من 0 إلى n.
مثال 2. المتغير العشوائي المنفصل هو عدد الطلقات قبل الضربة الأولى على الهدف. هنا، كما في المثال 1، يمكن ترقيم القيم المحتملة، على الرغم من أن القيمة المحتملة في الحالة المقيدة تكون عددًا كبيرًا بلا حدود.
مستمرهو متغير عشوائي تملأ قيمه المحتملة بشكل مستمر فترة معينة من المحور العددي، تسمى أحيانًا فترة وجود هذا المتغير العشوائي. وبالتالي، في أي فترة وجود محدودة، يكون عدد القيم المحتملة للمتغير العشوائي المستمر كبيرًا بشكل لا نهائي.
مثال 3. المتغير العشوائي المستمر هو الاستهلاك الشهري للمؤسسة من الكهرباء.
مثال 4. المتغير العشوائي المستمر هو الخطأ في قياس الارتفاع باستخدام مقياس الارتفاع. وليعلم من مبدأ تشغيل مقياس الارتفاع أن الخطأ يقع في المدى من 0 إلى 2 م، وبالتالي فإن فترة وجود هذا المتغير العشوائي هي الفترة من 0 إلى 2 م.
قانون توزيع المتغيرات العشوائية.
يعتبر المتغير العشوائي محددا تماما إذا تم تحديد قيمه المحتملة على المحور العددي وتم وضع قانون التوزيع.
قانون توزيع متغير عشوائي هي العلاقة التي تنشئ اتصالاً بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها.
يقال إن المتغير العشوائي يتم توزيعه وفقًا لقانون معين، أو يخضع لقانون توزيع معين. يتم استخدام عدد من الاحتمالات ووظيفة التوزيع وكثافة الاحتمالية والوظيفة المميزة كقوانين توزيع.
يعطي قانون التوزيع وصفًا محتملاً كاملاً للمتغير العشوائي. وفقًا لقانون التوزيع، يمكن للمرء أن يحكم قبل التجربة على القيم المحتملة للمتغير العشوائي التي ستظهر كثيرًا وأيها أقل.
بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل، يمكن تحديد قانون التوزيع في شكل جدول، تحليليا (في شكل صيغة) وبيانيا.
إن أبسط شكل لتحديد قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل هو الجدول (المصفوفة)، الذي يسرد بترتيب تصاعدي جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها، أي.
ويسمى هذا الجدول بسلسلة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل. 1
الأحداث X 1, X 2,..., X n، تتكون من حقيقة أنه نتيجة للاختبار، فإن المتغير العشوائي X سيأخذ القيم x 1، x 2،... x n، على التوالي، هي غير متناسقة والوحيدة الممكنة (نظرًا لأن الجدول يسرد جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي)، أي تشكيل مجموعة كاملة. ولذلك، فإن مجموع احتمالاتها يساوي 1. وبالتالي، لأي متغير عشوائي منفصل
(يتم توزيع هذه الوحدة بطريقة ما بين قيم المتغير العشوائي، ومن هنا جاء مصطلح "التوزيع").
يمكن تصوير سلسلة التوزيع بيانياً إذا تم رسم قيم المتغير العشوائي على طول محور الإحداثي، وتم رسم الاحتمالات المقابلة لها على طول المحور الإحداثي. يشكل اتصال النقاط التي تم الحصول عليها خطًا متقطعًا يسمى مضلع أو مضلع التوزيع الاحتمالي (الشكل 1).
مثاليشمل اليانصيب: سيارة بقيمة 5000 دن. وحدات، 4 أجهزة تلفزيون بتكلفة 250 دن. وحدات، 5 مسجلات فيديو بقيمة 200 دن. وحدات تم بيع إجمالي 1000 تذكرة لمدة 7 أيام. وحدات وضع قانون توزيع لصافي المكاسب التي يحصل عليها المشارك في اليانصيب الذي اشترى تذكرة واحدة.
حل. القيم المحتملة للمتغير العشوائي X - صافي المكاسب لكل تذكرة - تساوي 0-7 = -7 أموال. وحدات (إذا لم تفز التذكرة)، 200-7 = 193، 250-7 = 243، 5000-7 = 4993 دن. وحدات (إذا كانت التذكرة تحتوي على أرباح جهاز فيديو أو تلفزيون أو سيارة على التوالي). مع الأخذ في الاعتبار أنه من بين 1000 تذكرة، فإن عدد غير الفائزين هو 990، والمكاسب المشار إليها هي 5 و4 و1 على التوالي، وباستخدام التعريف الكلاسيكي للاحتمال، نحصل على ذلك.
الفصل 1. المتغير العشوائي المنفصل
§ 1. مفاهيم المتغير العشوائي.
قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل.
تعريف : العشوائية هي الكمية التي، نتيجة للاختبار، تأخذ قيمة واحدة فقط من مجموعة محتملة من قيمها، غير معروفة مسبقًا وتعتمد على أسباب عشوائية.
هناك نوعان من المتغيرات العشوائية: منفصلة ومستمرة.
تعريف : يسمى المتغير العشوائي X منفصلة (متقطعة) إذا كانت مجموعة قيمها منتهية أو لا نهائية ولكنها قابلة للعد.
بمعنى آخر، يمكن إعادة ترقيم القيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل.
يمكن وصف المتغير العشوائي باستخدام قانون التوزيع الخاص به.
تعريف : قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل استدعاء المراسلات بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي واحتمالاتها.
يمكن تحديد قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل X على شكل جدول، يُشار في الصف الأول منه إلى جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي بترتيب تصاعدي، وفي الصف الثاني الاحتمالات المقابلة لهذه القيم، أي
حيث Р1+ Р2+…+ Рn=1
ويسمى هذا الجدول بسلسلة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل.
إذا كانت مجموعة القيم الممكنة لمتغير عشوائي لا نهائية، فإن المتسلسلة p1+ p2+…+ pn+… تتقارب ومجموعها يساوي 1.
يمكن تصوير قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل X بيانياً، حيث يتم إنشاء خط متقطع في نظام إحداثيات مستطيل، يربط النقاط بالتتابع مع الإحداثيات (xi; pi), i=1,2,…n. يسمى الخط الناتج مضلع التوزيع (رسم بياني 1).
الكيمياء العضوية" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">الكيمياء العضوية هي 0.7 و 0.8 على التوالي. ضع قانون توزيع للمتغير العشوائي X - عدد الاختبارات التي سيجتازها الطالب.
حل. المتغير العشوائي المعتبر X نتيجة الامتحان يمكن أن يأخذ إحدى القيم التالية: x1=0، x2=1، x3=2.
دعونا نجد احتمال هذه القيم، ونشير إلى الأحداث:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width = "259" height = "66 src = ">
 |
وبالتالي فإن قانون توزيع المتغير العشوائي X موضح بالجدول:
التحكم: 0.6+0.38+0.56=1.
§ 2. وظيفة التوزيع
يتم أيضًا تقديم وصف كامل للمتغير العشوائي بواسطة دالة التوزيع.
تعريف: دالة التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل X تسمى دالة F(x)، والتي تحدد لكل قيمة x احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X قيمة أقل من x:
و(س)=ف(X<х)
هندسيًا، يتم تفسير دالة التوزيع على أنها احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X القيمة الممثلة على خط الأعداد بنقطة تقع على يسار النقطة x.
1)0 ≥ F(x) ≥1؛
2) F(x) هي دالة غير تناقصية في (-∞;+∞);
3) F(x) - مستمر على اليسار عند النقاط x= xi (i=1,2,...n) ومستمر في جميع النقاط الأخرى؛
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
إذا تم إعطاء قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل X في شكل جدول:
ثم يتم تحديد دالة التوزيع F(x) بالصيغة:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 لـ x ≥ x1،
Р1 عند x1< х≤ x2,
F(x)= π1 + σ2 عند x2< х≤ х3
1 لـ x> xn.
يظهر الرسم البياني في الشكل 2:
§ 3. الخصائص العددية للمتغير العشوائي المنفصل.
