अलग एक यादृच्छिक चर कहा जाता है जो कुछ संभावनाओं के साथ अलग, पृथक मान ले सकता है।
उदाहरण 1।तीन सिक्के उछालने पर राज्य-चिह्न कितनी बार प्रकट होता है। संभावित मान: 0, 1, 2, 3, उनकी संभावनाएँ क्रमशः बराबर हैं:
पी(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .
उदाहरण 2.पांच तत्वों से युक्त एक उपकरण में विफल तत्वों की संख्या। संभावित मान: 0, 1, 2, 3, 4, 5; उनकी संभावनाएँ प्रत्येक तत्व की विश्वसनीयता पर निर्भर करती हैं।
असतत यादृच्छिक चर एक्सवितरण श्रृंखला या वितरण फलन (अभिन्न वितरण कानून) द्वारा दिया जा सकता है।
वितरण के निकट सभी संभावित मानों का समुच्चय है एक्समैंऔर उनकी संगत संभावनाएँ आरमैं = पी(एक्स = एक्समैं), इसे एक तालिका के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है:
| एक्स मैं | एक्स एन |
|||
| पी मैं | आरपी एन |
उसी समय, संभावनाएँ आरमैंशर्त पूरी करो
आरमैं= 1 क्योंकि 
संभावित मानों की संख्या कहां है एनपरिमित या अनंत हो सकता है.
वितरण श्रृंखला का चित्रमय प्रतिनिधित्व वितरण बहुभुज कहा जाता है . इसे बनाने के लिए, यादृच्छिक चर के संभावित मान ( एक्समैं) को x-अक्ष और संभावनाओं के साथ प्लॉट किया जाता है आरमैं- कोर्डिनेट अक्ष के साथ; अंक एमैंनिर्देशांक के साथ ( एक्समैं,आरमैं) टूटी हुई रेखाओं से जुड़े हुए हैं।
वितरण समारोह अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सफ़ंक्शन कहा जाता है एफ(एक्स), बिंदु पर जिसका मूल्य एक्सयादृच्छिक चर की प्रायिकता के बराबर है एक्सइस मान से कम होगा एक्स, वह है
एफ(एक्स) = पी(एक्स< х).
समारोह एफ(एक्स) के लिए असतत यादृच्छिक चरसूत्र द्वारा गणना की गई
एफ(एक्स) = आरमैं , (1.10.1)
जहां सभी मूल्यों का योग किया जाता है मैं, जिसके लिए एक्समैं< х.
उदाहरण 3. 100 उत्पादों वाले एक बैच से, जिनमें से 10 दोषपूर्ण हैं, उनकी गुणवत्ता की जांच करने के लिए पांच उत्पादों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। एक यादृच्छिक संख्या के वितरण की एक श्रृंखला का निर्माण करें एक्सनमूने में दोषपूर्ण उत्पाद शामिल हैं।
समाधान. चूंकि नमूने में दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या 0 से 5 सहित कोई भी पूर्णांक हो सकती है, तो संभावित मान एक्समैंअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सबराबर हैं:
x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5।
संभावना आर(एक्स = के) कि नमूने में बिल्कुल सही जानकारी है क(क = 0, 1, 2, 3, 4, 5) दोषपूर्ण उत्पाद, बराबर
पी (एक्स = के) = .
0.001 की सटीकता के साथ इस सूत्र का उपयोग करके गणना के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं:
आर 1 = पी(एक्स = 0) @ 0,583;आर 2 = पी(एक्स = 1) @ 0,340;आर 3 = पी(एक्स = 2) @ 0,070;
आर 4 = पी(एक्स = 3) @ 0,007;आर 5 = पी(एक्स= 4) @ 0;आर 6 = पी(एक्स = 5) @ 0.
जाँचने के लिए समानता का उपयोग करना आरक=1, हम सुनिश्चित करते हैं कि गणना और पूर्णांकन सही ढंग से किया गया था (तालिका देखें)।
| एक्स मैं | ||||||
| पी मैं |
उदाहरण 4.एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला दी गई है एक्स :
| एक्स मैं | |||||
| पी मैं |
संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन खोजें एफ(एक्स) इस यादृच्छिक चर का और इसका निर्माण करें।
समाधान. अगर एक्सफिर £10 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0;
यदि 10<एक्सफिर £20 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 ;
यदि 20<एक्सफिर £30 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;
यदि 30<एक्सफिर £40 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;
यदि 40<एक्सफिर £50 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;
अगर एक्स> 50, फिर एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.
