Discreto chiamata variabile casuale che può assumere valori individuali e isolati con determinate probabilità.
ESEMPIO 1. Il numero di volte in cui lo stemma appare in tre lanci di moneta. Valori possibili: 0, 1, 2, 3, le loro probabilità sono rispettivamente uguali:
P(0) = ; Ð(1) = ; Ð(2) = ; Р(3) = .
ESEMPIO 2. Il numero di elementi guasti in un dispositivo composto da cinque elementi. Valori possibili: 0, 1, 2, 3, 4, 5; le loro probabilità dipendono dall'affidabilità di ciascun elemento.
Variabile casuale discreta X può essere data da una serie di distribuzione o da una funzione di distribuzione (legge di distribuzione integrale).
Distribuzione prossima è l'insieme di tutti i valori possibili Xio e le relative probabilità Rio = P(X = xio), può essere specificato come una tabella:
| x io | x n |
|||
| p i | р n |
Allo stesso tempo, le probabilità Rio soddisfare la condizione
Rio= 1 perché 
dove è il numero di valori possibili N può essere finito o infinito.
Rappresentazione grafica delle serie di distribuzione chiamato poligono di distribuzione . Per costruirlo, possibili valori della variabile casuale ( Xio) sono tracciati lungo l'asse x e le probabilità Rio- lungo l'asse delle ordinate; punti UNio con coordinate ( Xio, рio) sono collegati da linee spezzate.
Funzione di distribuzione variabile casuale X chiamata funzione F(X), il cui valore in quel punto Xè uguale alla probabilità che la variabile casuale X sarà inferiore a questo valore X, questo è
F(x) = P(X< х).
Funzione F(X) Per variabile casuale discreta calcolato dalla formula
F(X) = Rio , (1.10.1)
dove la somma viene effettuata su tutti i valori io, per cui Xio< х.
ESEMPIO 3. Da un lotto contenente 100 prodotti, di cui 10 difettosi, vengono selezionati casualmente cinque prodotti per verificarne la qualità. Costruisci una serie di distribuzioni di un numero casuale X prodotti difettosi contenuti nel campione.
Soluzione. Poiché nel campione il numero di prodotti difettosi può essere un numero intero compreso tra 0 e 5 compreso, i possibili valori Xio variabile casuale X sono uguali:
x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5.
Probabilità R(X = k) che il campione contiene esattamente K(K = 0, 1, 2, 3, 4, 5) prodotti difettosi, uguali
P (X = k) = .
Come risultato dei calcoli utilizzando questa formula con una precisione di 0,001, otteniamo:
R 1 = p(X = 0) @ 0,583;R 2 = p(X = 1) @ 0,340;R 3 = p(X = 2) @ 0,070;
R 4 = p(X = 3) @ 0,007;R 5 = p(X= 4) @ 0;R 6 = p(X = 5) @ 0.
Usare l'uguaglianza per verificare RK=1, ci assicuriamo che i calcoli e gli arrotondamenti siano stati eseguiti correttamente (vedi tabella).
| x io | ||||||
| p i |
ESEMPIO 4. Data una serie di distribuzioni di una variabile casuale X :
| x io | |||||
| p i |
Trova la funzione di distribuzione della probabilità F(X) di questa variabile casuale e costruirla.
Soluzione. Se X£ 10 allora F(X)= p(X<X) = 0;
se 10<X£ 20 allora F(X)= p(X<X) = 0,2 ;
se 20<X£ 30 allora F(X)= p(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;
se 30<X 40 sterline allora F(X)= p(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;
se 40<X 50 sterline allora F(X)= p(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;
Se X>50, quindi F(X)= p(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.
LEGGE DI DISTRIBUZIONE E CARATTERISTICHE
VARIABILI CASUALI
Variabili casuali, loro classificazione e metodi di descrizione.
Una quantità casuale è una quantità che, a seguito di un esperimento, può assumere un valore o un altro, ma di cui non è noto in anticipo. Per una variabile casuale, quindi, è possibile specificare solo valori, uno dei quali verrà preso sicuramente come risultato dell'esperimento. Nel seguito chiameremo questi valori valori possibili della variabile casuale. Poiché una variabile casuale caratterizza quantitativamente il risultato casuale di un esperimento, può essere considerata una caratteristica quantitativa di un evento casuale.
Le variabili casuali sono solitamente indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino, ad esempio X..Y..Z, e i loro possibili valori con lettere minuscole corrispondenti.
Esistono tre tipi di variabili casuali:
Discreto; Continuo; Misto.
Discretoè una variabile casuale il cui numero di possibili valori forma un insieme numerabile. A sua volta un insieme i cui elementi possono essere numerati è detto numerabile. La parola "discreto" deriva dal latino discretus, che significa "discontinuo, costituito da parti separate".
Esempio 1. Una variabile casuale discreta è il numero di parti difettose X in un lotto di nprodotti. Infatti, i possibili valori di questa variabile casuale sono una serie di numeri interi da 0 a n.
Esempio 2. Una variabile casuale discreta è il numero di colpi prima del primo colpo sul bersaglio. Qui, come nell'Esempio 1, i valori possibili possono essere numerati, anche se nel caso limite il valore possibile è un numero infinitamente grande.
Continuoè una variabile casuale i cui possibili valori riempiono continuamente un certo intervallo dell'asse numerico, a volte chiamato intervallo di esistenza di questa variabile casuale. Pertanto, su qualsiasi intervallo finito di esistenza, il numero di possibili valori di una variabile casuale continua è infinitamente grande.
Esempio 3. Una variabile casuale continua è il consumo mensile di elettricità di un'impresa.
Esempio 4. Una variabile casuale continua è l'errore nella misurazione dell'altezza utilizzando un altimetro. Si sappia dal principio di funzionamento dell'altimetro che l'errore è compreso tra 0 e 2 m, pertanto l'intervallo di esistenza di questa variabile casuale è l'intervallo tra 0 e 2 m.
Legge di distribuzione delle variabili aleatorie.
Una variabile casuale si considera completamente specificata se i suoi possibili valori sono indicati sull'asse numerico e se viene stabilita la legge di distribuzione.
Legge di distribuzione di una variabile casuale è una relazione che stabilisce una connessione tra i possibili valori di una variabile casuale e le probabilità corrispondenti.
Si dice che una variabile casuale è distribuita secondo una data legge, o soggetta a una data legge di distribuzione. Come leggi di distribuzione vengono utilizzate una serie di probabilità, funzioni di distribuzione, densità di probabilità e funzioni caratteristiche.
La legge della distribuzione fornisce una descrizione probabile completa di una variabile casuale. Secondo la legge della distribuzione, prima dell'esperimento si può giudicare quali possibili valori di una variabile casuale appariranno più spesso e quali meno spesso.
Per una variabile casuale discreta, la legge di distribuzione può essere specificata sotto forma di tabella, analiticamente (sotto forma di formula) e graficamente.
La forma più semplice per specificare la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è una tabella (matrice), che elenca in ordine crescente tutti i possibili valori della variabile casuale e le loro probabilità corrispondenti, ad es.
Tale tabella è chiamata serie di distribuzione di una variabile casuale discreta. 1
Gli eventi X 1, X 2,..., X n, consistenti nel fatto che a seguito del test la variabile casuale X assumerà rispettivamente i valori x 1, x 2,... x n incoerenti e gli unici possibili (poiché la tabella elenca tutti i possibili valori di una variabile casuale), cioè formare un gruppo completo. Pertanto, la somma delle loro probabilità è uguale a 1. Pertanto, per qualsiasi variabile casuale discreta
(Questa unità è in qualche modo distribuita tra i valori della variabile casuale, da qui il termine "distribuzione").