إحدى الخصائص العددية المهمة هي التوقع الرياضي.
تعريف: التوقع الرياضي M(X) المتغير العشوائي المنفصل X هو مجموع منتجات جميع قيمه والاحتمالات المقابلة لها:
م (س) = ∑ xiχi= x1ɪ1 + x2ω+…+ xnω
يعمل التوقع الرياضي كخاصية لمتوسط قيمة المتغير العشوائي.
خصائص التوقع الرياضي:
1)M(C)=C، حيث C هي قيمة ثابتة؛
2) م (ج X) = ج م (س)،
3) م(X±Y)=م(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y)، حيث X، Y متغيرات عشوائية مستقلة؛
5)M(X±C)=M(X)±C، حيث C هي قيمة ثابتة؛
لتوصيف درجة تشتت القيم المحتملة لمتغير عشوائي منفصل حول قيمته المتوسطة، يتم استخدام التشتت.
تعريف: التباين د ( X ) المتغير العشوائي X هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي:
خصائص التشتت:
1)D(C)=0، حيث C هي قيمة ثابتة؛
2)D(X)>0، حيث X متغير عشوائي؛
3)D(C X)=C2 D(X)، حيث C قيمة ثابتة؛
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)، حيث X، Y متغيرات عشوائية مستقلة؛
لحساب التباين غالبًا ما يكون من المناسب استخدام الصيغة:
د(X)=م(X2)-(M(X))2,
حيث M(X)=∑xi2χi= x12r1 + x22r2+…+ xn2χn
يحتوي التباين D(X) على بُعد متغير عشوائي مربع، وهو ليس مناسبًا دائمًا. ولذلك، يتم استخدام القيمة √D(X) أيضًا كمؤشر على تشتت القيم المحتملة للمتغير العشوائي.
تعريف: الانحراف المعياري σ(X) يسمى المتغير العشوائي X بالجذر التربيعي للتباين:
المهمة رقم 2.يتم تحديد المتغير العشوائي المنفصل X بواسطة قانون التوزيع:
ابحث عن P2، دالة التوزيع F(x) وارسم الرسم البياني الخاص بها، وكذلك M(X)، D(X)، σ(X).
حل: وبما أن مجموع احتمالات القيم الممكنة للمتغير العشوائي X يساوي 1، إذن
Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1
لنجد دالة التوزيع F(x)=P(X). هندسيًا، يمكن تفسير هذه المساواة على النحو التالي: F(x) هو احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي القيمة الممثلة على محور الرقم بالنقطة الواقعة على يسار النقطة x. إذا كانت x≥-1، فإن F(x)=0، نظرًا لعدم وجود قيمة واحدة لهذا المتغير العشوائي في (-∞;x); إذا -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; إذا 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) هناك قيمتان x1=-1 وx2=0; إذا 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; إذا 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; إذا كانت x>3، فإن F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1، لأن أربع قيم x1=-1، x2=0، x3=1، x4=2 تقع في الفاصل الزمني (-∞;x) وx5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width = "14 height=2" height = "2"> 0 عند x≥-1، 0.1 عند -1<х≤0, 0.2 في 0<х≤1, F(x)= 0.5 عند 1<х≤2, 0.7 في 2<х≤3, 1 في س>3 لنمثل الدالة F(x) بيانياً (الشكل 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. قانون التوزيع ذي الحدين المتغير العشوائي المنفصل، قانون بواسون. تعريف: ذو الحدين
يسمى قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل X - عدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المتكررة المستقلة، في كل منها قد يحدث الحدث A مع احتمال p أو لا يحدث مع احتمال q = 1-p. ثم P(X=m) - يتم حساب احتمال وقوع الحدث A بالضبط m مرات في n من التجارب باستخدام صيغة برنولي: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m تم العثور على التوقع الرياضي والتشتت والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X الموزع وفقًا للقانون الثنائي، على التوالي، باستخدام الصيغ: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> احتمال الحدث أ - "طرح خمسة" في كل تجربة هو نفسه ويساوي 1/6 ، أي P(A)=p=1/6، ثم P(A)=1-p=q=5/6، حيث - "الفشل في الحصول على A." يمكن للمتغير العشوائي X أن يأخذ القيم التالية: 0;1;2;3. نجد احتمال كل من القيم المحتملة لـ X باستخدام صيغة برنولي: Р(Х=0)=Р3(0)=С03r0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13r1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23r2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33r3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. الذي - التي. قانون توزيع المتغير العشوائي X له الشكل: التحكم: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. لنجد الخصائص العددية للمتغير العشوائي X: م(س)=np=3 (1/6)=1/2, د(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12، المهمة رقم 4.آلة أوتوماتيكية لختم الأجزاء. احتمال أن يكون الجزء المصنع معيبًا هو 0.002. أوجد احتمال وجود ما يلي من بين 1000 جزء محدد: أ) 5 معيبة؛ ب) واحد على الأقل معيب. حل:
الرقم n=1000 كبير، واحتمال إنتاج جزء معيب p=0.002 صغير، والأحداث قيد النظر (الجزء الذي يتبين أنه معيب) مستقلة، وبالتالي فإن صيغة بواسون تحمل: رن(م)= ه-
λ
μm لنجد π=np=1000 0.002=2. أ) أوجد احتمال وجود 5 أجزاء معيبة (م=5): Р1000(5)= ه-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 ب) أوجد احتمال وجود جزء معيب واحد على الأقل. الحدث أ - "واحد على الأقل من الأجزاء المحددة معيب" هو عكس الحدث - "جميع الأجزاء المحددة ليست معيبة." لذلك، P(A) = 1-P(). وبالتالي فإن الاحتمال المطلوب يساوي: P(A)=1-P1000(0)=1- ه-2
20
= 1- ه-2=1-0.13534≈0.865. مهام العمل المستقل.
1.1
1.2.
المتغير العشوائي المشتت X يحدده قانون التوزيع: ابحث عن p4، دالة التوزيع F(X) وارسم الرسم البياني الخاص بها، وكذلك M(X)، D(X)، σ(X). 1.3.
هناك 9 علامات في الصندوق، 2 منها لم تعد تكتب. خذ 3 علامات بشكل عشوائي. المتغير العشوائي X هو عدد علامات الكتابة من بين تلك التي تم التقاطها. صياغة قانون توزيع المتغير العشوائي. 1.4.
هناك 6 كتب دراسية مرتبة بشكل عشوائي على رف المكتبة، 4 منها مجلدة. يأخذ أمين المكتبة 4 كتب مدرسية بشكل عشوائي. المتغير العشوائي X هو عدد الكتب المدرسية المجلدة من بين تلك التي تم أخذها. صياغة قانون توزيع المتغير العشوائي. 1.5.
هناك مهمتان على التذكرة. احتمال حل المشكلة الأولى بشكل صحيح هو 0.9، والثاني هو 0.7. المتغير العشوائي X هو عدد المسائل التي تم حلها بشكل صحيح في التذكرة. قم بإعداد قانون التوزيع، وحساب التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي، وكذلك العثور على دالة التوزيع F(x) وبناء الرسم البياني الخاص بها. 1.6.
ثلاثة رماة يطلقون النار على الهدف. احتمال إصابة الهدف بطلقة واحدة هو 0.5 للرامي الأول، و0.8 للثاني، و0.7 للثالث. المتغير العشوائي X هو عدد الضربات على الهدف إذا أطلق الرماة طلقة واحدة في كل مرة. أوجد قانون التوزيع M(X),D(X). 1.7.
يرمي لاعب كرة سلة الكرة في السلة مع احتمال إصابة كل رمية بمقدار 0.8. لكل ضربة يحصل على 10 نقاط، وإذا أخطأ لا يتم منحه أي نقاط. ضع قانون التوزيع للمتغير العشوائي X – عدد النقاط التي حصل عليها لاعب كرة السلة في 3 رميات. أوجد M(X)،D(X)، بالإضافة إلى احتمال حصوله على أكثر من 10 نقاط. 1.8.