वितरण का नियम और विशेषताएँ
यादृच्छिक चर
यादृच्छिक चर, उनका वर्गीकरण और वर्णन के तरीके।
यादृच्छिक मात्रा वह मात्रा है जो प्रयोग के परिणामस्वरूप एक या दूसरा मान ले सकती है, लेकिन कौन सा मान पहले से ज्ञात नहीं होता है। इसलिए, एक यादृच्छिक चर के लिए, आप केवल मान निर्दिष्ट कर सकते हैं, जिनमें से एक वह निश्चित रूप से प्रयोग के परिणामस्वरूप लेगा। निम्नलिखित में हम इन मानों को यादृच्छिक चर के संभावित मान कहेंगे। चूँकि एक यादृच्छिक चर मात्रात्मक रूप से किसी प्रयोग के यादृच्छिक परिणाम की विशेषता बताता है, इसे एक यादृच्छिक घटना की मात्रात्मक विशेषता के रूप में माना जा सकता है।
यादृच्छिक चर को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, X..Y..Z, और उनके संभावित मानों को संबंधित छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।
यादृच्छिक चर तीन प्रकार के होते हैं:
पृथक; निरंतर; मिश्रित।
अलगएक यादृच्छिक चर है जिसके संभावित मानों की संख्या एक गणनीय सेट बनाती है। बदले में, वह समुच्चय जिसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है, गणनीय कहलाता है। शब्द "असतत" लैटिन डिस्क्रेटस से आया है, जिसका अर्थ है "असंतत, अलग-अलग हिस्सों से मिलकर बना"।
उदाहरण 1. एक असतत यादृच्छिक चर nproducts के एक बैच में दोषपूर्ण भागों X की संख्या है। दरअसल, इस यादृच्छिक चर के संभावित मान 0 से n तक पूर्णांकों की एक श्रृंखला हैं।
उदाहरण 2. एक असतत यादृच्छिक चर लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या है। यहां, उदाहरण 1 की तरह, संभावित मानों को क्रमांकित किया जा सकता है, हालांकि सीमित मामले में संभावित मान एक असीम रूप से बड़ी संख्या है।
निरंतरएक यादृच्छिक चर है जिसके संभावित मान लगातार संख्यात्मक अक्ष के एक निश्चित अंतराल को भरते हैं, जिसे कभी-कभी इस यादृच्छिक चर के अस्तित्व का अंतराल भी कहा जाता है। इस प्रकार, अस्तित्व के किसी भी सीमित अंतराल पर, निरंतर यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या असीम रूप से बड़ी होती है।
उदाहरण 3. एक सतत यादृच्छिक चर एक उद्यम की मासिक बिजली खपत है।
उदाहरण 4. एक सतत यादृच्छिक चर एक अल्टीमीटर का उपयोग करके ऊंचाई मापने में त्रुटि है। अल्टीमीटर के ऑपरेटिंग सिद्धांत से ज्ञात हो कि त्रुटि 0 से 2 मीटर तक की सीमा में होती है। इसलिए, इस यादृच्छिक चर के अस्तित्व का अंतराल 0 से 2 मीटर तक का अंतराल है।
यादृच्छिक चरों के वितरण का नियम.
एक यादृच्छिक चर को पूरी तरह से निर्दिष्ट माना जाता है यदि इसके संभावित मान संख्यात्मक अक्ष पर इंगित किए जाते हैं और वितरण कानून स्थापित किया जाता है।
यादृच्छिक चर के वितरण का नियम एक ऐसा संबंध है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है।
एक यादृच्छिक चर को किसी दिए गए कानून के अनुसार, या किसी दिए गए वितरण कानून के अधीन वितरित किया जाता है। वितरण कानूनों के रूप में कई संभावनाओं, वितरण फ़ंक्शन, संभाव्यता घनत्व और विशेषता फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है।
वितरण कानून एक यादृच्छिक चर का पूर्ण संभावित विवरण देता है। वितरण नियम के अनुसार, कोई प्रयोग से पहले निर्णय ले सकता है कि यादृच्छिक चर के कौन से संभावित मान अधिक बार दिखाई देंगे और कौन से कम बार।
एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण कानून को एक तालिका के रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से (सूत्र के रूप में) और ग्राफिक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।
असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका (मैट्रिक्स) है, जो यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं को आरोही क्रम में सूचीबद्ध करता है, अर्थात।
ऐसी तालिका को असतत यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला कहा जाता है। 1
घटनाएँ X 1, X 2,..., X n, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर असंगत और एकमात्र संभव (चूंकि तालिका एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों को सूचीबद्ध करती है), यानी। एक पूरा समूह बनाएं. इसलिए, उनकी संभावनाओं का योग 1 के बराबर है। इस प्रकार, किसी भी असतत यादृच्छिक चर के लिए
(यह इकाई किसी तरह यादृच्छिक चर के मूल्यों के बीच वितरित की जाती है, इसलिए "वितरण" शब्द)।
यदि यादृच्छिक चर के मानों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और उनकी संबंधित संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, तो वितरण श्रृंखला को ग्राफिक रूप से चित्रित किया जा सकता है। प्राप्त बिंदुओं का कनेक्शन एक टूटी हुई रेखा बनाता है जिसे बहुभुज या संभाव्यता वितरण का बहुभुज कहा जाता है (चित्र 1)।
उदाहरणलॉटरी में शामिल हैं: 5,000 डेन की कीमत वाली एक कार। इकाइयाँ, 250 डेन की लागत वाले 4 टीवी। इकाइयाँ, 200 डेन मूल्य के 5 वीडियो रिकॉर्डर। इकाइयां 7 दिनों के लिए कुल 1000 टिकट बिके। इकाइयां एक टिकट खरीदने वाले लॉटरी प्रतिभागी द्वारा प्राप्त शुद्ध जीत के लिए एक वितरण कानून बनाएं।
