افحص دالة للرتابة عبر الإنترنت. دراسة وظائف الرتابة والأقصى

القصوى والتحدب.

الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

تعريف.نقطة حرجةالمهام في = F(X) هي النقطة التي يكون فيها المشتق صفراً أو غير موجود.

نظرية.إذا كان في الفترة (أ، ب) المشتقة موجب/سلبي، فإن الدالة تزيد/تنقص في هذه الفترة.

نظرية.إذا، عند المرور عبر النقطة الحرجة، المشتق تغير الإشارة من "+" إلى "-" (من "-" إلى "+")، إذن - هي النقطة القصوى (الدنيا) للدالة

تعريف.وظيفة مُسَمًّى محدب لأعلى (لأسفل)في الفترة (أ؛ ب)، إذا كانت نقاط الرسم البياني في هذه الفترة تقع تحت (فوق) المماسات المبنية عند هذه النقاط. نقطة الأنحرافهي نقطة في الرسم البياني للدالة التي تقسمها إلى أجزاء ذات اتجاهات تحدب مختلفة.

مثال 2.3.

استكشاف الوظيفة للرتابة والأقصى والتحدب.

1. نقوم بفحص وظيفة الرتابة والحدود القصوى.

لنقم بالرسم ( أرز. 2.1).

ذ''

س

−

−

+

ذ

مشكلة تحت

مشكلة أعلى

مشكلة تحت

أرز. 2.2. دراسة دالة التحدب

لنحسب إحداثيات نقاط انعطاف الرسم البياني:

إحداثيات نقاط الانعطاف: (0؛ 0)، (1؛ −1).

2.32. فحص وظيفة الرتابة والأقصى:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.33. ابحث عن أصغر وأكبر قيم الدالة:

1) على الفاصل؛

2) على الفاصل الزمني [−1؛ 1]؛

3) على الفاصل الزمني [−4؛ 4]؛

4) على الفاصل الزمني [−2؛ 1].

2.34. تعتمد تكاليف الإنتاج C (cu) على حجم الإنتاج X(الوحدات): ابحث عن أعلى تكاليف الإنتاج إذا Xالتغييرات خلال الفترة الفاصلة. ابحث عن القيمة X، حيث يكون الربح هو الحد الأقصى إذا كانت الإيرادات من بيع وحدة الإنتاج تساوي 15 cu. ه.

2.35. يشترط تخصيص قطعة أرض مستطيلة بمساحة 512 م2 وتسييجها وتقسيمها بسياج إلى ثلاثة أجزاء متساوية موازية لأحد جوانب الموقع. ما هو حجم الموقع بحيث يتم استخدام أقل كمية من المواد للسياج؟

2.36. بمعلومية محيط نافذة مستطيلة، أوجد أبعادها بحيث تسمح بدخول أكبر قدر من الضوء.

2.37. ابحث عن الحد الأقصى للربح إذا تم تحديد الدخل R والتكاليف C بواسطة الصيغ: أين X- كمية البضائع المباعة.

2.38. الاعتماد على حجم الإنتاج دبليومن التكاليف الرأسمالية لتحددها الوظيفة
أوجد الفاصل الزمني للتغيير لحيث تكون زيادة التكاليف الرأسمالية غير فعالة.

2.39. دالة التكلفة لها الشكل الدخل من بيع وحدة الإنتاج يساوي 200. أوجد القيمة المثلى للإنتاج للشركة المصنعة.

2.40. يتم تحديد اعتماد حجم الإنتاج (بالوحدات النقدية) على التكاليف الرأسمالية من خلال الوظيفة ابحث عن الفاصل الزمني للقيم التي تكون فيها التكاليف الرأسمالية المتزايدة غير فعالة.

2.41. ويعتقد أن الزيادة في المبيعات من تكاليف الإعلان (مليون روبل) يتم تحديدها من خلال النسبة الدخل من بيع وحدة الإنتاج يساوي 20 ألف روبل. ابحث عن مستوى تكاليف الإعلان التي ستحصل الشركة من خلالها على أقصى ربح.

2.42. الدخل من إنتاج المنتجات باستخدام وحدات الموارد يساوي تكلفة وحدة الموارد هي 10 دن. وحدات ما هو مقدار المورد الذي يجب شراؤه حتى يكون الربح أكبر؟

2.43. دالة التكلفة لها الشكل الدخل من بيع وحدة إنتاج هو 50. أوجد الحد الأقصى لقيمة الربح التي يمكن أن تحصل عليها الشركة المصنعة.

2.44. يتم تعريف اعتماد دخل الاحتكار على كمية الإنتاج على النحو التالي: دالة التكلفة في هذه الفترة لها الشكل أوجد قيمة الإخراج الأمثل للاحتكار.