تتم كتابة الحروف على البطاقات، بإجمالي 5 حروف متحركة و3 حروف ساكنة. يتم اختيار 3 بطاقات بشكل عشوائي، وفي كل مرة يتم إرجاع البطاقة المأخوذة. المتغير العشوائي X هو عدد حروف العلة بين تلك التي تم التقاطها. اكتب قانون التوزيع وأوجد M(X),D(X),σ(X). 1.9.
في المتوسط، في أقل من 60٪ من العقود، تدفع شركة التأمين مبالغ التأمين فيما يتعلق بحدوث حدث مؤمن عليه. وضع قانون توزيع للمتغير العشوائي X – عدد العقود التي دفع عنها مبلغ التأمين من بين أربعة عقود تم اختيارها عشوائياً. أوجد الخصائص العددية لهذه الكمية. 1.10.
ترسل محطة الراديو إشارات نداء (لا تزيد عن أربعة) على فترات زمنية معينة حتى يتم إنشاء اتصال ثنائي الاتجاه. احتمال تلقي الرد على إشارة النداء هو 0.3. المتغير العشوائي X هو عدد إشارات النداء المرسلة. قم بإعداد قانون التوزيع وابحث عن F(x). 1.11.
هناك 3 مفاتيح، واحد منها فقط يناسب القفل. وضع قانون لتوزيع المتغير العشوائي X-عدد محاولات فتح القفل إذا لم يشارك المفتاح الذي تم تجربته في المحاولات اللاحقة. أوجد M(X)،D(X). 1.12.
يتم إجراء اختبارات مستقلة متتالية لثلاثة أجهزة للتأكد من موثوقيتها. يتم اختبار كل جهاز لاحق فقط إذا تبين أن الجهاز السابق موثوق به. احتمال اجتياز الاختبار لكل جهاز هو 0.9. وضع قانون توزيع للمتغير العشوائي X للأجهزة التي تم اختبارها. 1.13
المتغير العشوائي المنفصل X له ثلاث قيم محتملة: x1=1، x2، x3، وx1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
تحتوي كتلة الجهاز الإلكتروني على 100 عنصر متطابق. احتمال فشل كل عنصر خلال الزمن T هو 0.002. العناصر تعمل بشكل مستقل. أوجد احتمال عدم فشل أكثر من عنصرين خلال الزمن T. 1.15.
تم نشر الكتاب المدرسي بتوزيع 50000 نسخة. احتمال ربط الكتاب المدرسي بشكل غير صحيح هو 0.0002. أوجد احتمال أن يحتوي التداول على: أ) أربعة كتب معيبة، ب) أقل من كتابين معيبين. 1
.16.
يتم توزيع عدد المكالمات التي تصل إلى PBX كل دقيقة وفقًا لقانون بواسون مع المعلمة 1.5=1. أوجد احتمال وصول ما يلي خلال دقيقة: أ) مكالمتين؛ ب) مكالمة واحدة على الأقل. 1.17.
أوجد M(Z)،D(Z) إذا كانت Z=3X+Y. 1.18.
يتم إعطاء قوانين توزيع متغيرين عشوائيين مستقلين: أوجد M(Z)،D(Z) إذا كانت Z=X+2Y. الإجابات:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
ص3=0.4; 0 عند x≥-2, 0.3 عند -2<х≤0, F(x)= 0.5 عند 0<х≤2, 0.9 في 2<х≤5, 1 في س>5 0.3 عند -1<х≤0, 0.4 في 0<х≤1, F(x)= 0.6 عند 1<х≤2, 0.7 في 2<х≤3, 1 في س>3 م(س)=1; د(س)=2.6; σ(X) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 عند x≥0، 0.03 عند 0<х≤1, F(x)= 0.37 عند 1<х≤2, 1 لـ x>2 م(س)=2; د(س)=0.62 م(س)=2.4; د(X)=0.48، P(X>10)=0.896 1.
8
.
م(س)=15/8; د(س)=45/64; σ(X) ≈ م(س)=2.4; د(س)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
م(س)=2; د(س)=2/3 1.14.
1.22 ه-0.2≈0.999 1.15.
أ) 0.0189؛ ب) 0.00049 1.16.
أ) 0.0702؛ ب) 0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. الفصل 2. متغير عشوائي مستمر
تعريف: مستمر
هي الكمية التي تملأ جميع قيمها الممكنة نطاقًا محدودًا أو لا نهائيًا من خط الأعداد. من الواضح أن عدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر لا نهائي. يمكن تحديد متغير عشوائي مستمر باستخدام دالة التوزيع. تعريف: F وظيفة التوزيع
يسمى المتغير العشوائي المستمر X دالة F(x)، والتي تحدد لكل قيمة xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> ر تسمى دالة التوزيع أحيانًا بوظيفة التوزيع التراكمي. خصائص وظيفة التوزيع:
1)1≥ F(x) ≥1 2) بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، تكون دالة التوزيع مستمرة عند أي نقطة وقابلة للاشتقاق في كل مكان، باستثناء ربما عند نقاط فردية. 3) احتمال وقوع المتغير العشوائي X في إحدى الفترات (a;b)، [a;b]، [a;b]، يساوي الفرق بين قيم الدالة F(x) عند النقطتين أ و ب، أي. ص (أ)<Х 4) احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر X قيمة واحدة منفصلة هو 0. 5) F(-∞)=0، F(+∞)=1 إن تحديد متغير عشوائي مستمر باستخدام دالة التوزيع ليس هو الطريقة الوحيدة. دعونا نقدم مفهوم كثافة التوزيع الاحتمالي (كثافة التوزيع). تعريف
:
كثافة التوزيع الاحتمالية
F
(
س
)
للمتغير العشوائي المستمر X هو مشتق دالة التوزيع الخاصة به، أي: تسمى دالة الكثافة الاحتمالية أحيانًا بوظيفة التوزيع التفاضلي أو قانون التوزيع التفاضلي. يسمى الرسم البياني لتوزيع الكثافة الاحتمالية f(x). منحنى التوزيع الاحتمالي
.
خصائص توزيع الكثافة الاحتمالية:
1) f(x) ≥0، على xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8ث; ب) من المعروف أن F(x)= ∫ f(x)dx ولذلك، العاشر إذا كان x≥2، فإن F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 إذا كان x>6، فإن F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. هكذا، 0 عند x ≥2، F(x)= (x-2)2/16 عند 2<х≤6, 1 لـ x>6. يظهر الرسم البياني للوظيفة F(x) في الشكل 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width = "14" height = "62 src = "> 0 عند x ≥0، F(x)= (3 القطب الشمالي x)/π عند 0<х≤√3, 1 لـ x>√3. أوجد دالة التوزيع التفاضلي f(x) حل:
بما أن f(x)= F’(x)، إذن DIV_ADBLOCK93"> · التوقع الرياضي م (X)
يتم تحديد المتغير العشوائي المستمر X بالمساواة: M(X)= ∫ x f(x)dx, بشرط أن يتقارب هذا التكامل بشكل مطلق. · تشتت
د
(
X
)
يتم تحديد المتغير العشوائي المستمر X بالمساواة: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx، أو D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · الانحراف المعياري σ(X)
يتم تحديد المتغير العشوائي المستمر بالمساواة: جميع خصائص التوقع الرياضي والتشتت، التي تمت مناقشتها سابقًا للمتغيرات العشوائية المتفرقة، صالحة أيضًا للمتغيرات المستمرة. المهمة رقم 3.يتم تحديد المتغير العشوائي X بواسطة الدالة التفاضلية f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18، https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> ف(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. مشاكل للحل المستقل.
2.1.
يتم تحديد المتغير العشوائي المستمر X بواسطة دالة التوزيع: 0 عند x<0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width = "14" height = "86"> 0 لـ x ≥ π/6، F(x)= - cos 3x عند π/6<х≤ π/3, 1 لـ x> π/3. أوجد دالة التوزيع التفاضلي f(x) وأيضًا Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 عند x ≥2، و(س)= ج س عند 2<х≤4, 0 لـ x>4. 2.4.