समाधान. यादृच्छिक चर X के संभावित मान - प्रति टिकट शुद्ध जीत - 0-7 = -7 पैसे के बराबर हैं। इकाइयां (यदि टिकट नहीं जीता), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 डेन। इकाइयां (यदि टिकट पर क्रमशः वीसीआर, टीवी या कार की जीत दर्ज है)। यह मानते हुए कि 1000 टिकटों में से गैर-विजेताओं की संख्या 990 है, और संकेतित जीत क्रमशः 5, 4 और 1 है, और संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं।
अध्याय 1। असतत यादृच्छिक चर
§ 1. यादृच्छिक चर की अवधारणाएँ।
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम।
परिभाषा : यादृच्छिक एक मात्रा है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, अपने मूल्यों के संभावित सेट में से केवल एक मान लेती है, जो पहले से अज्ञात है और यादृच्छिक कारणों पर निर्भर करती है।
यादृच्छिक चर दो प्रकार के होते हैं: असतत और निरंतर।
परिभाषा : यादृच्छिक चर X कहा जाता है अलग (असंतत) यदि इसके मानों का समुच्चय परिमित या अनंत है लेकिन गणनीय है।
दूसरे शब्दों में, असतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों को पुनः क्रमांकित किया जा सकता है।
एक यादृच्छिक चर को उसके वितरण नियम का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है।
परिभाषा : असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार को कॉल करें।
असतत यादृच्छिक चर मूल्य, यानी
जहां р1+ р2+…+ рn=1
ऐसी तालिका को असतत यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला कहा जाता है।
यदि किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों का सेट अनंत है, तो श्रृंखला p1+ p2+…+ pn+… अभिसरण करती है और इसका योग 1 के बराबर होता है।
एक असतत यादृच्छिक चर परिणामी पंक्ति कहलाती है वितरण बहुभुज (चित्र .1)।
ऑर्गेनिक केमिस्ट्री" href='/text/category/organichesky_hiimya/' rel='bookmark'>ऑर्गेनिक केमिस्ट्री क्रमशः 0.7 और 0.8 हैं। यादृच्छिक चर X के लिए एक वितरण कानून बनाएं - परीक्षा की संख्या जो छात्र उत्तीर्ण करेगा।
समाधान। परीक्षा के परिणामस्वरूप माना गया यादृच्छिक चर X निम्नलिखित मानों में से एक ले सकता है: x1=0, x2=1, x3=2।
आइए इन मानों की प्रायिकता ज्ञात करें। आइए घटनाओं को निरूपित करें:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width=”259” ऊंचाई=”66 src=”>
 |
तो, यादृच्छिक चर X का वितरण कानून तालिका द्वारा दिया गया है:
नियंत्रण: 0.6+0.38+0.56=1.
§ 2. वितरण समारोह
वितरण फ़ंक्शन द्वारा यादृच्छिक चर का पूरा विवरण भी दिया जाता है।
परिभाषा: असतत यादृच्छिक चर X का वितरण फलन एक फ़ंक्शन F(x) कहा जाता है, जो प्रत्येक मान x के लिए संभावना निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X, x से कम मान लेगा:
एफ(एक्स)=पी(एक्स<х)
ज्यामितीय रूप से, वितरण फ़ंक्शन की व्याख्या इस संभावना के रूप में की जाती है कि यादृच्छिक चर X वह मान लेगा जो बिंदु x के बाईं ओर स्थित एक बिंदु द्वारा संख्या रेखा पर दर्शाया गया है।
1)0≤ एफ(एक्स) ≤1;
2) F(x) (-∞;+∞) पर एक गैर-घटता हुआ फलन है;
3) F(x) - बाईं ओर बिंदु x= xi (i=1,2,...n) पर निरंतर और अन्य सभी बिंदुओं पर निरंतर;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
यदि असतत यादृच्छिक चर X का वितरण नियम एक तालिका के रूप में दिया गया है:
तब वितरण फलन F(x) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" ऊंचाई='110'>
x≤ x1 के लिए 0,
x1 पर р1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 x2 पर< х≤ х3
एक्स> एक्सएन के लिए 1।
इसका ग्राफ़ चित्र 2 में दिखाया गया है:
§ 3. असतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ।
महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक गणितीय अपेक्षा है।
परिभाषा: गणितीय अपेक्षा एम(एक्स) असतत यादृच्छिक चर X उसके सभी मानों और उनकी संगत संभावनाओं के उत्पादों का योग है:
एम(एक्स) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य की विशेषता के रूप में कार्य करती है।
गणितीय अपेक्षा के गुण:
1)M(C)=C, जहां C एक स्थिर मान है;
2)एम(सी एक्स)=सी एम(एक्स),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), जहां X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं;
5)M(X±C)=M(X)±C, जहां C एक स्थिर मान है;
किसी असतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के उसके माध्य मान के आसपास फैलाव की डिग्री को चिह्नित करने के लिए, फैलाव का उपयोग किया जाता है।
परिभाषा: झगड़ा डी ( एक्स ) यादृच्छिक चर X अपनी गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है:
फैलाव गुण:
1)D(C)=0, जहां C एक स्थिर मान है;
2)D(X)>0, जहां X एक यादृच्छिक चर है;
3)D(CX)=C2 D(X), जहां C एक स्थिर मान है;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), जहां X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं;