2.45. يتم تحديد سعر منتجات المنتج المحتكر وفقًا للنسبة المحددة . ما هي قيمة إنتاج المنتج الذي سيكون الدخل من مبيعاته أكبر؟

2.46. دالة التكلفة لها الشكل التالي في في . مستوى الإنتاج حاليا تحت أي شرط على المعلمة صهل من المربح للشركة أن تخفض إنتاجها إذا كان الدخل من بيع وحدة إنتاج يساوي 50؟

يساعد المشتق أيضًا في دراسة دالة لزيادة وتناقص الدوال. دعونا نتذكر أولا التعريف المقابل.

تعريف . دع الدالة يتم تعريفها على الفاصل الزمني. يقولون أنه يزيد (ينقص) على الفاصل الزمني إذا مثل ذلك .

نظرية.إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة و، فإنها تزيد (تتناقص) على الفترة.

دع مشتقة الدالة تكون متصلة على الفترة. ولدراسة الزيادة والنقصان يتم عادة اتباع الخطة التالية:

1) البحث عن نقاط من أين . وتسمى هذه النقاط ثابتة.

2) في جميع الفترات التي تنقسم إليها النقاط الثابتة، حدد الإشارة. للقيام بذلك، يكفي تحديد الإشارة عند نقطة واحدة من كل فاصل زمني (لا تتغير الإشارة الموجودة داخل كل فاصل زمني، وإلا، وفقًا لنظرية بولزانو-كوشي، يجب أن يكون هناك مشتق صفري داخل هذا الفاصل الزمني، وهو مستحيل). إذا كان داخل الفاصل الزمني، فإنه يزيد وفقًا للنظرية. إذا، فإنه يتناقص.

تعريف . تسمى النقاط التي يكون فيها مشتق الدالة صفرًا ثابتة. تسمى النقاط التي يكون فيها مشتق الدالة صفرًا أو غير موجود حرجة.

مثال. دراسة الدالة المتزايدة والتناقصية

هذه الدالة قابلة للاشتقاق على خط الأعداد بأكمله.

1) . لنجد النقاط الثابتة: . جذور المعادلة هي الأرقام .

2) النقاط ، قسم خط الأعداد إلى ثلاث فترات: , , .

في الفاصل الزمني الأول نأخذ .

ولذلك، فإنه يزيد على الفترة الفاصلة. في الفاصل الزمني الذي نأخذه ، . ولذلك فإنه يتناقص. في الفاصل الزمني الذي نأخذه ، . ولذلك، فإنه يزيد على الفترة الفاصلة.

تعريف.دع الوظيفة محددة في . تسمى النقطة نقطة الحد الأقصى (الحد الأدنى) المحلية إذا كانت موجودة مثل ذلك

إذا كانت المتباينات (1) صارمة بالنسبة إلى، فإن النقطة تسمى نقطة الحد الأقصى المحلي الصارم (الحد الأدنى). تسمى نقاط الحد الأقصى والحد الأدنى المحلية بالنقاط القصوى.

نظرية(شرط ضروري للأقصى). إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما وهي نقطة متطرفة، إذن

ليس من الصعب الحصول على إثبات النظرية من تعريف المشتق.

تعليق.يستنتج من النظرية أنه يجب البحث عن النقاط القصوى للدالة بين النقاط الثابتة والنقاط التي لا يوجد فيها المشتق. أحد الشروط الكافية لحدوث أقصى يتبع مباشرة من النظرية التالية.

تعليق.الشرط الضروري لا يكفي. على سبيل المثال، بالنسبة للدالة لدينا، لكن النقطة ليست حدًا أقصى، نظرًا لأن الدالة تزداد على طول خط الأعداد بأكمله.

نظرية(الشرط الكافي للأقصى). لتكن الدالة مستمرة عند نقطة وقابلة للتفاضل عند . ثم:

أ) إذا تغير المشتق، عند المرور عبر نقطة ما، من الموجب إلى الناقص، فإن النقطة هي نقطة الحد الأقصى المحلي؛

ب) إذا تغير المشتق، عند المرور عبر نقطة ما، من ناقص إلى زائد، فإن النقطة هي نقطة صغرى محلية للدالة.

لاحظ أنه من النظرية يترتب على ذلك أن النقطة في المثال السابق هي نقطة عظمى محلية، والنقطة هي نقطة صغرى محلية للدالة.

في كثير من الأحيان، عند حل المشكلات المختلفة، من الضروري العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة في مجموعة معينة.

دعونا نفكر في كيفية حل هذه المشكلة أولاً عندما يكون هذا مقطعًا. دع الدالة تكون متصلة على القطعة وقابلة للتفاضل على الفترة باستثناء عدد محدود من النقاط. بعد ذلك، وفقًا لنظرية فايرستراس، تصل الدالة إلى أكبر وأصغر قيمها على القطعة.

ومن النظريات السابقة تتبع الخطة التالية لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة.

1) أوجد مشتقة وأصفار مشتقة .

2) البحث عن القيم

أ) عند أصفار مشتق ;

ب) في نهايات المقطع؛

ج) في النقاط التي لا يوجد فيها المشتق.

3) من الأرقام الناتجة، اختر الأكبر والأصغر.

ملاحظة 1.لاحظ أنه ليس من الضروري على الإطلاق العثور على فترات تزايد وتناقص هنا.