La serie di distribuzione può essere rappresentata graficamente se i valori della variabile casuale sono tracciati lungo l'asse delle ascisse e le loro probabilità corrispondenti sono tracciate lungo l'asse delle ordinate. La connessione dei punti ottenuti forma una linea spezzata chiamata poligono o poligono della distribuzione di probabilità (Fig. 1).
Esempio La lotteria comprende: un'auto del valore di 5.000 den. unità, 4 televisori che costano 250 den. unità, 5 videoregistratori del valore di 200 den. unità Vengono venduti un totale di 1000 biglietti per 7 giorni. unità Elaborare una legge di distribuzione per le vincite nette ricevute da un partecipante alla lotteria che ha acquistato un biglietto.
Soluzione. I possibili valori della variabile casuale X - la vincita netta per biglietto - sono pari a 0-7 = -7 soldi. unità (se il biglietto non è stato vinto), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unità (se il biglietto contiene rispettivamente la vincita di un videoregistratore, di una TV o di un'auto). Considerando che su 1000 schedine il numero dei non vincitori è 990, e le vincite indicate sono rispettivamente 5, 4 e 1, e utilizzando la definizione classica di probabilità, otteniamo.
Capitolo 1. Variabile casuale discreta
§ 1. Concetti di variabile casuale.
Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta.
Definizione : La casualità è una quantità che, a seguito di un test, assume un solo valore da un possibile insieme di valori, sconosciuti in anticipo e dipendenti da ragioni casuali.
Esistono due tipi di variabili casuali: discrete e continue.
Definizione : Viene chiamata la variabile casuale X discreto (discontinuo) se l'insieme dei suoi valori è finito o infinito ma numerabile.
In altre parole, i possibili valori di una variabile casuale discreta possono essere rinumerati.
Una variabile casuale può essere descritta utilizzando la sua legge di distribuzione.
Definizione : Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta chiamare la corrispondenza tra i possibili valori di una variabile casuale e le loro probabilità.
La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta X può essere specificata sotto forma di una tabella, nella prima riga della quale sono indicati in ordine crescente tutti i possibili valori della variabile casuale, e nella seconda riga le corrispondenti probabilità di questi valori, cioè
dove ð1+ ð2+…+ ðn=1
Tale tabella è chiamata serie di distribuzione di una variabile casuale discreta.
Se l’insieme dei possibili valori di una variabile casuale è infinito, allora la serie p1+ p2+…+ pn+… converge e la sua somma è uguale a 1.
La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta X può essere rappresentata graficamente, per la quale una linea spezzata è costruita in un sistema di coordinate rettangolare, collegando successivamente punti con coordinate (xi; pi), i=1,2,…n. La riga risultante viene chiamata poligono di distribuzione (Fig. 1).
Chimica organica" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">chimica organica sono rispettivamente 0,7 e 0,8. Elabora una legge di distribuzione per la variabile casuale X - il numero di esami che lo studente supererà.
Soluzione. La variabile casuale X considerata all'esito dell'esame può assumere uno dei seguenti valori: x1=0, x2=1, x3=2.
Troviamo la probabilità di questi valori e denotiamo gli eventi:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" larghezza="259" altezza="66 src=">
 |
Quindi, la legge di distribuzione della variabile casuale X è data dalla tabella:
Controllo: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Funzione di distribuzione
Una descrizione completa di una variabile casuale è data anche dalla funzione di distribuzione.
Definizione: Funzione di distribuzione di una variabile casuale discreta X è detta funzione F(x), che determina per ogni valore x la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore minore di x:
F(x)=P(X<х)
Dal punto di vista geometrico, la funzione di distribuzione viene interpretata come la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore rappresentato sulla retta numerica da un punto situato a sinistra del punto x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) è una funzione non decrescente su (-∞;+∞);
3) F(x) - continua a sinistra nei punti x= xi (i=1,2,...n) e continua in tutti gli altri punti;
4) F(-∞)=P(X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Se la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta X è data sotto forma di tabella:
allora la funzione di ripartizione F(x) è determinata dalla formula:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" altezza="110">
0 per x≤ x1,
ð1 a x1< х≤ x2,
F(x)= ð1 + ð2 in x2< х≤ х3
1 per x>xn.
Il suo grafico è mostrato in Fig. 2:
§ 3. Caratteristiche numeriche di una variabile casuale discreta.
Una delle caratteristiche numeriche importanti è l'aspettativa matematica.
Definizione: Aspettativa matematica M(X) la variabile casuale discreta X è la somma dei prodotti di tutti i suoi valori e delle loro probabilità corrispondenti:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
L'aspettativa matematica serve come caratteristica del valore medio di una variabile casuale.
Proprietà dell'aspettativa matematica:
1)M(C)=C, dove C è un valore costante;
2)M(CX)=CM(X),
3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), dove X, Y sono variabili casuali indipendenti;
5)M(X±C)=M(X)±C, dove C è un valore costante;
Per caratterizzare il grado di dispersione dei possibili valori di una variabile casuale discreta attorno al suo valore medio, viene utilizzata la dispersione.
Definizione: Varianza D ( X ) la variabile casuale X è l'aspettativa matematica della deviazione al quadrato della variabile casuale dalla sua aspettativa matematica:
Proprietà di dispersione:
1)D(C)=0, dove C è un valore costante;
2)D(X)>0, dove X è una variabile casuale;
3)D(C X)=C2 D(X), dove C è un valore costante;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), dove X, Y sono variabili casuali indipendenti;
Per calcolare la varianza è spesso conveniente utilizzare la formula:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
dove M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
La varianza D(X) ha la dimensione di una variabile casuale quadrata, cosa non sempre conveniente. Pertanto il valore √D(X) viene utilizzato anche come indicatore della dispersione dei possibili valori di una variabile casuale.
Definizione: Deviazione standard σ(X) la variabile casuale X è detta radice quadrata della varianza:
Compito n. 2. La variabile casuale discreta X è specificata dalla legge di distribuzione:
Trova P2, la funzione di distribuzione F(x) e traccia il suo grafico, così come M(X), D(X), σ(X).