विचरण की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करना अक्सर सुविधाजनक होता है:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
जहाँ M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
प्रसरण D(X) में एक वर्गाकार यादृच्छिक चर का आयाम है, जो हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। इसलिए, मान √D(X) का उपयोग यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के फैलाव के संकेतक के रूप में भी किया जाता है।
परिभाषा: मानक विचलन σ(एक्स) यादृच्छिक चर X को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है:
कार्य क्रमांक 2.असतत यादृच्छिक चर X वितरण कानून द्वारा निर्दिष्ट है:
P2, वितरण फ़ंक्शन F(x) ढूंढें और इसका ग्राफ, साथ ही M(X), D(X), σ(X) प्लॉट करें।
समाधान: चूँकि यादृच्छिक चर X के संभावित मानों की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है
Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1
आइए वितरण फ़ंक्शन F(x)=P(X खोजें ज्यामितीय रूप से, इस समानता की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: F(x) संभावना है कि यादृच्छिक चर वह मान लेगा जो बिंदु x के बाईं ओर स्थित बिंदु द्वारा संख्या अक्ष पर दर्शाया गया है। यदि x≤-1, तो F(x)=0, क्योंकि (-∞;x) पर इस यादृच्छिक चर का एक भी मान नहीं है; यदि -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; यदि 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) दो मान हैं x1=-1 और x2=0; यदि 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; यदि 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; यदि x>3, तो F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, क्योंकि चार मान x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 अंतराल (-∞;x) और x5=3 में आते हैं। https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width='14 ऊंचाई=2' ऊंचाई=2'> 0 x≤-1 पर, 0.1 पर -1<х≤0, 0.2 पर 0<х≤1, एफ(एक्स)= 1 पर 0.5<х≤2, 2 बजे 0.7<х≤3, 1 x>3 पर आइए फ़ंक्शन F(x) को आलेखीय रूप से निरूपित करें (चित्र 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width=”158 ऊंचाई=29” ऊंचाई=”29”>≈1.2845. §
4. द्विपद वितरण नियम असतत यादृच्छिक चर, पॉइसन का नियम। परिभाषा: द्विपद
असतत यादृच्छिक चर फिर P(X=m) - n परीक्षणों में घटना A के ठीक m बार घटित होने की संभावना की गणना बर्नौली सूत्र का उपयोग करके की जाती है: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m एक द्विआधारी कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर एक्स की गणितीय अपेक्षा, फैलाव और मानक विचलन क्रमशः सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> प्रत्येक परीक्षण में घटना A - "पांच को बाहर निकालना" की संभावना समान है और 1/6 के बराबर है , अर्थात . P(A)=p=1/6, फिर P(A)=1-p=q=5/6, जहां - "ए प्राप्त करने में विफलता।" यादृच्छिक चर X निम्नलिखित मान ले सकता है: 0;1;2;3. हम बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके एक्स के प्रत्येक संभावित मान की संभावना पाते हैं: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. वह। यादृच्छिक चर X के वितरण नियम का रूप है: नियंत्रण: 125/216+75/216+15/216+1/216=1। आइए यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात करें: एम(एक्स)=एनपी=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, टास्क नंबर 4.एक स्वचालित मशीन भागों पर मुहर लगाती है। निर्मित हिस्से के ख़राब होने की प्रायिकता 0.002 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1000 चयनित भागों में से होंगे: क) 5 दोषपूर्ण; बी) कम से कम एक ख़राब है। समाधान:
संख्या n=1000 बड़ी है, दोषपूर्ण भाग p=0.002 उत्पन्न होने की संभावना छोटी है, और विचाराधीन घटनाएँ (भाग दोषपूर्ण निकला) स्वतंत्र हैं, इसलिए पॉइसन सूत्र मानता है: Рn(m)= इ-
λ
λm आइए λ=np=1000 0.002=2 खोजें। a) 5 दोषपूर्ण भागों के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (m=5): Р1000(5)= इ-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 बी) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक भाग दोषपूर्ण होगा। घटना ए - "चयनित भागों में से कम से कम एक ख़राब है" घटना के विपरीत है - "सभी चयनित हिस्से ख़राब नहीं हैं।" इसलिए, पी(ए) = 1-पी()। इसलिए वांछित संभावना इसके बराबर है: P(A)=1-P1000(0)=1- इ-2
20
= 1- e-2=1-0.13534≈0.865. स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य.
1.1
1.2.
फैला हुआ यादृच्छिक चर X वितरण कानून द्वारा निर्दिष्ट है: वितरण फ़ंक्शन F(X) p4 ढूंढें और उसका ग्राफ़, साथ ही M(X), D(X), σ(X) प्लॉट करें। 1.3.
बॉक्स में 9 मार्कर हैं, जिनमें से 2 पर अब लिखना बंद हो गया है। यादृच्छिक रूप से 3 मार्कर लें। रैंडम वेरिएबल X लिए गए लेखन मार्करों की संख्या है। यादृच्छिक चर के वितरण का एक नियम बनाएं। 1.4.