يتم تحديد المتغير العشوائي المستمر X بواسطة كثافة التوزيع: 0 عند x<0, f(x)= c √x عند 0<х≤1, 0 لـ x>1. ابحث عن: أ) الرقم ج؛ ب) م (X)، د (X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> في x، 0 في س. أوجد: أ) F(x) وقم ببناء الرسم البياني الخاص بها؛ ب) M(X)،D(X)، σ(X)؛ ج) احتمال أن تأخذ قيمة X في أربع تجارب مستقلة ضعف القيمة التي تنتمي إلى الفاصل الزمني (1؛4). 2.6.
يتم إعطاء كثافة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر X: و(س)= 2(س-2) في س، 0 في س. أوجد: أ) F(x) وقم ببناء الرسم البياني الخاص بها؛ ب) M(X)،D(X)، σ (X)؛ ج) احتمال أن قيمة X في ثلاث تجارب مستقلة سوف تأخذ بالضبط ضعف القيمة التي تنتمي إلى القطعة. 2.7.
يتم إعطاء الدالة f(x) على النحو التالي: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width = "43" height = "38 src = ">.jpg" width = "16" height = "15">[-√ 3/2؛ √3/2]. 2.8.
يتم إعطاء الدالة f(x) على النحو التالي: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width = "45" height = "36 src = "> .jpg" width = "16" height = "15">[- π /4 ؛ π /4]. أوجد: أ) قيمة الثابت c الذي عنده ستكون الدالة هي الكثافة الاحتمالية لبعض المتغيرات العشوائية X؛ ب) دالة التوزيع F(x). 2.9.
يتم تحديد المتغير العشوائي X، المركز على الفترة (3;7)، بواسطة دالة التوزيع F(x)= . أوجد احتمال ذلك المتغير العشوائي X سوف يأخذ القيمة: أ) أقل من 5، ب) لا يقل عن 7. 2.10.
المتغير العشوائي X، يتركز على المجال (-1;4)، يتم إعطاؤه بواسطة دالة التوزيع F(x)= . أوجد احتمال ذلك المتغير العشوائي X سوف يأخذ القيمة: أ) أقل من 2، ب) لا يقل عن 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width = "43" height = "44 src = "> .jpg" width = "16" height = "15">. ابحث عن: أ) الرقم ج؛ ب) م (س)؛ ج) الاحتمال P(X> M(X)). 2.12.
يتم تحديد المتغير العشوائي بواسطة دالة التوزيع التفاضلي: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" العرض = "60" الارتفاع = "38 src = ">.jpg" العرض = "16 الارتفاع = 15" الارتفاع = "15"> . البحث عن: أ) M(X)؛ ب) الاحتمال P(X≥M(X)) 2.13.
يتم إعطاء توزيع Rem بواسطة كثافة الاحتمال: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> لـ x ≥0. أثبت أن f(x) هي في الواقع دالة كثافة الاحتمال. 2.14.
يتم إعطاء كثافة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر X: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(الشكل 5) 2.16.
يتم توزيع المتغير العشوائي X حسب قانون "المثلث القائم الزاوية" في الفترة (0;4) (الشكل 5). أوجد التعبير التحليلي للكثافة الاحتمالية f(x) على خط الأعداد بأكمله. الإجابات
0 عند x<0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width = "14" height = "86"> 0 لـ x ≥ π/6، F(x)= 3sin 3x عند π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 لـ x و (خ) = ل<х 0 لـ x≥b. يظهر الرسم البياني للوظيفة f(x) في الشكل. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. المهمة رقم 1.يتم توزيع المتغير العشوائي X بشكل موحد على القطعة. يجد: أ) كثافة التوزيع الاحتمالي f(x) ورسمها؛ ب) دالة التوزيع F(x) ورسمها؛ ج) M(X)،D(X)، σ(X). حل:
باستخدام الصيغ التي تمت مناقشتها أعلاه، مع a=3، b=7، نجد: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width = "22" height = "39"> عند 3 ≥ ≥7، 0 لـ x>7 دعونا نبني الرسم البياني الخاص به (الشكل 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width = "14" height = "86 src = "> 0 عند x ≥3، F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width = "203" height = "119 src = "> الشكل 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 عند x<0, f(x)= -لـ x≥0. يتم إعطاء دالة توزيع المتغير العشوائي X، الموزعة وفقًا للقانون الأسي، بالصيغة: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> الشكل 6 التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري للتوزيع الأسي يساوي على التوالي: M(X)=، D(X)=، σ (Х)= وبالتالي فإن التوقع الرياضي والانحراف المعياري للتوزيع الأسي متساويان. يتم حساب احتمال سقوط X في الفترة (a;b) بالصيغة: ف (أ<Х المهمة رقم 2.متوسط زمن التشغيل الخالي من الأعطال للجهاز هو 100 ساعة، بافتراض أن زمن التشغيل الخالي من الأعطال للجهاز له قانون توزيع أسي، أوجد: أ) كثافة التوزيع الاحتمالي؛ ب) وظيفة التوزيع. ج) احتمال أن يتجاوز وقت التشغيل الخالي من الأعطال للجهاز 120 ساعة. حل:
وفقًا للشرط، التوزيع الرياضي M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 عند x<0, أ) f(x)= 0.01e -0.01x لـ x≥0. ب) F(x)= 0 عند x<0, 1-e -0.01x عند x≥0. ج) نجد الاحتمال المطلوب باستخدام دالة التوزيع: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- ه -1.2)= ه -1.2≈0.3. §
3. قانون التوزيع الطبيعي تعريف:
المتغير العشوائي المستمر X له قانون التوزيع الطبيعي (قانون غاوس)،
إذا كانت كثافة التوزيع لها الشكل: حيث m=M(X)، σ2=D(X)، σ>0. يسمى منحنى التوزيع الطبيعي منحنى عادي أو غاوسي
(الشكل 7) يتم التعبير عن دالة توزيع المتغير العشوائي X، الموزعة وفق القانون الطبيعي، من خلال دالة لابلاس Ф (x) حسب الصيغة: أين هي وظيفة لابلاس. تعليق:
الدالة Ф(x) فردية (Ф(-kh)=-Ф(kh))، بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لـ x>5 يمكننا افتراض Ф(kh) ≈1/2. يظهر الرسم البياني لوظيفة التوزيع F(x) في الشكل. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> يتم حساب احتمال أن تكون القيمة المطلقة للانحراف أقل من الرقم الموجب δ بواسطة الصيغة: على وجه الخصوص، بالنسبة لـ m=0 فإن المساواة التالية تنطبق: "قاعدة ثلاثة سيجما"
إذا كان للمتغير العشوائي X قانون توزيع طبيعي بمعلمات m وσ، فمن المؤكد تقريبًا أن قيمته تقع في الفترة (a-3σ; a+3σ)، لأن https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width = "157" height = "57 src = "> أ) ب) لنستخدم الصيغة: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> من جدول قيم الدالة Ф(kh) نجد Ф(1.5)=0.4332، Ф(1)=0.3413. إذن الاحتمال المطلوب: ف(28 مهام العمل المستقل
3.1.
يتم توزيع المتغير العشوائي X بشكل موحد في الفترة (-3;5). يجد: ب) دالة التوزيع F(x); ج) الخصائص العددية. د) الاحتمال P(4<х<6). 3.2.
يتم توزيع المتغير العشوائي X بشكل موحد على القطعة. يجد: أ) كثافة التوزيع f(x); ب) دالة التوزيع F(x); ج) الخصائص العددية. د) الاحتمالية P(3Ω≥6). 3.3.
توجد إشارة مرور أوتوماتيكية على الطريق السريع، حيث يضيء الضوء الأخضر لمدة دقيقتين، والأصفر لمدة 3 ثوانٍ، والأحمر لمدة 30 ثانية، وما إلى ذلك. تسير سيارة على طول الطريق السريع في لحظة زمنية عشوائية. أوجد احتمال اجتياز سيارة إشارة المرور دون توقف. 3.4.