Soluzione: Poiché la somma delle probabilità dei possibili valori della variabile casuale X è uguale a 1, allora
Ð2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Troviamo la funzione di distribuzione F(x)=P(X Dal punto di vista geometrico, questa uguaglianza può essere interpretata come segue: F(x) è la probabilità che la variabile casuale assuma il valore rappresentato sull'asse dei numeri dal punto situato a sinistra del punto x. Se x≤-1, allora F(x)=0, poiché non esiste un singolo valore di questa variabile casuale su (-∞;x); Se -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Se 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) ci sono due valori x1=-1 e x2=0; Se 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Se 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Se x>3, allora F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0.3+0.2+0.3=1, perché nell'intervallo cadono quattro valori x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 e x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" larghezza="14 altezza=2" altezza="2"> 0 a x≤-1, 0,1 a -1<х≤0, 0,2 a 0<х≤1, F(x)= 0,5 a 1<х≤2, 0,7 a 2<х≤3, 1 a x>3 Rappresentiamo graficamente la funzione F(x) (Fig. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" larghezza="158 altezza=29" altezza="29">≈1.2845. §
4. Legge di distribuzione binomiale variabile casuale discreta, legge di Poisson. Definizione: Binomiale
è chiamata legge della distribuzione di una variabile casuale discreta X - il numero di occorrenze dell'evento A in n prove ripetute indipendenti, in ciascuna delle quali l'evento A può verificarsi con probabilità p o non verificarsi con probabilità q = 1-p. Quindi P(X=m) - la probabilità che si verifichi l'evento A esattamente m volte in n prove viene calcolata utilizzando la formula di Bernoulli: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m L'aspettativa matematica, la dispersione e la deviazione standard di una variabile casuale X distribuita secondo una legge binaria si trovano, rispettivamente, utilizzando le formule: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> La probabilità dell'evento A - "lanciare un cinque" in ogni prova è la stessa e pari a 1/6 , cioè . P(A)=p=1/6, allora P(A)=1-p=q=5/6, dove - "mancato conseguimento di una A." La variabile casuale X può assumere i seguenti valori: 0;1;2;3. Troviamo la probabilità di ciascuno dei possibili valori di X utilizzando la formula di Bernoulli: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Quello. la legge di distribuzione della variabile casuale X ha la forma: Controllo: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Troviamo le caratteristiche numeriche della variabile casuale X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Compito n. 4. Una macchina automatica stampa i pezzi. La probabilità che una parte prodotta sia difettosa è 0,002. Trova la probabilità che tra 1000 parti selezionate ci sia: a) 5 difettosi; b) almeno uno è difettoso. Soluzione:
Il numero n=1000 è grande, la probabilità di produrre un pezzo difettoso p=0,002 è piccola e gli eventi considerati (il pezzo risulta essere difettoso) sono indipendenti, quindi vale la formula di Poisson: Ðn(m)= e-
λ
λm Troviamo λ=np=1000 0,002=2. a) Trovare la probabilità che ci siano 5 parti difettose (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Trovare la probabilità che ci sia almeno una parte difettosa. L'evento A - "almeno una delle parti selezionate è difettosa" è l'opposto dell'evento - "tutte le parti selezionate non sono difettose". Pertanto, P(A) = 1-P(). Quindi la probabilità desiderata è pari a: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Compiti per lavoro indipendente.
1.1
1.2.
La variabile casuale dispersa X è specificata dalla legge di distribuzione: Trova p4, la funzione di distribuzione F(X) e traccia il suo grafico, così come M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Nella scatola ci sono 9 pennarelli di cui 2 che non scrivono più. Prendi 3 segnalini a caso. La variabile casuale X è il numero di marcatori di scrittura tra quelli presi. Elaborare una legge di distribuzione di una variabile casuale. 1.4.
Su uno scaffale della biblioteca ci sono 6 libri di testo disposti in modo casuale, 4 dei quali sono rilegati. Il bibliotecario prende 4 libri di testo a caso. La variabile casuale X è il numero di libri di testo rilegati tra quelli presi. Elaborare una legge di distribuzione di una variabile casuale. 1.5.
Ci sono due attività sul ticket. La probabilità di risolvere correttamente il primo problema è 0,9, il secondo è 0,7. La variabile casuale X è il numero di problemi risolti correttamente nel ticket. Elabora una legge di distribuzione, calcola l'aspettativa matematica e la varianza di questa variabile casuale, trova anche la funzione di distribuzione F(x) e costruisci il suo grafico. 1.6.
Tre tiratori stanno sparando al bersaglio. La probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,5 per il primo tiratore, 0,8 per il secondo e 0,7 per il terzo. La variabile casuale X è il numero di colpi sul bersaglio se i tiratori sparano un colpo alla volta. Trovare la legge di distribuzione, M(X),D(X). 1.7.
Un giocatore di basket lancia la palla nel canestro con una probabilità di colpire ogni tiro pari a 0,8. Per ogni colpo riceve 10 punti e, se fallisce, non gli viene assegnato alcun punto. Elabora una legge di distribuzione per la variabile casuale X: il numero di punti ricevuti da un giocatore di basket in 3 tiri. Trova M(X),D(X) e la probabilità che ottenga più di 10 punti. 1.8.
Sulle carte sono scritte le lettere, per un totale di 5 vocali e 3 consonanti. Si scelgono a caso 3 carte e ogni volta si restituisce la carta presa. La variabile casuale X è il numero di vocali tra quelle prese. Costruisci una legge di distribuzione e trova M(X),D(X),σ(X). 1.9.
In media, nel 60% dei contratti la compagnia assicurativa paga gli importi assicurativi in relazione al verificarsi di un evento assicurato. Elaborare una legge di distribuzione per la variabile casuale X - il numero di contratti per i quali è stato pagato l'importo dell'assicurazione tra quattro contratti selezionati a caso. Trova le caratteristiche numeriche di questa quantità. 1.10.
La stazione radio invia segnali di chiamata (non più di quattro) a determinati intervalli finché non viene stabilita la comunicazione bidirezionale. La probabilità di ricevere una risposta ad un indicativo di chiamata è 0,3. La variabile casuale X è il numero di indicativi di chiamata inviati. Elabora una legge di distribuzione e trova F(x). 1.11.
Ci sono 3 chiavi di cui solo una adatta alla serratura. Elabora una legge per la distribuzione della variabile casuale X-numero di tentativi di apertura della serratura, se la chiave provata non partecipa ai tentativi successivi. Trova M(X),D(X). 1.12.
Vengono eseguiti test indipendenti consecutivi di affidabilità di tre dispositivi. Ogni dispositivo successivo viene testato solo se il precedente si è rivelato affidabile. La probabilità di superare il test per ciascun dispositivo è 0,9. Elaborare una legge di distribuzione per la variabile casuale numero X dei dispositivi testati. 1.13
.La variabile casuale discreta X ha tre valori possibili: x1=1, x2, x3 e x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Il blocco del dispositivo elettronico contiene 100 elementi identici. La probabilità di guasto di ciascun elemento durante il tempo T è 0,002. Gli elementi funzionano in modo indipendente. Trovare la probabilità che non più di due elementi si guastino durante il tempo T. 1.15.
Il libro di testo è stato pubblicato con una tiratura di 50.000 copie. La probabilità che il libro di testo sia rilegato in modo errato è 0,0002. Trovare la probabilità che la circolazione contenga: a) quattro libri difettosi, b) meno di due libri difettosi. 1
.16.
Il numero di chiamate che arrivano al PBX ogni minuto è distribuito secondo la legge di Poisson con il parametro λ=1,5. Trovare la probabilità che in un minuto arrivi quanto segue: a) due chiamate; b) almeno una chiamata. 1.17.
Trova M(Z),D(Z) se Z=3X+Y. 1.18.
Sono date le leggi della distribuzione di due variabili casuali indipendenti: Trova M(Z),D(Z) se Z=X+2Y. Risposte:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" altezza="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 a x≤-2, 0,3 a -2<х≤0, F(x)= 0,5 a 0<х≤2, 0,9 a 2<х≤5, 1 a x>5 0,3 a -1<х≤0, 0,4 a 0<х≤1, F(x)= 0,6 a 1<х≤2, 0,7 a 2<х≤3, 1 a x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" larghezza="2 altezza=98" altezza="98"> 0 a x≤0, 0,03 a 0<х≤1, F(x)= 0,37 a 1<х≤2, 1 per x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Capitolo 2. Variabile casuale continua
Definizione: Continuo
è una quantità i cui tutti i valori possibili riempiono completamente un intervallo finito o infinito della linea numerica. Ovviamente il numero di possibili valori di una variabile casuale continua è infinito. Una variabile casuale continua può essere specificata utilizzando una funzione di distribuzione. Definizione: F funzione distributiva
una variabile casuale continua X è chiamata funzione F(x), che determina per ciascun valore xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" Height="13"> R La funzione di distribuzione è talvolta chiamata funzione di distribuzione cumulativa. Proprietà della funzione di distribuzione:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Per una variabile casuale continua, la funzione di distribuzione è continua in ogni punto e differenziabile ovunque, tranne, forse, nei singoli punti. 3) La probabilità che una variabile casuale X rientri in uno degli intervalli (a;b), [a;b], [a;b], è pari alla differenza tra i valori della funzione F(x) nei punti a e b, cioè RA)<Х 4) La probabilità che una variabile casuale continua X assuma un valore separato è 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Specificare una variabile casuale continua utilizzando una funzione di distribuzione non è l'unico modo. Introduciamo il concetto di densità di distribuzione di probabilità (densità di distribuzione). Definizione
:
Densità della distribuzione di probabilità
F
(
X
)
di una variabile casuale continua X è la derivata della sua funzione di distribuzione, ovvero: La funzione di densità di probabilità è talvolta chiamata funzione di distribuzione differenziale o legge di distribuzione differenziale. Il grafico della distribuzione della densità di probabilità f(x) si chiama curva di distribuzione di probabilità
.