लाइब्रेरी शेल्फ पर 6 पाठ्यपुस्तकें बेतरतीब ढंग से व्यवस्थित हैं, जिनमें से 4 जिल्दबंद हैं। लाइब्रेरियन यादृच्छिक रूप से 4 पाठ्यपुस्तकें लेता है। रैंडम वेरिएबल X ली गई पाठ्यपुस्तकों में से बाध्य पाठ्यपुस्तकों की संख्या है। यादृच्छिक चर के वितरण का एक नियम बनाएं। 1.5.
टिकट पर दो कार्य हैं। पहली समस्या को सही ढंग से हल करने की संभावना 0.9 है, दूसरी 0.7 है। रैंडम वेरिएबल X टिकट में सही ढंग से हल की गई समस्याओं की संख्या है। एक वितरण कानून बनाएं, इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता की गणना करें, और वितरण फ़ंक्शन F(x) भी ढूंढें और इसका ग्राफ़ बनाएं। 1.6.
तीन निशानेबाज एक लक्ष्य पर निशाना साध रहे हैं. एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना पहले निशानेबाज के लिए 0.5, दूसरे के लिए 0.8 और तीसरे के लिए 0.7 है। यदि निशानेबाज एक समय में एक गोली चलाते हैं तो रैंडम वेरिएबल एक्स लक्ष्य पर हिट की संख्या है। वितरण नियम, M(X),D(X) ज्ञात कीजिए। 1.7.
एक बास्केटबॉल खिलाड़ी 0.8 की प्रत्येक शॉट मारने की संभावना के साथ गेंद को टोकरी में फेंकता है। प्रत्येक हिट के लिए, उसे 10 अंक मिलते हैं, और यदि वह चूक जाता है, तो उसे कोई अंक नहीं दिया जाता है। यादृच्छिक चर X के लिए एक वितरण कानून बनाएं - एक बास्केटबॉल खिलाड़ी द्वारा 3 शॉट्स में प्राप्त अंकों की संख्या। M(X),D(X), साथ ही संभावना ज्ञात करें कि उसे 10 से अधिक अंक मिले। 1.8.
कार्ड पर अक्षर लिखे गए हैं, कुल 5 स्वर और 3 व्यंजन। 3 कार्ड यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं, और हर बार लिया गया कार्ड वापस लौटा दिया जाता है। यादृच्छिक चर X लिए गए स्वरों में से स्वरों की संख्या है। एक वितरण कानून बनाएं और M(X),D(X),σ(X) खोजें। 1.9.
औसतन, 60% अनुबंधों के तहत, बीमा कंपनी किसी बीमित घटना के घटित होने के संबंध में बीमा राशि का भुगतान करती है। यादृच्छिक चर X के लिए एक वितरण कानून बनाएं - उन अनुबंधों की संख्या जिनके लिए बीमा राशि का भुगतान यादृच्छिक रूप से चुने गए चार अनुबंधों के बीच किया गया था। इस मात्रा की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए। 1.10.
दोतरफा संचार स्थापित होने तक रेडियो स्टेशन निश्चित अंतराल पर कॉल संकेत (चार से अधिक नहीं) भेजता है। कॉल साइन पर प्रतिक्रिया प्राप्त करने की संभावना 0.3 है। यादृच्छिक चर X भेजे गए कॉल संकेतों की संख्या है। एक वितरण कानून बनाएं और F(x) खोजें। 1.11.
इसमें 3 चाबियाँ हैं, जिनमें से केवल एक ही ताले में फिट होती है। यदि आज़माई गई कुंजी बाद के प्रयासों में भाग नहीं लेती है, तो ताला खोलने के प्रयासों की यादृच्छिक चर एक्स-संख्या के वितरण के लिए एक कानून बनाएं। एम(एक्स),डी(एक्स) खोजें। 1.12.
विश्वसनीयता के लिए तीन उपकरणों का लगातार स्वतंत्र परीक्षण किया जाता है। प्रत्येक अगले उपकरण का परीक्षण केवल तभी किया जाता है जब पिछला विश्वसनीय निकला हो। प्रत्येक डिवाइस के लिए परीक्षा उत्तीर्ण करने की संभावना 0.9 है। परीक्षण किए गए उपकरणों के यादृच्छिक चर एक्स-संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं। 1.13
.असतत यादृच्छिक चर X के तीन संभावित मान हैं: x1=1, x2, x3, और x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
इलेक्ट्रॉनिक डिवाइस ब्लॉक में 100 समान तत्व होते हैं। समय T के दौरान प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.002 है। तत्व स्वतंत्र रूप से कार्य करते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि समय T के दौरान दो से अधिक तत्व विफल नहीं होंगे। 1.15.
पाठ्यपुस्तक 50,000 प्रतियों के संचलन में प्रकाशित हुई थी। पाठ्यपुस्तक के गलत तरीके से बंधे होने की प्रायिकता 0.0002 है। संभाव्यता ज्ञात कीजिए कि संचलन में शामिल हैं: क) चार दोषपूर्ण पुस्तकें, ख) दो से कम दोषपूर्ण पुस्तकें। 1
.16.