ملاحظة 2.إذا كانت فترة زمنية أو نصف فترة أو فترة لا نهائية، فلا يمكن استخدام الخطة المذكورة أعلاه. في هذه الحالة، لحل مشكلة القيم الأكبر والأصغر، تحتاج إلى العثور على فترات الزيادة والنقصان في الوظيفة، والحدود عند النقاط الحدودية، وباستخدام التحليل البسيط، احصل على الإجابة.

مثال 3.أوجد أكبر وأصغر قيم للدالة على الفاصل الزمني.

دعونا نجد فترات الزيادة والتناقص. للقيام بذلك، نجد المشتقة:

تقسم النقطة الفاصل الزمني إلى فترتين: و . دعونا نوجد إشارة المشتقة في هذه الفترات. للقيام بذلك، دعونا نحسب

ومن ثم، فإن الدالة تتناقص في نصف الفترة، وتزداد في الفترة. لهذا لا توجد قيمة أعظم لأن . في هذه الحالة يكتبون: .

درس وعرض في الجبر للصف العاشر حول موضوع: "تحقيق دالة للرتابة. خوارزمية البحث"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الأدلة وأجهزة المحاكاة في متجر Integral عبر الإنترنت للصف العاشر من 1C
مسائل جبرية مع المعلمات، الصفوف 9-11
بيئة البرمجيات "1C: منشئ رياضي 6.1"

ما سوف ندرسه :
1. تناقص وزيادة الوظائف.
2. العلاقة بين المشتقة ورتابة الوظيفة.
3. نظريتان مهمتان حول الرتابة.
4. أمثلة.

يا رفاق، لقد نظرنا سابقًا إلى العديد من الوظائف المختلفة وقمنا برسمها. والآن دعونا نقدم قواعد جديدة تناسب جميع الوظائف التي أخذناها في الاعتبار وسنستمر في أخذها في الاعتبار.

وظائف متناقصة ومتزايدة

دعونا نلقي نظرة على مفهوم زيادة ونقصان الوظائف. يا شباب ما هي الوظيفة؟

الدالة هي مراسلة y=f(x)، حيث ترتبط كل قيمة x بقيمة واحدة لـ y.

دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني لبعض الوظائف:

يوضح الرسم البياني لدينا: كلما كانت x أكبر، كلما كان y أصغر. لذلك دعونا نحدد دالة تناقصية. تسمى الدالة بالتناقص إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أصغر للدالة.

إذا كان x2 > x1، إذن f(x2) لننظر الآن إلى الرسم البياني لهذه الدالة:
يوضح هذا الرسم البياني أنه كلما كانت x أكبر، كلما كان y أكبر. لذلك دعونا نحدد دالة متزايدة. تسمى الدالة زيادة إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.
إذا كان x2 > x1، فإن f(x2 > f(x1) أو: كلما زاد x، زاد y.

إذا زادت الدالة أو نقصت خلال فترة معينة، يقال ذلك إنه رتيب في هذه الفترة.

العلاقة بين المشتقة ورتابة الوظيفة

يا رفاق، الآن دعونا نفكر في كيفية تطبيق مفهوم المشتقة عند دراسة الرسوم البيانية الوظيفية. دعونا نرسم رسمًا بيانيًا لدالة تفاضلية متزايدة ونرسم مماسين للرسم البياني.

إذا نظرت إلى مماساتنا أو رسمت بصريًا أي مماس آخر، ستلاحظ أن الزاوية بين المماس والاتجاه الموجب لمحور x ستكون حادة. وهذا يعني أن المماس له ميل إيجابي. معامل زاوية الظل يساوي قيمة المشتق في حدود نقطة التماس. ومن ثم، فإن قيمة المشتقة تكون موجبة عند جميع النقاط في التمثيل البياني. بالنسبة للدالة المتزايدة، فإن المتباينة التالية تكون: f"(x) ≥ 0، لأي نقطة x.

يا رفاق، الآن دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني لبعض الوظائف المتناقصة وننشئ مماسات للرسم البياني للدالة.

دعونا نلقي نظرة على الظلال ونرسم بصريًا أي ظل آخر. وسوف نلاحظ أن الزاوية بين المماس والاتجاه الموجب لمحور x منفرجة، مما يعني أن المماس له ميل سلبي. ومن ثم، فإن قيمة المشتقة تكون سالبة عند جميع النقاط في التمثيل البياني. بالنسبة للدالة المتناقصة، فإن المتباينة التالية تكون: f"(x) ≥ 0، لأي نقطة x.

لذا، فإن رتابة الدالة تعتمد على علامة المشتق:

إذا كانت الدالة تزيد في فترة ما ولها مشتقة في هذه الفترة، فإن هذه المشتقة لن تكون سالبة.

إذا كانت الدالة تتناقص في فترة ما ولها مشتقة في هذه الفترة، فإن هذه المشتقة لن تكون موجبة.

مهم، بحيث تكون الفترات التي نعتبر فيها الدالة مفتوحة!