Proprietà della distribuzione della densità di probabilità:
1) f(x) ≥0, in xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" larghezza="285" altezza="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" altezza="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8s; b) È noto che F(x)= ∫ f(x)dx Pertanto, x se x≤2, allora F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" altezza="38 src="> 2 6 x 6 6 se x>6, allora F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Così, 0 in x≤2, F(x)= (x-2)2/16 a 2<х≤6, 1 per x>6. Il grafico della funzione F(x) è mostrato in Fig. 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" larghezza="14" altezza="62 src="> 0 a x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π a 0<х≤√3, 1 per x>√3. Trova la funzione di distribuzione differenziale f(x) Soluzione:
Poiché f(x)= F’(x), allora DIV_ADBLOCK93"> · Aspettativa matematica M (X)
la variabile casuale continua X è determinata dall'uguaglianza: M(X)= ∫ x f(x)dx, a patto che tale integrale converga assolutamente. · Dispersione
D
(
X
)
la variabile casuale continua X è determinata dall'uguaglianza: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, oppure D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Deviazione standard σ(Х)
la variabile casuale continua è determinata dall'uguaglianza: Tutte le proprietà dell'aspettativa matematica e della dispersione, discusse in precedenza per le variabili casuali disperse, sono valide anche per quelle continue. Compito n.3. La variabile casuale X è specificata dalla funzione differenziale f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" altezza="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" altezza="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" altezza="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Problemi per soluzione indipendente.
2.1.
Una variabile casuale continua X è specificata dalla funzione di distribuzione: 0 a x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" larghezza="14" altezza="86"> 0 per x≤ π/6, F(x)= - cos 3x in π/6<х≤ π/3, 1 per x>π/3. Trova la funzione di distribuzione differenziale f(x), e anche Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 in x≤2, f(x)= cx a 2<х≤4, 0 per x>4. 2.4.
Una variabile casuale continua X è specificata dalla densità di distribuzione: 0 a x≤0, f(x)= c √x a 0<х≤1, 0 per x>1. Trova: a) numero c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" larghezza="36" altezza="39"> a x, 0 all'x. Trovare: a) F(x) e costruire il suo grafico; b) M(X),D(X), σ(X); c) la probabilità che in quattro prove indipendenti il valore di X assuma esattamente 2 volte il valore appartenente all'intervallo (1;4). 2.6.
La densità della distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua X è data: f(x)= 2(x-2) in x, 0 all'x. Trovare: a) F(x) e costruire il suo grafico; b) M(X),D(X), σ(X); c) la probabilità che in tre prove indipendenti il valore di X assuma esattamente 2 volte il valore appartenente al segmento . 2.7.
La funzione f(x) è data come: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" larghezza="43" altezza="38 src=">.jpg" larghezza="16" altezza="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
La funzione f(x) è data come: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" larghezza="45" altezza="36 src="> .jpg" larghezza="16" altezza="15">[- π /4; π /4]. Trova: a) il valore della costante c in cui la funzione sarà la densità di probabilità di una variabile casuale X; b) funzione di distribuzione F(x). 2.9.
La variabile casuale X, concentrata sull'intervallo (3;7), è specificata dalla funzione di distribuzione F(x)= . Trova la probabilità che la variabile casuale X assumerà il valore: a) minore di 5, b) non minore di 7. 2.10.
Variabile casuale X, concentrata sull'intervallo (-1;4), è dato dalla funzione di ripartizione F(x)= . Trova la probabilità che la variabile casuale X assumerà il valore: a) minore di 2, b) non minore di 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" larghezza="43" altezza="44 src="> .jpg" larghezza="16" altezza="15">. Trova: a) numero c; b) M(X); c) probabilità P(X> M(X)). 2.12.
La variabile casuale è specificata dalla funzione di distribuzione differenziale: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" larghezza="60" altezza="38 src=">.jpg" larghezza="16 altezza=15" altezza="15"> . Trovare: a) M(X); b) probabilità P(X≤M(X)) 2.13.
La distribuzione Rem è data dalla densità di probabilità: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" larghezza="46" altezza="37"> per x ≥0. Dimostrare che f(x) è effettivamente una funzione di densità di probabilità. 2.14.
La densità della distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua X è data: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" larghezza="187 altezza=136" altezza="136">(Fig. 5) 2.16.
La variabile casuale X è distribuita secondo la legge del “triangolo rettangolo” nell'intervallo (0;4) (Fig. 5). Trova un'espressione analitica per la densità di probabilità f(x) sull'intera linea numerica. Risposte
0 a x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" larghezza="14" altezza="86"> 0 per x≤ π/6, F(x)= 3sen 3x in π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 per x≤a, f(x)= per a<х 0 per x≥b. Il grafico della funzione f(x) è mostrato in Fig. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" larghezza="30" altezza="37">, D(X)=, σ(X)=. Compito n. 1. La variabile casuale X è distribuita uniformemente sul segmento. Trovare: a) densità di distribuzione di probabilità f(x) e tracciarla; b) la funzione di distribuzione F(x) e tracciarla; c) M(X),D(X), σ(X). Soluzione:
Utilizzando le formule discusse sopra, con a=3, b=7, troviamo: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" larghezza="22" altezza="39"> a 3≤х≤7, 0 per x>7 Costruiamo il suo grafico (Fig. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" larghezza="14" altezza="86 src="> 0 a x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" larghezza="203" altezza="119 src=">Fig. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" larghezza="37" altezza="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" larghezza="14" altezza="49 src="> 0 a x<0, f(x)= λе-λх per x≥0. La funzione di distribuzione di una variabile casuale X, distribuita secondo la legge esponenziale, è data dalla formula: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" larghezza="161" altezza="119 src="> Fig. 6 L'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard della distribuzione esponenziale sono rispettivamente pari a: M(X)= , D(X)=, σ (Х)= Pertanto, l'aspettativa matematica e la deviazione standard della distribuzione esponenziale sono uguali tra loro. La probabilità che X rientri nell'intervallo (a;b) si calcola con la formula: Papà<Х Compito n. 2. Il tempo medio di funzionamento senza guasti del dispositivo è di 100 ore. Assumendo che il tempo di funzionamento senza guasti del dispositivo abbia una legge di distribuzione esponenziale, trovare: a) densità della distribuzione di probabilità; b) funzione distributiva; c) la probabilità che il tempo di funzionamento senza guasti del dispositivo superi le 120 ore. Soluzione:
Secondo la condizione, la distribuzione matematica M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" Height="43 src="> 0 at x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x per x≥0. b) F(x)= 0 in x<0, 1-e -0,01x a x≥0. c) Troviamo la probabilità desiderata utilizzando la funzione di distribuzione: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3.Legge della distribuzione normale Definizione:
Ha una variabile casuale continua X legge della distribuzione normale (legge di Gauss),
se la sua densità di distribuzione ha la forma: dove m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Viene chiamata la curva di distribuzione normale curva normale o gaussiana
(Fig.7) La funzione di distribuzione di una variabile casuale X, distribuita secondo la legge normale, è espressa mediante la funzione di Laplace Ф (x) secondo la formula: dove è la funzione di Laplace. Commento:
La funzione Ф(x) è dispari (Ф(-х)=-Ф(х)), inoltre per x>5 possiamo assumere Ф(х) ≈1/2. Il grafico della funzione di distribuzione F(x) è mostrato in Fig. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" larghezza="218" altezza="33"> La probabilità che il valore assoluto della deviazione sia inferiore a un numero positivo δ si calcola con la formula: In particolare, per m=0 vale la seguente uguaglianza: "Regola dei tre Sigma"
Se una variabile casuale X ha una legge di distribuzione normale con parametri m e σ, allora è quasi certo che il suo valore si trova nell'intervallo (a-3σ; a+3σ), perché https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" larghezza="157" altezza="57 src=">a) b) Usiamo la formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" larghezza="369" altezza="38 src="> Dalla tabella dei valori della funzione Ф(х) troviamo Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Quindi, la probabilità desiderata: P(28 Compiti per lavoro indipendente
3.1.