हर मिनट पीबीएक्स पर आने वाली कॉलों की संख्या पॉइसन के नियम के अनुसार पैरामीटर λ=1.5 के साथ वितरित की जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक मिनट में निम्नलिखित आ जाएगा: ए) दो कॉल; बी) कम से कम एक कॉल। 1.17.
यदि Z=3X+Y है तो M(Z),D(Z) खोजें। 1.18.
दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के वितरण के नियम दिए गए हैं: यदि Z=X+2Y है तो M(Z),D(Z) खोजें। उत्तर:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" ऊंचाई='110'> 1.1.
p3=0.4; 0 x≤-2 पर, 0.3 पर -2<х≤0, F(x)= 0.5 पर 0<х≤2, 2 बजे 0.9<х≤5, 1 x>5 पर -1 पर 0.3<х≤0, 0.4 पर 0<х≤1, एफ(एक्स)= 0.6 1 पर<х≤2, 2 बजे 0.7<х≤3, 1 x>3 पर एम(एक्स)=1; डी(एक्स)=2.6; σ(एक्स) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width=”2 ऊंचाई=98” ऊंचाई=”98”> 0 x≤0 पर, 0.03 पर 0<х≤1, एफ(एक्स)= 1 पर 0.37<х≤2, x>2 के लिए 1 एम(एक्स)=2; डी(एक्स)=0.62 एम(एक्स)=2.4; डी(एक्स)=0.48, पी(एक्स>10)=0.896 1.
8
.
एम(एक्स)=15/8; डी(एक्स)=45/64; σ(एक्स) ≈ एम(एक्स)=2.4; डी(एक्स)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
एम(एक्स)=2; डी(एक्स)=2/3 1.14.
1.22 ई-0.2≈0.999 1.15.
ए)0.0189; बी) 0.00049 1.16.
ए)0.0702; बी)0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. अध्याय दो। निरंतर यादृच्छिक चर
परिभाषा: निरंतर
एक मात्रा है जिसके सभी संभावित मान संख्या रेखा के एक सीमित या अनंत विस्तार को पूरी तरह भरते हैं। जाहिर है, एक सतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या अनंत है। एक सतत यादृच्छिक चर को वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। परिभाषा:एफ वितरण समारोह
एक सतत यादृच्छिक चर आर वितरण फ़ंक्शन को कभी-कभी संचयी वितरण फ़ंक्शन भी कहा जाता है। वितरण फलन के गुण:
1)1≤ एफ(एक्स) ≤1 2) एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण फ़ंक्शन किसी भी बिंदु पर निरंतर होता है और व्यक्तिगत बिंदुओं को छोड़कर, हर जगह भिन्न होता है। 3) एक यादृच्छिक चर बिंदु ए और बी पर, यानी आर(ए)<Х 4) एक सतत यादृच्छिक चर X के एक अलग मान लेने की प्रायिकता 0 है। 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निरंतर यादृच्छिक चर निर्दिष्ट करना एकमात्र तरीका नहीं है। आइए हम संभाव्यता वितरण घनत्व (वितरण घनत्व) की अवधारणा का परिचय दें। परिभाषा
:
संभाव्यता वितरण घनत्व
एफ
(
एक्स
)
एक सतत यादृच्छिक चर का X इसके वितरण फलन का व्युत्पन्न है, अर्थात: संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को कभी-कभी अंतर वितरण फ़ंक्शन या अंतर वितरण कानून कहा जाता है। संभाव्यता घनत्व वितरण का ग्राफ f(x) कहलाता है संभाव्यता वितरण वक्र
.
संभाव्यता घनत्व वितरण के गुण:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width='285' ऊंचाई='141'>DIV_ADBLOCK92"> पर https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38 src='> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8s; बी) यह ज्ञात है कि F(x)= ∫ f(x)dx इसलिए, एक्स यदि x≤2, तो F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38 src='> 2 6 x 6 6 यदि x>6, तो F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. इस प्रकार, 0 x≤2 पर, F(x)= (x-2)2/16 2 पर<х≤6, x>6 के लिए 1. फ़ंक्शन F(x) का ग्राफ चित्र 3 में दिखाया गया है https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width='14' ऊंचाई='62 src='> 0 x≤0 पर, F(x)= (3 आर्कटान x)/π 0 पर<х≤√3, x>√3 के लिए 1. विभेदक वितरण फ़ंक्शन f(x) खोजें समाधान:
चूँकि f(x)= F'(x), तो DIV_ADBLOCK93"> · गणितीय अपेक्षा एम (एक्स)
निरंतर यादृच्छिक चर X समानता द्वारा निर्धारित होते हैं: एम(एक्स)= ∫ एक्स एफ(एक्स)डीएक्स, बशर्ते कि यह अभिन्न अंग पूर्ण रूप से अभिसरण हो। · फैलाव
डी
(
एक्स
)
निरंतर यादृच्छिक चर X समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, या D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · मानक विचलन σ(एक्स)
निरंतर यादृच्छिक चर समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है: बिखरे हुए यादृच्छिक चर के लिए पहले चर्चा की गई गणितीय अपेक्षा और फैलाव के सभी गुण, निरंतर वाले के लिए भी मान्य हैं। कार्य क्रमांक 3.यादृच्छिक चर X को अंतर फ़ंक्शन f(x) द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" ऊंचाई='38'> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38'> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38'> पी(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएँ.