نظريتان مهمتان حول الرتابة

النظرية 1. إذا كانت المتباينة f'(x) ≥ 0 ثابتة عند جميع نقاط الفترة المفتوحة X ​​(ومساواة المشتقة بالصفر إما لا تكون ثابتة أو ثابتة، ولكن فقط عند مجموعة محدودة من النقاط)، فإن المشتقة الدالة y= f(x) تزداد على الفاصل الزمني X.

النظرية 2. إذا كانت المتباينة f'(x) ≥ 0 ثابتة عند جميع نقاط الفترة المفتوحة X ​​(ومساواة المشتقة بالصفر إما لا تكون ثابتة أو ثابتة، ولكن فقط عند مجموعة محدودة من النقاط)، فإن المشتقة الدالة y= f(x) تتناقص على الفاصل الزمني X.

النظرية 3. إذا كانت في جميع نقاط الفترة المفتوحة X ​​المساواة
f'(x)= 0، فإن الدالة y= f(x) ثابتة في هذه الفترة.

أمثلة على دراسة دالة الرتابة

1) أثبت أن الدالة y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 تزايدية على خط الأعداد بأكمله.

الحل: هيا نوجد مشتقة الدالة: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. بما أن الدرجة عند x زوجية، فإن دالة القوة تأخذ قيمًا موجبة فقط. ثم y" > 0 لأي x، وهو ما يعني بواسطة النظرية في الشكل 1، تزيد الدالة على طول خط الأعداد بأكمله.

2) أثبت أن الدالة آخذة في التناقص: y= sin(2x) - 3x.

دعونا نوجد مشتقة الدالة: y"= 2cos(2x) - 3.
دعونا نحل عدم المساواة:
2cos(2x) - 3 ≥ 0,
2cos(2x) ≥ 3,
كوس (2س) ≥ 3/2.
لأن -1 ≥ cos(x) ≥ 1، مما يعني أن المتباينة لدينا تتحقق لأي x، ومن خلال النظرية 2 تتناقص الدالة y= sin(2x) - 3x.

3) افحص رتابة الدالة: y= x 2 + 3x - 1.

الحل: هيا نوجد مشتقة الدالة: y"= 2x + 3.
دعونا نحل عدم المساواة:
2س + 3 ≥ 0،
س ≥ -3/2.
ثم تزداد وظيفتنا لـ x ≥ -3/2، وتنخفض لـ x ≥ -3/2.
الإجابة: بالنسبة إلى x ≥ -3/2، تزيد الدالة، بالنسبة إلى x ≥ -3/2، تقل الدالة.

4) افحص رتابة الدالة: y= $\sqrt(3x - 1)$.

الحل: دعونا نوجد مشتقة الدالة: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
دعونا نحل المتراجحة: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

متباينتنا أكبر من أو تساوي الصفر:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0،
3س - 1 ≥ 0،
س ≥ 1/3.
دعونا نحل عدم المساواة:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≥ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≥ 0,
3س - 1 ≥ 0.
ولكن هذا مستحيل، لأن يتم تعريف الجذر التربيعي فقط للتعبيرات الإيجابية، وهو ما يعني أن الدالة ليس لها فترات تناقصية.
الإجابة: بالنسبة لـ x ≥ 1/3 تزيد الدالة.

مشاكل لحلها بشكل مستقل

أ) أثبت أن الدالة y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 تزايدية على طول خط الأعداد بأكمله.
ب) أثبت أن الدالة آخذة في التناقص: y= cos(5x) - 7x.
ج) افحص رتابة الدالة: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
د) افحص رتابة الدالة: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

التقينا لأول مرة في دورة الجبر للصف السابع. عند النظر إلى الرسم البياني للدالة، قمنا بإزالة المعلومات المقابلة: إذا تحركنا على طول الرسم البياني من اليسار إلى اليمين، وانتقلنا في نفس الوقت من الأسفل إلى الأعلى (كما لو كنا نتسلق تلًا)، فإننا نعلن عن الدالة تكون متزايدة (الشكل 124)؛ إذا انتقلنا من أعلى إلى أسفل (انزل إلى أسفل التل)، فقد أعلنا أن الوظيفة تتناقص (الشكل 125).

ومع ذلك، فإن علماء الرياضيات لا يحبون هذه الطريقة لدراسة خصائص الوظيفة. وهم يعتقدون أن تعريفات المفاهيم لا ينبغي أن تعتمد على الرسم - يجب أن يوضح الرسم فقط خاصية أو أخرى للدالة على سطحها. الرسومات. دعونا نعطي تعريفات صارمة لمفاهيم الدوال المتزايدة والتناقصية.

التعريف 1. يقال إن الدالة y = f(x) تتزايد على الفترة X إذا كانت من المتراجحة x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

التعريف 2. يقال إن الدالة y = f(x) تتناقص على الفترة X إذا كانت المتراجحة x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует عدم المساواةو(س 1) > و(س 2).

من الناحية العملية، يكون استخدام الصيغ التالية أكثر ملاءمة:

تزيد الدالة إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أكبر للدالة؛
تنخفض الدالة إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أصغر للدالة.