La variabile casuale X è distribuita uniformemente nell'intervallo (-3;5). Trovare: b) funzione di distribuzione F(x); c) caratteristiche numeriche; d) probabilità P(4<х<6). 3.2.
La variabile casuale X è distribuita uniformemente sul segmento. Trovare: a) densità di distribuzione f(x); b) funzione di distribuzione F(x); c) caratteristiche numeriche; d) probabilità P(3≤х≤6). 3.3.
C'è un semaforo automatico sull'autostrada, in cui la luce verde è accesa per 2 minuti, gialla per 3 secondi, rossa per 30 secondi, ecc. Un'auto percorre l'autostrada in un momento casuale nel tempo. Trova la probabilità che un'auto superi un semaforo senza fermarsi. 3.4.
I treni della metropolitana circolano regolarmente a intervalli di 2 minuti. Un passeggero entra sulla piattaforma in un momento casuale. Qual è la probabilità che un passeggero debba aspettare più di 50 secondi per prendere il treno? Trova l'aspettativa matematica della variabile casuale X: il tempo di attesa del treno. 3.5.
Trova la varianza e la deviazione standard della distribuzione esponenziale data dalla funzione di distribuzione: F(x)= 0 in x<0, 1°-8x per x≥0. 3.6.
Una variabile casuale continua X è specificata dalla densità della distribuzione di probabilità: f(x)= 0 in x<0, 0,7 e-0,7x a x≥0. a) Nominare la legge di distribuzione della variabile casuale in esame. b) Trovare la funzione di distribuzione F(X) e le caratteristiche numeriche della variabile casuale X. 3.7.
La variabile casuale X è distribuita secondo la legge esponenziale specificata dalla densità di distribuzione di probabilità: f(x)= 0 in x<0, 0,4 e-0,4 x a x≥0. Trova la probabilità che come risultato del test X assuma un valore compreso nell'intervallo (2,5;5). 3.8.
Una variabile casuale continua X è distribuita secondo la legge esponenziale specificata dalla funzione di distribuzione: F(x)= 0 in x<0, 1°-0,6x a x≥0 Trova la probabilità che, come risultato del test, X assuma un valore dal segmento. 3.9.
Il valore atteso e la deviazione standard di una variabile casuale distribuita normalmente sono rispettivamente 8 e 2. Trova: a) densità di distribuzione f(x); b) la probabilità che come risultato del test X assuma un valore compreso nell'intervallo (10;14). 3.10.
La variabile casuale X è normalmente distribuita con un'aspettativa matematica di 3,5 e una varianza di 0,04. Trovare: a) densità di distribuzione f(x); b) la probabilità che a seguito del test X assuma un valore dal segmento . 3.11.
La variabile casuale X è normalmente distribuita con M(X)=0 e D(X)=1. Quale degli eventi: |X|≤0,6 o |X|≥0,6 è più probabile? 3.12.
La variabile casuale X è distribuita normalmente con M(X)=0 e D(X)=1. Da quale intervallo (-0,5;-0,1) o (1;2) è più probabile che assuma un valore durante un test? 3.13.
Il prezzo attuale per azione può essere modellato utilizzando la normale legge di distribuzione con M(X)=10 den. unità e σ (X)=0,3 den. unità Trovare: a) la probabilità che il prezzo corrente delle azioni sia compreso tra 9,8 den. unità fino a 10,4 giorni unità; b) utilizzando la “regola del tre sigma”, trovare i limiti entro i quali si troverà il prezzo corrente delle azioni. 3.14.
La sostanza viene pesata senza errori sistematici. Gli errori di pesatura casuali sono soggetti alla legge normale con il rapporto quadratico medio σ=5g. Trovare la probabilità che in quattro esperimenti indipendenti non si verifichi un errore in tre pesate in valore assoluto 3r. 3.15.
La variabile casuale X è normalmente distribuita con M(X)=12,6. La probabilità che una variabile casuale rientri nell'intervallo (11,4;13,8) è 0,6826. Trova la deviazione standard σ. 3.16.
La variabile casuale X è distribuita normalmente con M(X)=12 e D(X)=36. Trova l'intervallo in cui cadrà la variabile casuale X come risultato del test con una probabilità di 0,9973. 3.17.
Un pezzo fabbricato da una macchina automatica è considerato difettoso se la deviazione X del suo parametro controllato dal valore nominale supera le unità di misura modulo 2. Si assume che la variabile casuale X sia normalmente distribuita con M(X)=0 e σ(X)=0,7. Quale percentuale di pezzi difettosi produce la macchina? 3.18.