2.1.
एक सतत यादृच्छिक चर X वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: 0 x≤0 पर, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width=”14” ऊंचाई=”86”> 0 x≤ π/6 के लिए, F(x)= - cos 3x π/6 पर<х≤ π/3, x> π/3 के लिए 1. विभेदक वितरण फ़ंक्शन f(x), और भी खोजें Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 x≤2 पर, f(x)= c x 2 पर<х≤4, x>4 के लिए 0. 2.4.
एक सतत यादृच्छिक चर X वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: 0 x≤0 पर, f(x)= c √x 0 पर<х≤1, x>1 के लिए 0. खोजें: ए) संख्या सी; बी) एम(एक्स), डी(एक्स)। 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width=”36” ऊंचाई=”39”> x पर, x पर 0. खोजें: a) F(x) और इसका ग्राफ बनाएं; बी) एम(एक्स),डी(एक्स), σ(एक्स); सी) संभावना है कि चार स्वतंत्र परीक्षणों में एक्स का मान अंतराल (1;4) से संबंधित मान का ठीक 2 गुना होगा। 2.6.
एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण घनत्व दिया गया है: f(x)= 2(x-2) x पर, x पर 0. खोजें: a) F(x) और इसका ग्राफ बनाएं; बी) एम(एक्स),डी(एक्स), σ (एक्स); ग) संभावना है कि तीन स्वतंत्र परीक्षणों में एक्स का मूल्य खंड से संबंधित मूल्य का ठीक 2 गुना होगा। 2.7.
फ़ंक्शन f(x) इस प्रकार दिया गया है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width=”43″ ऊंचाई=”38 src=”>.jpg” width=”16” ऊंचाई=”15”>[-√ 3/2; √3/2]। 2.8.
फ़ंक्शन f(x) इस प्रकार दिया गया है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width=”45” ऊंचाई=”36 src=”> .jpg” width=”16” ऊंचाई=”15”>[- π /4 ; π /4]. खोजें: ए) स्थिरांक सी का मान जिस पर फ़ंक्शन कुछ यादृच्छिक चर एक्स की संभाव्यता घनत्व होगा; बी) वितरण समारोह एफ(एक्स)। 2.9.
यादृच्छिक चर X, अंतराल (3;7) पर केंद्रित है, वितरण फ़ंक्शन F(x)= द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए यादृच्छिक चर X मान लेगा: a) 5 से कम, b) 7 से कम नहीं। 2.10.
यादृच्छिक चर X, अंतराल पर केंद्रित (-1;4), वितरण फलन F(x)= द्वारा दिया गया है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए यादृच्छिक चर X मान लेगा: a) 2 से कम, b) 4 से कम नहीं। 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width=”43″ ऊंचाई=”44 src=”> .jpg” width=”16” ऊंचाई=”15”>. खोजें: ए) संख्या सी; बी) एम(एक्स); सी) संभाव्यता पी(एक्स> एम(एक्स)). 2.12.
यादृच्छिक चर को अंतर वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width=”60” ऊंचाई=”38 src=”>.jpg” width=”16 ऊंचाई=15” ऊंचाई=”15”> . खोजें: ए) एम(एक्स); बी) संभावना P(X≤M(X)) 2.13.
रेम वितरण संभाव्यता घनत्व द्वारा दिया गया है: x ≥0 के लिए https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg' width='46' ऊंचाई='37'>। साबित करें कि f(x) वास्तव में एक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है। 2.14.
एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण घनत्व दिया गया है: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width=”187 ऊंचाई=136” ऊंचाई=”136”>(चित्र 5) 2.16.