باستخدام هذه التعريفات وخصائص المتباينات العددية المنصوص عليها في الفقرة 33، سنكون قادرين على إثبات الاستنتاجات حول زيادة أو نقصان الوظائف التي تمت دراستها مسبقًا.

1. الدالة الخطية y = kx +m

إذا كانت k > 0، فإن الدالة تزداد طوال الوقت (الشكل 126)؛ إذا ك< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

دليل. دع f(x) = kx +m. إذا × 1< х 2 и k >أوه، إذن، وفقًا لخاصية المتباينات العددية الثلاثة (انظر الفقرة 33)، kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

لذلك، من عدم المساواة × 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. خطيوظائف ذ = ك س + م.

إذا × 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 ، ووفقًا للخاصية 2، من kx 1 > kx 2 يتبع ذلك kx 1 + m> kx 2 + أي.

لذلك، من عدم المساواة × 1< х 2 следует, что f(х 1) >و(× 2). وهذا يعني انخفاضًا في الدالة y = f(x)، أي الدالة الخطية y = kx + m.

إذا زادت (تناقصت) الدالة في مجال تعريفها بالكامل، فيمكن تسميتها زيادة (تناقصًا) دون الإشارة إلى الفاصل الزمني. على سبيل المثال، فيما يتعلق بالدالة y = 2x - 3 يمكننا القول إنها تزايدية على طول خط الأعداد بأكمله، لكن يمكننا أيضًا أن نقولها بشكل مختصر أكثر: y = 2x - 3 - تزايدية
وظيفة.

2. الدالة ص = x2

1. خذ بعين الاعتبار الدالة y = x 2 على الشعاع. لنأخذ رقمين غير موجبين x 1 و x 2 بحيث يكون x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- × 2. نظرًا لأن الأرقام - x 1 و - x 2 غير سالبة، فمن خلال تربيع طرفي المتباينة الأخيرة، نحصل على متباينة بنفس المعنى (-x 1) 2 > (-x 2) 2، أي. هذا يعني أن f(x 1) > f(x 2).

لذلك، من عدم المساواة × 1< х 2 следует, что f(х 1) >و(× 2).

ولذلك فإن الدالة y = x 2 تتناقص على الشعاع (- 00, 0] (الشكل 128).

1. النظر في دالة على الفاصل الزمني (0، + 00).
دع X1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >و(× 2).

لذلك، من عدم المساواة × 1< х 2 следует, что f(x 1) >و(× 2). وهذا يعني أن الدالة تتناقص على الشعاع المفتوح (0، + 00) (الشكل 129).

2. النظر في دالة على الفاصل الزمني (-oo، 0). دع × 1< х 2 , х 1 и х 2 - отрицательные числа. Тогда - х 1 >- x 2، وكلا طرفي المتباينة الأخيرة أرقام موجبة، وبالتالي (استخدمنا مرة أخرى المتباينة المثبتة في المثال 1 من الفقرة 33). التالي لدينا، من أين نأتي.

لذلك، من عدم المساواة × 1< х 2 следует, что f(x 1) >و(س 2) أي تتناقص الدالة على الشعاع المفتوح (- 00 , 0)

عادة ما يتم الجمع بين مصطلحي "الوظيفة المتزايدة" و"الوظيفة المتناقصة" تحت الاسم العام للوظيفة الرتيبة، وتسمى دراسة الوظيفة للتزايد والتناقص بدراسة الوظيفة للرتابة.

حل.

1) لنرسم الدالة y = 2x2 ونأخذ فرع هذا القطع المكافئ عند x< 0 (рис. 130).

2) قم ببناء واختيار الجزء الخاص به على القطعة (الشكل 131).

3) لنقم ببناء القطع الزائد ونحدد الجزء الخاص به على الشعاع المفتوح (4، + 00) (الشكل 132).
4) دعونا نصور "القطع" الثلاث في نظام إحداثي واحد - هذا هو الرسم البياني للدالة y = f(x) (الشكل 133).

دعونا نقرأ الرسم البياني للدالة y = f(x).

1. مجال تعريف الدالة هو خط الأعداد بأكمله.

2. ص = 0 عند س = 0؛ ص > 0 لـ س > 0.

3. الدالة تتناقص على الشعاع (-oo, 0]، وتزيد على القطعة، وتتناقص على الشعاع، وتكون محدبة لأعلى على القطعة، ومحدبة لأسفل على الشعاع، وتطبق نظرية لاغرانج: هناك نقطة س 0 من ( س 1 ;س 2) هكذا F(س 2) -F(س 1) = (س 2 -س 1)×ف¢( س 0). لكن حسب الشرط . F"(س 0) = 0، وبالتالي، F(س 2) =F(س 1)، أي. وظيفة F(س) ثابت على ( أ; ب). وهذا يعني أنه قد تم إثبات الكفاية. لقد تم إثبات النظرية.