Il parametro X della parte è distribuito normalmente con un'aspettativa matematica di 2 pari al valore nominale e una deviazione standard di 0,014. Trova la probabilità che la deviazione di X dal valore nominale non superi l'1% del valore nominale. Risposte
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" larghezza="14" altezza="110 src="> b) 0 per x≤-3, F(x)= sinistra"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. X; Senso F(5); la probabilità che la variabile casuale X prenderà valori dal segmento . Costruisci un poligono di distribuzione. Stabilire la legge di distribuzione di una variabile casuale X sotto forma di tabella. Trova la funzione di distribuzione di una variabile casuale X. Costruire grafici di funzioni e . Calcolare l'aspettativa matematica, la varianza, la moda e la mediana di una variabile casuale X. Campione A: 6 9 7 6 4 4 Campione B: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 Opzione 17. Calcolare la sua aspettativa matematica e la sua varianza. Trova la funzione di distribuzione di una variabile casuale X. Costruire grafici di funzioni e . Calcolare l'aspettativa matematica, la varianza, la moda e la mediana della variabile casuale X. · media campionaria; · varianza di campionamento; Moda e mediana; Esempio A: 0 0 2 2 1 4 · media campionaria; · varianza di campionamento; deviazione standard del campione; · moda e mediana; Campione B: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 Opzione 18. Calcolare la sua aspettativa matematica e la sua varianza. Trova la funzione di distribuzione della variabile casuale X. Disegna i grafici delle funzioni e . Calcolare l'aspettativa matematica, la varianza, la moda e la mediana di una variabile casuale X. · media campionaria; · varianza di campionamento; deviazione standard del campione; · moda e mediana; Campione A: 4 7 6 3 3 4 · media campionaria; · varianza di campionamento; deviazione standard del campione; · moda e mediana; Campione B: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 Opzione 19. 1. Nel cantiere lavorano 16 donne e 5 uomini. 3 persone sono state selezionate a caso utilizzando i loro numeri di personale. Trova la probabilità che tutte le persone selezionate siano uomini. 2. Vengono lanciate quattro monete. Trova la probabilità che solo due monete abbiano uno “stemma”. 3. La parola “PSICOLOGIA” è composta da carte, su ciascuna delle quali è scritta una lettera. Le carte vengono mescolate ed estratte una alla volta senza restituirle. Determinare la probabilità che le lettere tolte formino una parola: a) PSICOLOGIA; b) PERSONALE. 4. L'urna contiene 6 palline nere e 7 bianche. Si estraggono a caso 5 palline. Trova la probabilità che tra questi ci siano: UN. 3 palline bianche; B. meno di 3 palline bianche; C. almeno una pallina bianca. 5. Probabilità che si verifichi un evento UN in una prova è pari a 0,5. Trova le probabilità dei seguenti eventi: UN. evento UN appare 3 volte in una serie di 5 prove indipendenti; B. evento UN apparirà almeno 30 e non più di 40 volte in una serie di 50 prove. 6. Esistono 100 macchine della stessa potenza, che funzionano indipendentemente l'una dall'altra nella stessa modalità, in cui la loro azionamento è accesa per 0,8 ore lavorative. Qual è la probabilità che in un dato momento vengano accese da 70 a 86 macchine? 7. La prima urna contiene 4 palline bianche e 7 nere, mentre la seconda urna contiene 8 palline bianche e 3 nere. Si estraggono casualmente 4 palline dalla prima urna e 1 pallina dalla seconda. Trova la probabilità che tra le palline estratte ci siano solo 4 palline nere. 8. Lo showroom di vendita di automobili riceve quotidianamente in volume automobili di tre marchi: “Moskvich” – 40%; "Va bene" - 20%; "Volga" - il 40% di tutte le auto importate. Tra le auto Moskvich, lo 0,5% ha un dispositivo antifurto, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Trovare la probabilità che l'auto presa per l'ispezione sia dotata di antifurto. 9. I numeri e sono scelti a caso sul segmento. Trova la probabilità che questi numeri soddisfino le disuguaglianze. 10. Viene fornita la legge della distribuzione di una variabile casuale X: Trova la funzione di distribuzione di una variabile casuale X; Senso F(2); la probabilità che la variabile casuale X prenderà valori dall'intervallo . Costruisci un poligono di distribuzione. Nelle applicazioni della teoria della probabilità, le caratteristiche quantitative dell'esperimento sono di primaria importanza. Una quantità che può essere determinata quantitativamente e che, a seguito di un esperimento, può assumere valori diversi a seconda dei casi si chiama variabile casuale. Esempi di variabili casuali: 1. Il numero di volte in cui appare un numero pari di punti in dieci lanci di un dado. 2. Il numero di colpi sul bersaglio da parte di un tiratore che spara una serie di colpi. 3. Il numero di frammenti di un proiettile che esplode. In ciascuno degli esempi riportati, la variabile casuale può assumere solo valori isolati, cioè valori che possono essere numerati utilizzando una serie naturale di numeri. Viene chiamata una tale variabile casuale, i cui possibili valori sono singoli numeri isolati, che questa variabile assume con determinate probabilità discreto. Il numero di possibili valori di una variabile casuale discreta può essere finito o infinito (numerabile). Legge della distribuzione Una variabile casuale discreta è un elenco dei suoi possibili valori e delle probabilità corrispondenti. La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta può essere specificata sotto forma di tabella (serie di distribuzione di probabilità), analiticamente e graficamente (poligono di distribuzione di probabilità). Quando si esegue un esperimento, diventa necessario valutare “in media” il valore studiato. Il ruolo del valore medio di una variabile casuale è svolto da una caratteristica numerica chiamata aspettativa matematica, che è determinato dalla formula Dove X 1 , X 2
,.. , X N– valori delle variabili casuali X, UN P 1 ,P 2 ,
... , P N– le probabilità di questi valori (notare che P 1
+
P 2
+…+
P N =
1). Esempio. Il tiro viene effettuato sul bersaglio (Fig. 11). Un colpo in I dà tre punti, in II – due punti, in III – un punto. Il numero di punti segnati in un tiro da un tiratore ha una legge di distribuzione della forma Per confrontare l'abilità dei tiratori è sufficiente confrontare i valori medi dei punti segnati, ovvero aspettative matematiche M(X) E M(Y):
M(X)
=
1
0,4
+ 2
0,2
+ 3
0,4
= 2,0, M(Y)
=
1
0,2
+ 2
0,5
+ 3
0,3
= 2,1. Il secondo tiratore assegna in media un numero di punti leggermente più alto, vale a dire darà risultati migliori se sparato ripetutamente. Notiamo le proprietà dell'aspettativa matematica: 1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa: M(C)
=C. 2. L'aspettativa matematica della somma delle variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini: M =(X 1 +
X 2 +…+
X N)=
M(X 1)+
M(X 2)+…+
M(X N). 3. L'aspettativa matematica del prodotto di variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale al prodotto delle aspettative matematiche dei fattori M(X 1 X 2 …
X N)
=
M(X 1)M(X 2)…
M(X N). 4. La negazione matematica della distribuzione binomiale è uguale al prodotto del numero di prove e della probabilità che un evento si verifichi in una prova (compito 4.6). M(X)
=pr. Valutare come una variabile casuale “in media” si discosta dalla sua aspettativa matematica, ad es. Per caratterizzare la diffusione dei valori di una variabile casuale nella teoria della probabilità, viene utilizzato il concetto di dispersione. Varianza variabile casuale Xè chiamata aspettativa matematica della deviazione quadrata: D(X)
=
M[(X
-
M(X)) 2 ]. La dispersione è una caratteristica numerica della dispersione di una variabile casuale. Dalla definizione è chiaro che quanto minore è la dispersione di una variabile casuale, tanto più strettamente si collocano i suoi possibili valori attorno all'aspettativa matematica, cioè tanto meglio i valori della variabile casuale sono caratterizzati dalla sua aspettativa matematica . Dalla definizione segue che la varianza può essere calcolata utilizzando la formula È conveniente calcolare la varianza utilizzando un'altra formula: D(X)
=
M(X 2)
- (M(X)) 2 .
La dispersione ha le seguenti proprietà: 1. La varianza della costante è zero: D(C)
=
0.
2. Il fattore costante può essere eliminato dal segno di dispersione elevandolo al quadrato: D(CX)
=
C 2 D(X). 3. La varianza della somma delle variabili casuali indipendenti è uguale alla somma della varianza dei termini: D(X 1 +
X 2 +
X 3 +…+
X N)=
D(X 1)+
D(X 2)+…+
D(X N) 4. La varianza della distribuzione binomiale è uguale al prodotto del numero di prove e della probabilità del verificarsi e del non verificarsi di un evento in una prova: D(X)
= npq. Nella teoria della probabilità viene spesso utilizzata una caratteristica numerica pari alla radice quadrata della varianza di una variabile casuale. Questa caratteristica numerica è chiamata deviazione quadratica media ed è indicata dal simbolo Caratterizza la dimensione approssimativa della deviazione di una variabile casuale dal suo valore medio e ha la stessa dimensione della variabile casuale. 4.1.