تعمل قطارات مترو الأنفاق بانتظام على فترات مدتها دقيقتين. يدخل أحد الركاب إلى المنصة في وقت عشوائي. ما احتمال أن ينتظر الراكب أكثر من 50 ثانية للوصول إلى القطار؟ أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X – زمن انتظار القطار. 3.5.
أوجد التباين والانحراف المعياري للتوزيع الأسي المعطاة بواسطة دالة التوزيع: F(x)= 0 عند x<0, 1st-8x لـ x≥0. 3.6.
يتم تحديد المتغير العشوائي المستمر X بواسطة كثافة التوزيع الاحتمالي: f(x)= 0 عند x<0, 0.7 e-0.7x عند x≥0. أ) قم بتسمية قانون التوزيع للمتغير العشوائي قيد النظر. ب) أوجد دالة التوزيع F(X) والخصائص العددية للمتغير العشوائي X. 3.7.
يتم توزيع المتغير العشوائي X حسب القانون الأسي المحدد بكثافة التوزيع الاحتمالي: f(x)= 0 عند x<0, 0.4 e-0.4 x عند x≥0. أوجد احتمال أنه نتيجة للاختبار X سوف يأخذ قيمة من الفاصل الزمني (2.5;5). 3.8.
يتم توزيع المتغير العشوائي المستمر X وفقًا للقانون الأسي المحدد بواسطة دالة التوزيع: F(x)= 0 عند x<0, الأول -0.6x عند x≥0 أوجد احتمال أن تأخذ X، نتيجة للاختبار، قيمة من القطعة. 3.9.
القيمة المتوقعة والانحراف المعياري لمتغير عشوائي موزع بشكل طبيعي هما 8 و 2 على التوالي. أ) كثافة التوزيع f(x); ب) احتمال أنه نتيجة للاختبار X سوف يأخذ قيمة من الفاصل الزمني (10؛14). 3.10.
يتم توزيع المتغير العشوائي X عادة بتوقع رياضي قدره 3.5 وتباين قدره 0.04. يجد: أ) كثافة التوزيع f(x); ب) احتمال أنه نتيجة للاختبار X سوف يأخذ قيمة من المقطع . 3.11.
يتم توزيع المتغير العشوائي X عادة مع M(X)=0 و D(X)=1. أي من الأحداث: |X|≥0.6 أو |X|≥0.6 هو الأكثر احتمالاً؟ 3.12.
يتم توزيع المتغير العشوائي X بشكل طبيعي مع M(X)=0 وD(X)=1. من أي فترة (-0.5;-0.1) أو (1;2) من المرجح أن يأخذ قيمة أثناء اختبار واحد؟ 3.13.
يمكن نمذجة السعر الحالي للسهم باستخدام قانون التوزيع الطبيعي مع M(X)=10 den. وحدات و σ (X) = 0.3 دن. وحدات يجد: أ) احتمال أن يكون سعر السهم الحالي من 9.8 دن. وحدات ما يصل إلى 10.4 أيام وحدات؛ ب) باستخدام "قاعدة ثلاثة سيجما"، ابحث عن الحدود التي يقع ضمنها سعر السهم الحالي. 3.14.
يتم وزن المادة دون أخطاء منهجية. تخضع أخطاء الوزن العشوائية للقانون العادي مع متوسط نسبة المربع σ=5g. أوجد احتمال عدم حدوث خطأ في ثلاث عمليات وزن في أربع تجارب مستقلة في القيمة المطلقة 3r. 3.15.
يتم توزيع المتغير العشوائي X عادة بـ M(X)=12.6. احتمال وقوع متغير عشوائي في الفترة (11.4؛13.8) هو 0.6826. أوجد الانحراف المعياري σ. 3.16.
يتم توزيع المتغير العشوائي X بشكل طبيعي بحيث يكون M(X)=12 وD(X)=36. أوجد الفترة التي يقع فيها المتغير العشوائي X نتيجة للاختبار باحتمال 0.9973. 3.17.
يعتبر الجزء الذي يتم تصنيعه بواسطة آلة أوتوماتيكية معيبًا إذا كان الانحراف X للمعلمة الخاضعة للتحكم عن القيمة الاسمية يتجاوز وحدات القياس 2. من المفترض أن المتغير العشوائي X يتم توزيعه عادة مع M(X)=0 و σ(X)=0.7. ما هي نسبة الأجزاء المعيبة التي تنتجها الآلة؟ 3.18.
يتم توزيع المعلمة X للجزء بشكل طبيعي مع توقع رياضي قدره 2 يساوي القيمة الاسمية وانحراف معياري قدره 0.014. أوجد احتمال ألا يتجاوز انحراف X عن القيمة الاسمية 1٪ من القيمة الاسمية. الإجابات
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width = "14" height = "110 src = "> ب) 0 لـ x≥-3، F(x)= يسار"> 3.10.
أ)و(س)= , ب) Р(3.1≥Х≥3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
أ) P (9.8 Υ ≥10.4) ≈0.6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. X; معنى F(5)؛ احتمال المتغير العشوائي Xسوف تأخذ القيم من المقطع . بناء مضلع التوزيع. ضبط قانون توزيع المتغير العشوائي Xعلى شكل جدول. أوجد دالة التوزيع لمتغير عشوائي X. بناء الرسوم البيانية للوظائف و. حساب التوقع الرياضي والتباين والمنوال والوسيط للمتغير العشوائي X. العينة أ: 6 9 7 6 4 4 العينة ب: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 الخيار 17. احسب توقعها الرياضي وتباينها. أوجد دالة التوزيع لمتغير عشوائي X. بناء الرسوم البيانية للوظائف و. احسب التوقع الرياضي والتباين والمنوال والوسيط للمتغير العشوائي X. · متوسط العينة. · تباين العينة. الوضع والوسيط. العينة أ: 0 0 2 2 1 4 · متوسط العينة. · تباين العينة. انحراف العينة المعياري؛ · الوضع والوسيط. العينة ب: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 الخيار 18. احسب توقعها الرياضي وتباينها. أوجد دالة التوزيع للمتغير العشوائي X. ارسم رسومًا بيانية للدوال و. حساب التوقع الرياضي والتباين والمنوال والوسيط للمتغير العشوائي X. · متوسط العينة. · تباين العينة. انحراف العينة المعياري؛ · الوضع والوسيط. العينة أ: 4 7 6 3 3 4 · متوسط العينة. · تباين العينة. انحراف العينة المعياري؛ · الوضع والوسيط. العينة ب: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 الخيار 19. 1. يعمل في الموقع 16 امرأة و5 رجال. تم اختيار 3 أشخاص عشوائيًا باستخدام أرقامهم الشخصية. أوجد احتمال أن يكون جميع الأشخاص المختارين رجالًا. 2. تم رمي أربع عملات معدنية. أوجد احتمال أن تحتوي عملتان فقط على "شعار النبالة". 3. كلمة "علم النفس" مكونة من بطاقات، كل منها مكتوب عليها حرف واحد. يتم خلط البطاقات وإخراجها واحدة تلو الأخرى دون إعادتها. أوجد احتمال أن تكون الحروف المستخرجة كلمة: أ) علم النفس؛ ب) الموظفون. 4. تحتوي الجرة على 6 كرات سوداء و 7 كرات بيضاء. تم سحب 5 كرات بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن يكون من بينها: أ. 3 كرات بيضاء ب. أقل من 3 كرات بيضاء؛ ج. كرة بيضاء واحدة على الأقل. 5. احتمال وقوع حدث ما أفي تجربة واحدة يساوي 0.5. أوجد احتمالات الأحداث التالية: أ. حدث أيظهر 3 مرات في سلسلة من 5 تجارب مستقلة؛ ب. حدث أسيظهر 30 مرة على الأقل وليس أكثر من 40 مرة في سلسلة من 50 تجربة. 6. هناك 100 آلة بنفس الطاقة، تعمل بشكل مستقل عن بعضها البعض في نفس الوضع، حيث يتم تشغيل محركها لمدة 0.8 ساعة عمل. ما هو احتمال تشغيل ما بين 70 إلى 86 جهازًا في أي لحظة زمنية؟ 7. الجرة الأولى تحتوي على 4 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء، و الجرة الثانية تحتوي على 8 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء. يتم سحب 4 كرات بشكل عشوائي من الجرة الأولى، وكرة واحدة من الجرة الثانية. أوجد احتمال وجود 4 كرات سوداء فقط بين الكرات المسحوبة. 