النظرية 4 (شرط ضروري لرتابة الوظيفة). اسمحوا في الفاصل الزمني (أ; ب) وظيفة و(س) قابل للتفاضل. ثم:

أ)إذا و(س) يزيد، ثم مشتقته في(أ; ب) ليست سلبية، أي. F ¢( س) ³ 0;

ب) إذا و(س) يتناقص، ثم مشتقته في (أ; ب) ليست إيجابية، أي. F ¢( س) £ 0.

دليل.أ). دع الوظيفة F(س) يزيد في ( أ; ب)، أي. لأي س 1 ,س 2 من ( أ; ب) تحمل العلاقة التالية: س 1 < س 2® F(س 1) < F(س 2). ثم للنقاط المشار إليها س 1 ,س 2 العلاقة التالية إيجابية:

ويترتب على ذلك المشتق F ¢( س 1) ³ 0. بيان أ ب).

النظرية 5 (الشرط الكافي لرتابة الوظيفة). اسمحوا في الفاصل الزمني (أ; ب) وظيفة و(س) قابل للتفاضل. ثم:

أ)إذا و ¢( س) > 0 على (أ; ب), ثم و(س)يزيد بنسبة (أ; ب);

ب) إذا و ¢( س) < 0على(أ; ب),ثم و(س) يتناقص بنسبة (أ ; ب).

دليل.أ). يترك F ¢( س) > 0 على ( أ; ب) والنقاط س 1 , س 2 من ( أ; ب) مثل ذلك س 1 < س 2. وفقا لنظرية لاغرانج، هناك نقطة س 0 من ( س 1 ;س 2) هكذا F(س 2) -F(س 1) = (س 2 -س 1)×ف¢( س 0). هنا الجانب الأيمن من المساواة إيجابي، لذلك F(س 2) -F(س 1) > 0، أي F(س 2) > F(س 1) . هذا يعني انه F(س) يزيد بمقدار ( أ; ب). إفادة أ) وقد ثبت. وقد ثبت البيان بطريقة مماثلة ب).

مثال 9.وظيفة في= X 3 يزيد في كل مكان، لأنه مع زيادة القيم Xوتزداد مكعبات هذه القيم. مشتق من هذه الوظيفة في§ = 3 X 2 غير سلبي في كل مكان، أي. يتم استيفاء شرط الرتابة الضروري.

مثال 10. أوجد فترات زيادة وتناقص الدالة y= 0,25X 4 - 0,5X 2 .

حل.تم العثور على مشتق هذه الوظيفة في¢ = X 3 - X، ويتم إنشاء الفواصل فيها X 3 - Xإيجابية أو سلبية. للقيام بذلك، نجد أولا النقاط الحرجة التي في¢ = 0: X 3 - X = 0 ® X(X + 1)(X-1) = 0 ® X 1 = 0, X 2 = -1 X 3 = 1. هذه النقاط تقسم خط الأعداد إلى 4 مسافات:

- + - + X

-¥ -2 -1 0 1 2 3 +¥

اللعنة.36.

بشكل عام، لتحديد علامات المشتق، خذ نقطة واحدة في كل فترة واحسب قيم المشتق عند هذه النقاط. لكن في بعض الأحيان يكفي أخذ نقطة واحدة فقط في الفترة الموجودة في أقصى اليمين، وتحديد إشارة المشتقة عند هذه النقطة، وتبديل الإشارات في الفترات المتبقية. في هذا المثال، دعونا X= 2 إذن في¢(2) = 2 3 – 2 = 6 > 0. يتم وضع علامة + في الفترة اليمنى، ثم تتناوب الإشارات. تلقى في¢ > 0 على الفترات (-1; 0) و (1; +¥)، وبالتالي فإن الدالة قيد الدراسة تزداد على هذه الفترات. إضافي، في¢< 0 на (- ¥; -1) и (0; 1), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках убывает. Ниже на чертеже 37 построен график этой функции.

التعريف 3. 1). نقطة Xاو يسمى النقطة القصوىالمهام F(س)، إذا كان هناك فاصل زمني ( أ; ب)، تحتوي Xاه في أي معنى F(سس) الأعظم، أي. F(سس)> F(س) للجميع Xمن ( أ; ب).

2). نقطة Xاو يسمى نقطة الحد الأدنىالمهام F(س)، إذا كان هناك فاصل زمني ( أ; ب)، تحتوي Xاه في أي معنى F(سس) الأصغر، أي. F(سس)< F(س) للجميع Xمن ( أ; ب). يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط النقاط القصوى.

النظرية 6(شرط ضروري لأقصى وظيفة). إذا سيا هي النقطة القصوى للدالة f(س)وهناك مشتق

F ¢( س 0),ثم و "(س 0) = 0.

والدليل مشابه لإثبات نظرية رول.

نقطة س 0، فيها F ¢( س 0) = 0 أو F ¢( س 0) غير موجود، ودعا نقطة حرجةالمهام F (س). يقولون أن النقاط الحرجة مشبوهة من التطرف، أي. قد تكون أو لا تكون الحد الأقصى أو الحد الأدنى من النقاط.