Il tiratore spara tre colpi al bersaglio. La probabilità di colpire il bersaglio con ogni tiro è 0,3. Costruisci una serie di distribuzione per il numero di risultati. Soluzione. Il numero di colpi è una variabile casuale discreta X. Ogni valore X N
variabile casuale X corrisponde ad una certa probabilità P N . In questo caso è possibile specificare la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta vicino alla distribuzione. In questo problema X assume valori 0, 1, 2, 3. Secondo la formula di Bernoulli Troviamo le probabilità dei possibili valori della variabile casuale: R 3 (0)
= (0,7) 3 =
0,343, R 3 (1)
= R 3 (2)
= R 3 (3)
= (0,3) 3 =
0,027. Organizzando i valori della variabile casuale X in ordine crescente si ottiene la serie di distribuzione: X N Si noti che l'importo indica la probabilità che la variabile casuale X assumerà almeno un valore tra quelli possibili, e questo evento è quindi attendibile 4.2
.Nell'urna ci sono quattro palline con i numeri da 1 a 4. Si estraggono due palline. Valore casuale X– la somma dei numeri delle palline. Costruire una serie di distribuzioni di una variabile casuale X. Soluzione. Valori delle variabili casuali X sono 3, 4, 5, 6, 7. Troviamo le probabilità corrispondenti. Valore della variabile casuale 3 X può essere accettato nell'unico caso in cui una delle palline selezionate ha il numero 1 e l'altra 2. Il numero di possibili risultati del test è pari al numero di combinazioni di quattro (il numero di possibili coppie di palline) di due. Usando la formula classica della probabilità otteniamo Allo stesso modo, R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6. La somma 5 può comparire in due casi: 1+4 e 2+3, quindi X ha la forma: Trova la funzione di distribuzione F(X) variabile casuale X e tracciarlo. Calcola per X la sua aspettativa matematica e la sua varianza. Soluzione. La legge di distribuzione di una variabile casuale può essere specificata dalla funzione di distribuzione F(X)
=P(X
X).
Funzione di distribuzione F(X) è una funzione non decrescente, continua a sinistra, definita sull'intera linea numerica, mentre F
(-
)=
0,F
(+
)=
1. Per una variabile casuale discreta, questa funzione è espressa dalla formula Pertanto in questo caso Grafico della funzione di distribuzione F(X) è una linea a gradini (Fig. 12) F(X) Valore attesoM(X) è la media aritmetica ponderata dei valori X 1 , X 2 ,……X N variabile casuale X con scale ρ
1,
ρ
2, ……
, ρ
N
ed è chiamato valore medio della variabile casuale X. Secondo la formula M(X)=x 1
ρ
1 +X 2
ρ
2 +……+x N
ρ
N M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72. Dispersione caratterizza il grado di dispersione dei valori di una variabile casuale dal suo valore medio ed è denotato D(X): D(X)=M[(HM(X)) 2 ]=M(X 2)
–[M(X)] 2 . Per una variabile casuale discreta, la varianza ha la forma oppure può essere calcolato utilizzando la formula Sostituendo i dati numerici del problema nella formula, otteniamo: M(X 2)
=
3 2
∙ 0,14+5 2
∙ 0,2+7 2
∙ 0,49+11 2
∙ 0,17 = 50,84 D(X)
= 50,84-6,72 2
= 5,6816. 4.4.
Due dadi vengono lanciati due volte contemporaneamente. Scrivere la legge binomiale della distribuzione di una variabile casuale discreta X- il numero di occorrenze di un numero totale pari di punti su due dadi. Soluzione. Introduciamo un evento casuale UN= (due dadi con un lancio hanno dato come risultato un totale di un numero pari di punti). Usando la definizione classica di probabilità troviamo R(UN)=
Dove N
- il numero dei possibili esiti del test viene trovato secondo la regola moltiplicazione: N
= 6∙6 =36, M
-
numero di persone favorevoli all'evento UN risultati - uguali M= 3∙6=18. Pertanto, la probabilità di successo in una prova è ρ
= p(UN)=
1/2.
Il problema viene risolto utilizzando uno schema di test di Bernoulli. Una sfida qui sarebbe lanciare due dadi una volta. Numero di tali test N
= 2. Variabile casuale X assume valori 0, 1, 2 con probabilità R 2 (0)
= La distribuzione binomiale richiesta di una variabile casuale X può essere rappresentato come una serie di distribuzione: X N ρ
N 4.5
. In un lotto di sei parti ci sono quattro parti standard. Tre parti sono state selezionate a caso. Costruire una distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta X– il numero di parti standard tra quelle selezionate e trovarne l'aspettativa matematica. Soluzione. Valori delle variabili casuali X sono i numeri 0,1,2,3. E' chiaro R(X=0)=0, poiché ci sono solo due parti non standard. R(X=1) = R(X= 2) = R(X=3) = Legge di distribuzione di una variabile casuale X Presentiamolo sotto forma di una serie di distribuzione: X N ρ
N Valore atteso M(X)=1
∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2. 4.6
. Dimostrare che l'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta X- numero di occorrenze dell'evento UN V N prove indipendenti, in ciascuna delle quali la probabilità che un evento si verifichi è pari a ρ
– uguale al prodotto del numero di prove per la probabilità del verificarsi di un evento in una prova, cioè per dimostrare che l'aspettativa matematica della distribuzione binomiale M(X)
=N .
ρ
, e dispersione D(X)
=n.p.
. Soluzione. Valore casuale X può assumere valori 0, 1, 2..., N. Probabilità R(X= k) si trova utilizzando la formula di Bernoulli: R(X=k)= R N(k)= Serie di distribuzione di una variabile casuale X ha la forma: X N ρ
N Q N Dove Q=
1-
ρ
. Per l'aspettativa matematica abbiamo l'espressione: M(X)= Nel caso di un test, cioè con n= 1 per variabile casuale X 1 – numero di occorrenze dell'evento UN- la serie della distribuzione ha la forma: X N ρ
N M(X 1)=
0∙q +
1
∙ P
=
P D(X 1)
=
P
–
P 2
=
P(1-
P)
=
pq. Se X k – numero di occorrenze dell'evento UN in quale prova, allora R(X A)=
ρ
E X=X 1 +X 2 +….+X N . Da qui otteniamo M(X)=M(X 1
)+M(X 2)+
… +M(X N)=
nρ,
D(X)=D(X 1)+D(X 2)+
...
+D(X N)=npq. 4.7.
Il reparto di controllo qualità verifica la standardizzazione dei prodotti. La probabilità che il prodotto sia standard è 0,9. Ogni lotto contiene 5 prodotti. Trovare l'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta X- il numero di lotti, ciascuno dei quali conterrà 4 prodotti standard - se 50 lotti sono soggetti a ispezione. Soluzione. La probabilità che ci siano 4 prodotti standard in ciascun lotto selezionato casualmente è costante; indichiamolo con ρ
.Quindi l'aspettativa matematica della variabile casuale X equivale M(X)=
50∙ρ.