8. يستقبل معرض بيع السيارات سيارات من ثلاث علامات تجارية بكميات كبيرة يوميًا: "موسكفيتش" - 40٪؛ "أوكا" - 20%؛ "الفولجا" - 40% من إجمالي السيارات المستوردة. من بين سيارات موسكفيتش، 0.5٪ لديها جهاز مضاد للسرقة، أوكا - 0.01٪، فولغا - 0.1٪. أوجد احتمال أن تكون السيارة التي تم فحصها بها جهاز مضاد للسرقة. 9. يتم اختيار الأرقام عشوائيا على القطعة. أوجد احتمال أن تحقق هذه الأعداد المتباينات. 10. يتم إعطاء قانون توزيع المتغير العشوائي X: أوجد دالة التوزيع لمتغير عشوائي X; معنى F(2)؛ احتمال المتغير العشوائي Xسوف تأخذ القيم من الفاصل الزمني. بناء مضلع التوزيع. في تطبيقات نظرية الاحتمالات، تعتبر الخصائص الكمية للتجربة ذات أهمية أساسية. الكمية التي يمكن تحديدها كمياً والتي يمكن أن تأخذ، نتيجة للتجربة، قيماً مختلفة حسب الحالة تسمى متغير عشوائي. أمثلة على المتغيرات العشوائية: 1. عدد المرات التي يظهر فيها عدد زوجي من النقاط في عشر رميات نرد. 2. عدد الضربات على الهدف من قبل مطلق النار الذي يطلق سلسلة من الطلقات. 3. عدد شظايا القذيفة المنفجرة. في كل من الأمثلة المقدمة، يمكن للمتغير العشوائي أن يأخذ فقط قيمًا معزولة، أي القيم التي يمكن ترقيمها باستخدام سلسلة طبيعية من الأرقام. يسمى هذا المتغير العشوائي الذي تكون قيمه المحتملة أرقامًا فردية معزولة، والتي يأخذها هذا المتغير باحتمالات معينة، منفصلة. يمكن أن يكون عدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي المنفصل محدودًا أو لا نهائيًا (قابل للعد). قانون التوزيعالمتغير العشوائي المنفصل عبارة عن قائمة بقيمه المحتملة والاحتمالات المقابلة لها. يمكن تحديد قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل على شكل جدول (سلسلة التوزيع الاحتمالي)، تحليلياً وبيانياً (مضلع التوزيع الاحتمالي). عند إجراء التجربة، يصبح من الضروري تقييم القيمة قيد الدراسة "في المتوسط". يتم لعب دور القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي بواسطة خاصية عددية تسمى توقع رياضي,الذي تحدده الصيغة أين س 1 ، س 2
,.. , س ن- قيم متغيرة عشوائية X، أ ص 1 ,ص 2 ,
... , ص ن- احتمالات هذه القيم (لاحظ ذلك ص 1
+
ص 2
+…+
ص ن =
1). مثال. يتم إطلاق النار على الهدف (الشكل 11). الضربة في I تعطي ثلاث نقاط، في II – نقطتان، في III – نقطة واحدة. عدد النقاط التي تم تسجيلها في طلقة واحدة من قبل أحد الرماة له قانون توزيع بالشكل لمقارنة مهارة الرماة، يكفي مقارنة متوسط قيم النقاط المسجلة، أي. التوقعات الرياضية م(X) و م(ي):
م(X)
=
1
0,4
+ 2
0,2
+ 3
0,4
= 2,0, م(ي)
=
1
0,2
+ 2
0,5
+ 3
0,3
= 2,1. يعطي مطلق النار الثاني في المتوسط عددا أعلى قليلا من النقاط، أي. سيعطي نتائج أفضل عند إطلاقه بشكل متكرر. ولنلاحظ خصائص التوقع الرياضي: 1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه: م(ج)
=ج. 2. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات: م =(X 1 +
X 2 +…+
X ن)=
م(X 1)+
م(X 2)+…+
م(X ن). 3. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي منتج التوقعات الرياضية للعوامل م(X 1 X 2 …
X ن)
=
م(X 1)م(X 2)…
م(X ن). 4. النفي الرياضي للتوزيع ذي الحدين يساوي حاصل ضرب عدد المحاولات واحتمال وقوع حدث في تجربة واحدة (المهمة 4.6). م(X)
= العلاقات العامة. لتقييم مدى انحراف المتغير العشوائي "في المتوسط" عن توقعاته الرياضية، أي. من أجل توصيف انتشار قيم المتغير العشوائي في نظرية الاحتمالات، يتم استخدام مفهوم التشتت. التباينمتغير عشوائي Xيسمى التوقع الرياضي للانحراف التربيعي: د(X)
=
م[(X
-
م(X)) 2 ]. التشتت هو خاصية عددية لتشتت متغير عشوائي. يتضح من التعريف أنه كلما كان تشتت المتغير العشوائي أصغر، كلما اقتربت قيمه المحتملة حول التوقع الرياضي، أي كلما كانت قيم المتغير العشوائي تتميز بتوقعها الرياضي بشكل أفضل . ويترتب على التعريف أنه يمكن حساب التباين باستخدام الصيغة من الملائم حساب التباين باستخدام صيغة أخرى: د(X)
=
م(X 2)
- (م(X)) 2 .
يتميز التشتت بالخصائص التالية: 1. تباين الثابت هو صفر: د(ج)
=
0.
2. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التشتت بتربيعها: د(تجربة العملاء)
=
ج 2 د(X). 3. إن تباين مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي مجموع تباين المصطلحات: د(X 1 +
X 2 +
X 3 +…+
X ن)=
د(X 1)+
د(X 2)+…+
د(X ن) 4. إن تباين التوزيع ذي الحدين يساوي حاصل ضرب عدد المحاولات واحتمال وقوع أو عدم وقوع حدث في تجربة واحدة: د(X)
= نبق. في نظرية الاحتمالات، غالبًا ما يتم استخدام خاصية عددية تساوي الجذر التربيعي لتباين متغير عشوائي. تسمى هذه الخاصية العددية متوسط انحراف المربع ويشار إليها بالرمز وهو يصف الحجم التقريبي لانحراف المتغير العشوائي عن قيمته المتوسطة وله نفس البعد للمتغير العشوائي. 4.1.
يطلق مطلق النار ثلاث طلقات على الهدف. احتمال إصابة الهدف بكل طلقة هو 0.3. إنشاء سلسلة توزيع لعدد الزيارات. حل. عدد الزيارات هو متغير عشوائي منفصل X. كل قيمة س ن
متغير عشوائي Xيتوافق مع احتمال معين ص ن . يمكن تحديد قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل في هذه الحالة بالقرب من التوزيع. في هذه المشكلة Xيأخذ القيم 0، 1، 2، 3. حسب صيغة برنولي لنجد احتمالات القيم المحتملة للمتغير العشوائي: ر 3 (0)
= (0,7) 3 =
0,343, ر 3 (1)
= ر 3 (2)
= ر 3 (3)
= (0,3) 3 =
0,027. من خلال ترتيب قيم المتغير العشوائي Xوبترتيب متزايد نحصل على سلسلة التوزيع: X ن لاحظ أن المبلغ يعني احتمال المتغير العشوائي Xسيأخذ قيمة واحدة على الأقل من بين القيم المحتملة، وبالتالي فإن هذا الحدث موثوق 4.2
هناك أربع كرات في الجرة ذات أرقام من 1 إلى 4. يتم إخراج كرتين. قيمة عشوائية X- مجموع أرقام الكرة. بناء سلسلة توزيع لمتغير عشوائي X. حل.قيم متغيرة عشوائية Xهي 3، 4، 5، 6، 7. دعونا نجد الاحتمالات المقابلة. قيمة المتغير العشوائي 3 Xيمكن قبوله في الحالة الوحيدة عندما يكون لدى إحدى الكرات المختارة الرقم 1 والأخرى 2. عدد نتائج الاختبار المحتملة يساوي عدد مجموعات من أربعة (عدد أزواج الكرات المحتملة) من اثنين. باستخدام صيغة الاحتمال الكلاسيكية نحصل عليها على نفس المنوال، ر(X= 4) =ر(X= 6) =ر(X= 7) = 1/6. يمكن أن يظهر مجموع 5 في حالتين: 1 + 4 و 2 + 3، لذلك Xلديه النموذج: ابحث عن دالة التوزيع F(س) متغير عشوائي Xورسمها. احسب ل Xتوقعاتها الرياضية والتباين. حل. يمكن تحديد قانون توزيع المتغير العشوائي بواسطة دالة التوزيع F(س)
= ف(X
س).