النظرية 7 (شرط كاف لأقصى وظيفة). دع و(س)قابلة للتفاضل في فترة ما تحتوي على النقطة الحرجة xيا ( ربما باستثناء النقطة x نفسهاس) . ثم:

أ) إذا عند المرور عبر xيا مشتق من اليسار إلى اليمين f ¢( س) تغير الإشارة من + إلى -,ثم سيا هي النقطة القصوى للدالة f (س);

ب) إذا عند المرور عبر xيا مشتق من اليسار إلى اليمين f ¢( س) علامة التغييرات من - إلى+,ثم سيا هي النقطة الدنيا للدالة f (س).

دليل.على أن يتم استيفاء جميع شروط الفقرة أ). دعونا نأخذ نقطة X(من الفاصل الزمني المحدد) من هذا القبيل X <Xأوه، وتطبيق نظرية لاغرانج على الفترة ( X; Xيا). نحن نحصل: F(س 0) -F(س) = (س 0 -س)×ف¢( س 1) حيث س 1 - نقطة ما من ( X; Xيا). بالشرط، F¢( س 1) > 0 و ( س 0 -س)> 0، وبالتالي F(س 0) >F(س) . وبالمثل، ثبت أنه لأي نقطة X >Xأوه أيضا F(س 0) >F(س). ويترتب على هذه العبارات أن هذه هي النقطة القصوى، البيان أ) وقد ثبت. وقد ثبت البيان بطريقة مماثلة ب).

مثال 11.يوضح المثال 9 أن الوظيفة في= X 3 تزداد في كل مكان، لذلك ليس لها نقاط نهاية. والواقع أنها مشتقة ذ"= 3X 2 يساوي الصفر فقط عندما Xس = 0، أي عند هذه النقطة يتم استيفاء الشرط الضروري للحد الأقصى للوظيفة. ولكن عند المرور عبر 0 مشتقها ذ"= 3X 2 لا يتغير التوقيع، لذلك X o = 0 ليست النقطة القصوى لهذه الدالة.

مثال 12.يوضح المثال 10 أن الوظيفة في = 0,25X 4 - 0,5X 2 لديه نقاط حرجة X 1 = 0, X 2 = -1, X 3 = 1. في الرسم 34 يشير إلى أنه عند المرور عبر هذه النقاط، فإن التغييرات المشتقة تشير إلى ذلك، X 1 , X 2 , X 3 - النقاط القصوى، في حين X 1 = 0 هي النقطة القصوى، و X 2 = -1, X 3 = 1 - الحد الأدنى من النقاط.

بعد ذلك، يتم رسم هذا المثال. وظيفة F(س) = 0,25X 4 - 0,5X 2 قيد الدراسة التكافؤ: F(-س) = 0,25(-X) 4 - 0,5(-X) 2 = F(س)، وبالتالي فإن هذه الدالة زوجية، ورسمها البياني متماثل حول المحور أوي. يتم رسم نقاط الرسم البياني الموجودة أعلاه وبعض النقاط المساعدة الموجودة على الرسم البياني وتوصيلها بخط ناعم.

ذ= 0,25س 4 - 0,5س 2 0,5 -0,11

1 0 الأعلى 1 × أو`1/3 –0,14 أ ب

اللعنة.37.

النظرية 8 (الشرط الثاني الكافي للأقصى). دع س 0 - النقطة الحرجة للوظيفة و(س), وهناك مشتق من الدرجة الثانية f¢¢( X 0). ثم:

أ) إذا و ¢¢( X 0) < 0, ثم س 0 – أقصى نقطة للوظيفة f(س);

ب) إذا و ¢¢( X 0) > 0, ثم س 0 - النقطة الدنيا للوظيفة f(س).

لا يعتبر إثبات هذه النظرية (انظر).

مثال 13. افحص الحد الأقصى للدالة y= 2س 2 - س 4 .

حل.تم العثور على المشتق ذ§ والنقاط الحرجة التي

ذ¢ = 9: ذ§ = 4 س - 4س 3 ; 4س - 4س 3 = 0 ® س 1 = 0, س 2 = 1, س 3 = -1 - النقاط الحرجة. تم العثور على مشتق الدرجة الثانية ذ™ ™ ويتم حساب قيمها عند النقاط الحرجة: ذ¢ ™ = 4 -12 X 2 ; ذ∆(0) = 4، ذ∆(1) = -8، ذÂ ™(-1) = –8. لأن ذ¢ ™ (0) > 0، إذن س 1 = 0 - الحد الأدنى للنقطة؛ ومنذ ذلك الحين ذ¢ ™ (1)< 0, ذ¢ ™(-1)< 0, то س 2 = 1, س 3 = -1 - الحد الأقصى لنقاط هذه الدالة.

القيم القصوى المطلقة للدالة على القطعة [أ; ب] تسمى القيم الأكبر والأصغر F(س) على [ أ; ب]. يتم الوصول إلى هذه الحدود القصوى إما عند النقاط الحرجة للوظيفة F(س)، أو في نهايات المقطع [ أ; ب].