Troviamo la probabilità ρ
secondo la formula di Bernoulli: ρ=P 5 (4)= M(X)=
50∙0,32=16. 4.8
. Si lanciano tre dadi. Trova l'aspettativa matematica della somma dei punti eliminati. Soluzione. Puoi trovare la distribuzione di una variabile casuale X- la somma dei punti eliminati e quindi la sua aspettativa matematica. Tuttavia questo percorso è troppo macchinoso. È più semplice utilizzare un'altra tecnica, rappresentando una variabile casuale X, la cui aspettativa matematica deve essere calcolata, sotto forma di somma di diverse variabili casuali più semplici, la cui aspettativa matematica è più facile da calcolare. Se la variabile casuale X ioè il numero di punti lanciati io– le ossa ( io= 1, 2, 3), quindi la somma dei punti X sarà espresso nel modulo X = X 1 +X 2 +X 3 . Per calcolare l'aspettativa matematica della variabile casuale originale, non resta che utilizzare la proprietà dell'aspettativa matematica M(X 1
+X 2 +X 3
)=M(X 1
)+M(X 2)+M(X 3
). E' ovvio R(X io =K)=
1/6, A=
1, 2, 3, 4, 5, 6,
io=
1,
2, 3. Pertanto, l'aspettativa matematica della variabile casuale X io sembra M(X io)
=
1/6∙1
+ 1/6∙2
+1/6∙3
+ 1/6∙4
+ 1/6∙5
+ 1/6∙6
= 7/2, M(X)
=
3∙7/2 = 10,5.
4.9.
Determinare l'aspettativa matematica del numero di dispositivi che hanno fallito durante il test se: a) la probabilità di guasto per tutti i dispositivi è la stessa R e il numero di dispositivi in prova è uguale a N; b) probabilità di fallimento per io
–
del dispositivo è uguale a P io
,
io=
1,
2, … , N. Soluzione. Consideriamo la variabile casuale Xè quindi il numero di dispositivi guasti X = X 1 +X 2 +... +X N ,
X io
=
E' chiaro R(X io =
1)=
R io ,
R(X io =
0)=
1–
R io ,io= 1,
2,
…
,N. M(X io)=
1∙R io +
0∙(1-R io)=P io , M(X)=M(X 1)+M(X 2)+…+M(X N)=P 1 +P 2 +…+P N .
Nel caso “a” la probabilità di guasto del dispositivo è la stessa R io =p,io= 1,
2, …
,N. M(X)=
n.p.. Questa risposta potrebbe essere ottenuta immediatamente se notiamo che la variabile casuale X ha una distribuzione binomiale con parametri ( N,
P).
4.10.
Due dadi vengono lanciati contemporaneamente due volte. Scrivere la legge binomiale della distribuzione di una variabile casuale discreta X - il numero di lanci di un numero pari di punti su due dadi. Soluzione. Permettere UN=(lanciando un numero pari con il primo dado), B =(lanciando un numero pari sul secondo dado). Ottenere un numero pari su entrambi i dadi in un solo lancio è espresso dal prodotto AB. Poi R
(AB)
= R(UN)∙R(IN)
=
Il risultato del secondo lancio di due dadi non dipende dal primo, quindi si applica la formula di Bernoulli quando N
=
2,p = 1/4,
Q
=
1– p = 3/4.
Valore casuale X può assumere valori 0, 1, 2 ,
la cui probabilità può essere trovata utilizzando la formula di Bernoulli: R(X= 0)= p 2
(0)
=
Q
2
= 9/16, R(X= 1)= p 2
(1)=C R(X= 2)= p 2
(2)=C Serie di distribuzione di una variabile casuale X: 4.11.
Il dispositivo è costituito da un gran numero di elementi funzionanti in modo indipendente con la stessa piccolissima probabilità di guasto di ciascun elemento nel tempo T. Trova il numero medio di rifiuti nel tempo T elementi, se la probabilità che almeno un elemento fallisca durante questo periodo è 0,98. Soluzione.
Numero di persone che hanno rifiutato nel tempo T elementi – variabile casuale X, che è distribuito secondo la legge di Poisson, poiché il numero di elementi è elevato, gli elementi funzionano in modo indipendente e la probabilità di guasto di ciascun elemento è piccola. Numero medio di occorrenze di un evento in N test è uguale M(X)
=
n.p..
Poiché la probabilità di fallimento A elementi da N espresso dalla formula R N
(A)
dove
=
n.p., quindi la probabilità che nessun singolo elemento fallisca nel tempo T
arriviamo a K = 0: R N
(0)= e - . Pertanto la probabilità dell’evento opposto è nel tempo T
almeno un elemento fallisce – pari a 1 - e -
. Secondo le condizioni del problema, questa probabilità è 0,98. Dall'Eq. 1
- e -
= 0,98, e -
= 1 – 0,98 =
0,02, da qui
=
-ln
0,02
4. Quindi, in tempo T funzionamento del dispositivo, in media 4 elementi falliranno. 4.12
. I dadi vengono lanciati finché non esce un “due”. Trova il numero medio di lanci. Soluzione. Introduciamo una variabile casuale X– il numero di test che dovranno essere eseguiti finché non si verifica l’evento di nostro interesse. La probabilità che X= 1 è uguale alla probabilità che durante un lancio di dadi esca un “due”, cioè R(X= 1)
= 1/6. Evento X= 2 significa che nella prima prova non è uscito il “due”, nella seconda sì. Probabilità dell'evento X= 2 si trova con la regola di moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti: R(X= 2)
= (5/6)∙(1/6) Allo stesso modo, R(X= 3)
= (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4)
= (5/6) 2 ∙1/6 eccetera. Otteniamo una serie di distribuzioni di probabilità: (5/6) A
∙1/6 Il numero medio di lanci (prove) è l'aspettativa matematica M(X)
=
1∙1/6 +
2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6
+ … + A
(5/6) A -1 ∙1/6
+ … = 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2
+ … + A
(5/6) A -1
+ …) Troviamo la somma della serie: Quindi, M(X)
=
(1/6) (1/ (1 –
5/6) 2
= 6. Pertanto, è necessario effettuare una media di 6 lanci di dadi finché non esce il "due". 4.13.
Vengono effettuati test indipendenti con la stessa probabilità di accadimento dell'evento UN in ogni prova. Trovare la probabilità che si verifichi un evento UN, se la varianza del numero di occorrenze di un evento in tre prove indipendenti è 0,63 .
Soluzione. Il numero di occorrenze di un evento in tre prove è una variabile casuale X, distribuiti secondo la legge binomiale. La varianza del numero di occorrenze di un evento in prove indipendenti (con la stessa probabilità di accadimento dell'evento in ciascuna prova) è pari al prodotto del numero di prove per le probabilità di accadimento e di non accadimento dell'evento (problema 4.6) D(X)
=
npq.
Per condizione N
=
3,
D(X)
=
0,63, quindi puoi R trovare dall'equazione 0,63
= 3∙R(1-R), che ha due soluzioni R 1
=
0,7 e R 2
=
0,3.
1.2.
p4=0,1; 0 a x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" larghezza="14" altezza="86"> 0 per x≤a,
,
La curva normale è simmetrica rispetto alla retta x=m, ha massimo in x=a, pari a .
,
X
–28
–20
–12
–4
P
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
X
P
0,1
0,2
0,3
0,4
.
.
,
0,3(0,7) 2
= 0,441,
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
.
.
.
,
,R 2 (1)
=
∙
,R 2 (2)
=
=1/5,
= 3/5,
= 1/5.
ρ
A
(1-ρ
) N- A
ρq N- 1
ρq N- 2
ρ
N
ρq N -
1
+2
ρ
2
Q N -
2
+…+.N
ρ
N
= 0,94∙0,1=0,32.
.
,R∙Q
=
6/16,
,
R 2
=
1/16.
,
AG
A -1
= (
G A)
G
.
Studio di funzioni per monotonicità ed estremi
Medio o mediano
Legge di distribuzione delle variabili aleatorie
Significato del nome: Ilya
Origine e carattere del nome Aidar