وظيفة التوزيع F(س) هي دالة غير متناقصة ومستمرة من اليسار محددة على خط الأعداد بأكمله، بينما F
(-
)=
0,F
(+
)=
1. بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل، يتم التعبير عن هذه الوظيفة بالصيغة ولذلك في هذه الحالة الرسم البياني لوظيفة التوزيع F(س) هو خط متدرج (الشكل 12) F(س) القيمة المتوقعةم(X) هو المتوسط الحسابي المرجح للقيم X 1 ، اكس 2 ،……X نمتغير عشوائي Xمع المقاييس ρ
1,
ρ
2, ……
, ρ
ن
ويسمى القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي X. وفقا للصيغة م(X)= س 1
ρ
1 + س 2
ρ
2 +……+ س ن
ρ
ن م(X) = 3·0.14+5·0.2+7·0.49+11·0.17 = 6.72. تشتتيميز درجة تشتت قيم المتغير العشوائي من قيمته المتوسطة ويشار إليه د(X): د(X)= م[(جلالة الملك(X)) 2 ]= م(X 2)
–[م(X)] 2 . بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل، فإن التباين له الشكل أو يمكن حسابها باستخدام الصيغة باستبدال البيانات العددية للمشكلة في الصيغة، نحصل على: م(X 2)
=
3 2
∙ 0,14+5 2
∙ 0,2+7 2
∙ 0,49+11 2
∙ 0,17 = 50,84 د(X)
= 50,84-6,72 2
= 5,6816. 4.4.
يتم رمي حجري نرد مرتين في نفس الوقت. اكتب قانون ذي الحدين لتوزيع المتغير العشوائي المنفصل X- عدد مرات ظهور العدد الإجمالي الزوجي للنقاط على حجري النرد. حل. دعونا نقدم حدثا عشوائيا أ= (حجري نرد برمية واحدة يؤديان إلى إجمالي عدد زوجي من النقاط). باستخدام التعريف الكلاسيكي للاحتمال نجد ر(أ)=
أين ن
- تم العثور على عدد نتائج الاختبار المحتملة وفقًا للقاعدة عمليه الضرب: ن
= 6∙6 =36, م
-
عدد الأشخاص الذين يؤيدون الحدث أالنتائج - متساوية م= 3∙6=18. وبالتالي فإن احتمال النجاح في تجربة واحدة هو ρ
= ص(أ)=
1/2.
تم حل المشكلة باستخدام نظام اختبار برنولي. أحد التحديات هنا هو رمي حجري نرد مرة واحدة. عدد هذه الاختبارات ن
= 2. متغير عشوائي Xيأخذ القيم 0، 1، 2 مع الاحتمالات ر 2 (0)
= التوزيع ذو الحدين المطلوب لمتغير عشوائي Xيمكن تمثيلها كسلسلة توزيع: X ن ρ
ن 4.5
. في مجموعة من ستة أجزاء هناك أربعة أجزاء قياسية. تم اختيار ثلاثة أجزاء عشوائيا. إنشاء توزيع احتمالي لمتغير عشوائي متقطع X– عدد الأجزاء القياسية بين تلك المختارة وإيجاد توقعها الرياضي. حل.قيم متغيرة عشوائية Xهي الأرقام 0،1،2،3. انه واضح ر(X=0)=0، نظرًا لوجود جزأين غير قياسيين فقط. ر(X=1) = ر(س= 2) = ر(X=3) = قانون التوزيع للمتغير العشوائي Xلنعرضها على شكل سلسلة توزيع: X ن ρ
ن القيمة المتوقعة م(X)=1
∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2. 4.6
. إثبات أن التوقع الرياضي لمتغير عشوائي متقطع X- عدد مرات حدوث الحدث أالخامس نتجارب مستقلة، في كل منها يكون احتمال وقوع حدث مساويًا لـ ρ
- يساوي حاصل ضرب عدد المحاولات في احتمال وقوع حدث في تجربة واحدة، أي إثبات أن التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدين م(X)
=ن .
ρ
, والتشتت د(X)
=n.p.
. حل.قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ القيم 0، 1، 2...، ن. احتمالا ر(X= k) تم العثور عليه باستخدام صيغة برنولي: ر(X=ك)= ر ن(ك)= سلسلة توزيع متغير عشوائي Xلديه النموذج: X ن ρ
ن س ن أين س=
1-
ρ
. بالنسبة للتوقع الرياضي لدينا التعبير: م(X)= في حالة اختبار واحد، أي مع ن = 1 للمتغير العشوائي X 1- عدد مرات حدوث الحدث أ- سلسلة التوزيع لها الشكل : X ن ρ
ن م(X 1)=
0∙س +
1
∙ ص
=
ص د(X 1)
=
ص
–
ص 2
=
ص(1-
ص)
=
pq. لو Xك – عدد مرات حدوث الحدث أفي أي اختبار، ثم ر(X ل)=
ρ
و س = س 1 +X 2 +….+X ن . من هنا نحصل م(X)= م(X 1
)+م(X 2)+
… +م(X ن)=
ن,
د(X)=د(X 1)+د(X 2)+
...
+د(X ن)=npq. 4.7.
يقوم قسم مراقبة الجودة بفحص المنتجات للتأكد من مطابقتها للمعايير. احتمال أن يكون المنتج قياسيًا هو 0.9. تحتوي كل دفعة على 5 منتجات. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي متقطع X- عدد الدفعات التي ستحتوي كل منها على 4 منتجات قياسية - إذا كانت 50 دفعة خاضعة للفحص. حل. احتمال وجود 4 منتجات قياسية في كل دفعة تم اختيارها عشوائيًا هو احتمال ثابت؛ دعونا نشير إلى ذلك بواسطة ρ
ثم التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Xيساوي م(X)=
50∙ρ.
دعونا نجد الاحتمال ρ
حسب صيغة برنولي: ρ=P 5 (4)= م(X)=
50∙0,32=16. 4.8
. يتم رمي ثلاثة النرد. أوجد التوقع الرياضي لمجموع النقاط المسقطة. حل.يمكنك العثور على توزيع متغير عشوائي X- مجموع النقاط المسقطة ومن ثم توقعها الرياضي. ومع ذلك، فإن هذا المسار مرهق للغاية. من الأسهل استخدام تقنية أخرى تمثل متغيرًا عشوائيًا X، والتي يجب حساب التوقع الرياضي لها، في شكل مجموع عدة متغيرات عشوائية أبسط، والتي يكون حساب التوقع الرياضي لها أسهل. إذا كان المتغير العشوائي X أناهو عدد النقاط المتداولة أنا– العظام ( أنا= 1، 2، 3)، ثم مجموع النقاط Xسيتم التعبير عنها في النموذج س = س 1 + X 2 + X 3 . ولحساب التوقع الرياضي للمتغير العشوائي الأصلي، كل ما تبقى هو استخدام خاصية التوقع الرياضي م(X 1
+ X 2 + X 3
)= م(X 1
)+ م(X 2)+ م(X 3
). من الواضح أن ر(X أنا = ك)=
1/6، ل=
1, 2, 3, 4, 5, 6,
أنا=
1,
2, 3. وبالتالي فإن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X أنايشبه م(X أنا)
=
1/6∙1
+ 1/6∙2
+1/6∙3
+ 1/6∙4
+ 1/6∙5
+ 1/6∙6
= 7/2, م(X)
=
3∙7/2 = 10,5.