مثال 14. تحديد أكبر وأصغر قيم للدالة y = X 2× lnx على الفاصل الزمني .

حل.تم العثور على مشتق هذه الوظيفة ونقاطها الحرجة: في§ = 2 س× lnx + س 2 ×(1/ س) = س×(2 lnx+1); س×(2× lnx+1) = 0 ® أ) X 1 = 0; ب) 2× lnx+ 1 = 0 ® لن س= -0.5 ® X 2 = ه - 0,5 = 1/Ö `ه» 0.607. نقطة حرجة X 1 = 0 لم يتم تضمينها في الفترة قيد النظر، وبالتالي فإن قيم الدالة موجودة عند النقطة X 2 = ه- 0.5 وفي النهايات أ= 0,5, ب = ه. في(ه -0,5) = (ه- 0.5) 2 × ln(ه - 0,5) =ه - 1 (-0,5) = -0,5/ه» -0.184؛ في(0.5) = 0.25× ln 0.5 » 0.25(-0.693) = -0.17325؛ في(ه) = ه 2× lne = ه 2 × 1" 7.389. تم اختيار أكبر وأصغر القيم من بين القيم التي تم العثور عليها: القيمة الأكبر "7.389 بوصة X = ه، أصغر قيمة "-0.184 فولت عند X = ه - 0,5 .

مشاكل بالغة.

في مثل هذه المشاكل، يتم أخذ متغيرين في الاعتبار Xو في، وتحتاج إلى العثور على مثل هذه القيمة X، حيث القيمة فيهو الأكبر أو الأصغر. حل هذه المشكلة يتضمن الخطوات التالية:

1) تم تحديد قيمة متطرفة ذ، يجب العثور على الحد الأقصى أو الأدنى؛

2) تم تحديد متغير X، و ذأعرب من خلال X;

3) يتم حساب المشتق في"وهناك نقاط حرجة فيها في" هو 0 أو غير موجود؛

4) يتم التحقيق في النقاط الحرجة في أقصى الحدود؛

5) تعتبر القيم ذفي النهايات، ويتم حساب القيمة المطلوبة في المشكلة.

مثال 15. وقد ثبت تجريبيا أن استهلاك البنزين

في(ل) على 100 كم بالسيارةغاز-69 حسب السرعة x(كم/ساعة) الموصوفة بواسطة الدالة y = 18 - 0,3X + 0,003X 2 . تحديد السرعة الأكثر اقتصادا.

حل.هنا يتم تنفيذ الخطوتين الأولين 1) و2) في بيان المشكلة. ولذلك، يتم حساب المشتق على الفور: ذ"= -0,3 +0,006Xوتم العثور على النقطة الحرجة: -0.3 + 0.006 X = 0 ® Xس = 50. والآن ينطبق الشرط الكافي الثاني للأقصى: ذ""= 0.006 > 0 في أي نقطة، وبالتالي، Xس = 50 - النقطة الدنيا. الخلاصة: السرعة الأكثر اقتصادا هي 50 كم/ساعة، أما استهلاك البنزين فهو 18 - 0.3 × 50 + 0.003 × 50 2 = 10.5 لتر. لكل 100 كم.

مثال 16. من ورقة مربعة من الورق المقوى بطول 60 سم، يتم قطع مربعات متطابقة عند الزوايا ويتم لصق صندوق مستطيل من الجزء المتبقي. ما هو جانب المربع المقطوع بحيث يكون حجم الصندوق أكبر؟.

حل.يتم تنفيذ الخطوات المذكورة أعلاه لحل المشكلة.

1). بشرط أن يكون حجم الصندوق هو الأكبر، لذلك دعونا ذ- حجم الصندوق.

2). خلف X(سم) خذ جانب المربع الذي تم قطعه. ثم سيكون ارتفاع الصندوق مساوياً لـ Xوستكون قاعدة الصندوق مربعة ذات جانب

(60 – 2X) مساحتها (60 – 2 X) 2 . وبالتالي فإن حجم الصندوق هو ذ= X(60 – 2X) 2 = 3600X - 240X 2 + 4X 3 .

3). يتم حساب المشتق ويتم العثور على النقاط الحرجة: ذ"= 3600 - 480X + 12X 2 ; X 2 - 40X+300 = 0 ® X 1 =10, X 2 =30 - النقاط الحرجة.

4). مشتق الدرجة الثانية يساوي ذ""= - 480 + 24Xو ذ""(10) = -240, ذ""(30) = 240. حسب النظرية 8، X 1 =10 - النقطة القصوى و ذالحد الأقصى = 400 (سم3).

5). بجانب، Xيمكن أن تأخذ قيمة متطرفة X 3 = 0. لكن في(0) = 0 - هذا أقل من ذالأعلى.

إجابة:طول ضلع المربع المقطوع 10 سم.

©2015-2019 الموقع
جميع الحقوق تنتمي إلى مؤلفيها. لا يدعي هذا الموقع حقوق التأليف، ولكنه يوفر الاستخدام المجاني.
تاريخ إنشاء الصفحة: 2016-08-20