4.9.
حدد التوقع الرياضي لعدد الأجهزة التي فشلت أثناء الاختبار إذا: أ) احتمال الفشل لجميع الأجهزة هو نفسه ر، وعدد الأجهزة قيد الاختبار يساوي ن; ب) احتمال الفشل ل أنا
–
الجهاز يساوي ص أنا
,
أنا=
1,
2, … , ن. حل.دع المتغير العشوائي Xهو عدد الأجهزة الفاشلة، إذن س = س 1 + X 2 +…+X ن ,
X أنا
=
انه واضح ر(X أنا =
1)=
ر أنا ,
ر(X أنا =
0)=
1–
ر أنا ,أنا= 1,
2,
…
,ن. م(X أنا)=
1∙ر أنا +
0∙(1-ر أنا)= ف أنا , م(X)= م(X 1)+م(X 2)+…+م(X ن)= ف 1 +ص 2 + … + ص ن .
في الحالة "أ"، يكون احتمال فشل الجهاز هو نفسه ر أنا =p,أنا= 1,
2, …
,ن. م(X)=
n.p.. ويمكن الحصول على هذه الإجابة فوراً إذا لاحظنا أن المتغير العشوائي Xلديه توزيع ذو الحدين مع المعلمات ( ن,
ص).
4.10.
يتم رمي حجري النرد مرتين في وقت واحد. اكتب قانون ذي الحدين لتوزيع المتغير العشوائي المنفصل X -عدد لفات عدد زوجي من النقاط على حجري نرد. حل. يترك أ=(رمي رقم زوجي في حجر النرد الأول)، ب =(رمي رقم زوجي على النرد الثاني). يتم التعبير عن الحصول على رقم زوجي على كلا النرد في رمية واحدة بواسطة المنتج أ.ب.ثم ر
(أ.ب)
= ر(أ)∙ر(في)
=
نتيجة الرمية الثانية لنردين لا تعتمد على الأولى، لذلك تنطبق صيغة برنولي متى ن
=
2,ع = 1/4,
س
=
1- ع = 3/4.
قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ القيم 0، 1، 2 ,
يمكن العثور على احتمالها باستخدام صيغة برنولي: ر(س= 0)= ص 2
(0)
=
س
2
= 9/16, ر(س= 1)= ص 2
(1)= ج ر(س= 2)= ص 2
(2)= ج سلسلة توزيع متغير عشوائي العاشر: 4.11.
يتكون الجهاز من عدد كبير من العناصر التي تعمل بشكل مستقل مع نفس احتمالية فشل كل عنصر مع مرور الوقت ر. ابحث عن متوسط عدد حالات الرفض بمرور الوقت رالعناصر، إذا كان احتمال فشل عنصر واحد على الأقل خلال هذا الوقت هو 0.98. حل.
عدد الأشخاص الذين رفضوا مع مرور الوقت رالعناصر - متغير عشوائي Xوالتي يتم توزيعها حسب قانون بواسون، حيث أن عدد العناصر كبير، فإن العناصر تعمل بشكل مستقل واحتمال فشل كل عنصر صغير. متوسط عدد مرات حدوث حدث ما نالاختبارات تساوي م(X)
=
n.p..
منذ احتمال الفشل لعناصر من نيتم التعبير عنها بواسطة الصيغة ر ن
(ل)
حيث
=
n.p.، ثم احتمال عدم فشل أي عنصر خلال الوقت ر
وصلنا إلى ك = 0: ر ن
(0)= ه - . ولذلك فإن احتمال وقوع الحدث المعاكس يقع في الزمن ر
فشل عنصر واحد على الأقل – يساوي 1 - ه -
. ووفقا لشروط المشكلة، فإن هذا الاحتمال هو 0.98. من مكافئ. 1
- ه -
= 0,98, ه -
= 1 – 0,98 =
0,02, من هنا
=
-ln
0,02
4. لذلك، في الوقت المناسب رتشغيل الجهاز، في المتوسط، سوف تفشل 4 عناصر. 4.12
. يتم رمي النرد حتى يظهر الرقم "اثنين". أوجد متوسط عدد الرميات. حل. دعونا نقدم متغير عشوائي X– عدد الاختبارات التي يجب إجراؤها حتى حدوث الحدث الذي يهمنا. احتمال ذلك X= 1 يساوي احتمال ظهور الرقم "اثنين" خلال رمية واحدة للنرد، أي. ر(س= 1)
= 1/6. حدث X= 2 يعني أنه في الاختبار الأول لم يظهر الرقم "2"، ولكنه ظهر في الاختبار الثاني. احتمالية وقوع الحدث X= 2 تم العثور عليه من خلال قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة: ر(س= 2)
= (5/6)∙(1/6) على نفس المنوال، ر(س= 3)
= (5/6) 2 ∙1/6, ر(س= 4)
= (5/6) 2 ∙1/6 إلخ. نحصل على سلسلة من التوزيعات الاحتمالية: (5/6) ل
∙1/6 متوسط عدد الرميات (التجارب) هو التوقع الرياضي م(X)
=
1∙1/6 +
2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6
+ … + ل
(5/6) ل -1 ∙1/6
+ … = 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2
+ … + ل
(5/6) ل -1
+ …) لنجد مجموع المتسلسلة: لذلك، م(X)
=
(1/6) (1/ (1 –
5/6) 2
= 6. وبالتالي، عليك أن تقوم برمي النرد بمعدل 6 رميات حتى يظهر الرقم "اثنين". 4.13.
يتم إجراء اختبارات مستقلة بنفس احتمالية وقوع الحدث أفي كل اختبار. العثور على احتمال وقوع حدث أإذا كان التباين في عدد تكرارات حدث ما في ثلاث تجارب مستقلة هو 0.63 .
حل.عدد تكرارات الحدث في ثلاث تجارب هو متغير عشوائي X، موزعة وفقا لقانون ذات الحدين. إن تباين عدد تكرارات حدث ما في التجارب المستقلة (مع نفس احتمال وقوع الحدث في كل تجربة) يساوي حاصل ضرب عدد التجارب في احتمالات وقوع الحدث وعدم وقوعه (مشكلة 4.6) د(X)
=
npq.
بالشرط ن
=
3,
د(X)
=
0.63، حتى تتمكن من ذلك رتجد من المعادلة 0,63
= 3∙ر(1-ر), الذي له حلان ر 1
=
0.7 و ر 2
=
0,3.
1.2.
ص4=0.1; 0 عند x≥-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 لـ x≥a،
,
المنحنى الطبيعي متماثل بالنسبة للخط المستقيم x=m، وله حد أقصى عند x=a، يساوي .
,
X
–28
–20
–12
–4
ص
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
X
ص
0,1
0,2
0,3
0,4
.
.
,
0,3(0,7) 2
= 0,441,
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
.
.
.
,
,ر 2 (1)
=
∙
,ر 2 (2)
=
=1/5,
= 3/5,
= 1/5.
ρ
ل
(1-ρ
) ن-ل
ρq ن- 1
ρq ن- 2
ρ
ن
ρq ن -
1
+2
ρ
2
س ن -
2
+…+.ن
ρ
ن
= 0,94∙0,1=0,32.
.
,ر∙س
=
6/16,
,
ر 2
=
1/16.
,
لز
ل -1
= (
ز ل)
ز
.
دراسة وظائف الرتابة والأقصى
متوسط أو متوسط
قانون توزيع المتغيرات العشوائية
معنى الاسم: ايليا
أصل وطبيعة اسم إيدار