यादृच्छिक चर X को अंतराल (0;4) में "समकोण त्रिभुज" नियम के अनुसार वितरित किया जाता है (चित्र 5)। संपूर्ण संख्या रेखा पर संभाव्यता घनत्व f(x) के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति खोजें। जवाब
0 x≤0 पर, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width=”14” ऊंचाई=”86”> 0 x≤ π/6 के लिए, F(x)= 3sin 3x π/6 पर<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. x≤a के लिए 0, f(x)= a के लिए<х x≥b के लिए 0. फलन f(x) का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width=”30” ऊंचाई=”37”>, D(X)=, σ(X)=. कार्य क्रमांक 1.यादृच्छिक चर X को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। खोजो: ए) संभाव्यता वितरण घनत्व एफ (एक्स) और इसे प्लॉट करें; बी) वितरण फ़ंक्शन एफ(एक्स) और इसे प्लॉट करें; सी) एम(एक्स),डी(एक्स), σ(एक्स)। समाधान:
ऊपर चर्चा किए गए सूत्रों का उपयोग करते हुए, a=3, b=7 के साथ, हम पाते हैं: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width=”22” ऊंचाई=”39”> 3≤х≤7 पर, x>7 के लिए 0 आइए इसका ग्राफ बनाएं (चित्र 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width='14' ऊंचाई='86 src='> 0 x≤3 पर, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width=”203” ऊंचाई=”119 src=”>चित्र 4 डी(एक्स) ===https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width='37' ऊंचाई='43'>==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width=”14” ऊंचाई=”49 src=”> 0 x पर<0, f(x)= λе-λх x≥0 के लिए। घातांकीय नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर X का वितरण फलन सूत्र द्वारा दिया गया है: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width=”161” ऊंचाई=”119 src=”> चित्र 6 घातीय वितरण की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन क्रमशः बराबर हैं: एम(एक्स)= , डी(एक्स)=, σ (Х)= इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा और घातीय वितरण का मानक विचलन एक दूसरे के बराबर हैं। X के अंतराल (a;b) में गिरने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: पी(ए<Х कार्य क्रमांक 2.डिवाइस का औसत विफलता-मुक्त संचालन समय 100 घंटे है। यह मानते हुए कि डिवाइस के विफलता-मुक्त संचालन समय में एक घातीय वितरण कानून है, खोजें: ए) संभाव्यता वितरण घनत्व; बी) वितरण समारोह; ग) संभावना है कि डिवाइस का विफलता-मुक्त संचालन समय 120 घंटे से अधिक होगा। समाधान:
शर्त के अनुसार, गणितीय वितरण M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" ऊंचाई='43 src='> 0 x पर<0, a) x≥0 के लिए f(x)= 0.01e -0.01x। बी) एफ(एक्स)= 0 x पर<0, 1-e -0.01x x≥0 पर। ग) हम वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके वांछित संभावना पाते हैं: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3. सामान्य वितरण कानून परिभाषा:
एक सतत यादृच्छिक चर X है सामान्य वितरण नियम (गॉस का नियम),
यदि इसके वितरण घनत्व का रूप है: जहां m=M(X), σ2=D(X), σ>0. सामान्य वितरण वक्र कहलाता है सामान्य या गाऊसी वक्र
(चित्र.7) एक यादृच्छिक चर X का वितरण फ़ंक्शन, सामान्य कानून के अनुसार वितरित, लाप्लास फ़ंक्शन Ф (x) के माध्यम से सूत्र के अनुसार व्यक्त किया जाता है: लाप्लास फ़ंक्शन कहां है. टिप्पणी:
फ़ंक्शन Ф(x) विषम है (Ф(-х)=-Ф(х)), इसके अलावा, x>5 के लिए हम Ф(х) ≈1/2 मान सकते हैं। वितरण फलन F(x) का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width=”218” ऊंचाई=”33”> संभावना है कि विचलन का पूर्ण मान एक सकारात्मक संख्या से कम है δ सूत्र द्वारा गणना की जाती है: विशेष रूप से, m=0 के लिए निम्नलिखित समानता कायम है: "तीन सिग्मा नियम"
यदि एक यादृच्छिक चर https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width=”157” ऊंचाई=”57 src=”>a) ख) आइए सूत्र का उपयोग करें: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width=”369″ ऊंचाई=”38 src=”> फ़ंक्शन मानों की तालिका से Ф(х) हम Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 पाते हैं। तो, वांछित संभावना: पी(28 स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य
3.1.
यादृच्छिक चर X को अंतराल (-3;5) में समान रूप से वितरित किया जाता है। खोजो: बी) वितरण समारोह एफ(एक्स); ग) संख्यात्मक विशेषताएँ; डी) संभाव्यता पी(4<х<6). 3.2.
यादृच्छिक चर X को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। खोजो: ए) वितरण घनत्व एफ(एक्स); बी) वितरण समारोह एफ(एक्स); ग) संख्यात्मक विशेषताएँ; d) प्रायिकता P(3≤х≤6). 3.3.
राजमार्ग पर एक स्वचालित ट्रैफिक लाइट होती है, जिसमें हरी बत्ती 2 मिनट के लिए, पीली बत्ती 3 सेकंड के लिए, लाल बत्ती 30 सेकंड के लिए जलती है, आदि। एक कार यादृच्छिक समय पर राजमार्ग पर चलती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक कार बिना रुके ट्रैफिक लाइट से गुजर जाएगी। 3.4.
सबवे ट्रेनें नियमित रूप से 2 मिनट के अंतराल पर चलती हैं। एक यात्री यादृच्छिक समय पर प्लेटफार्म में प्रवेश करता है। इसकी क्या संभावना है कि किसी यात्री को ट्रेन के लिए 50 सेकंड से अधिक इंतजार करना पड़ेगा? यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें - ट्रेन के लिए प्रतीक्षा समय। 3.5.
वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिए गए घातांकीय वितरण का विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें: F(x)= 0 x पर<0, x≥0 के लिए पहला-8x। 3.6.
एक सतत यादृच्छिक चर X संभाव्यता वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: x पर f(x)= 0<0, 0.7 e-0.7x x≥0 पर। ए) विचाराधीन यादृच्छिक चर के वितरण कानून का नाम बताइए। बी) वितरण फ़ंक्शन F(X) और यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं। 3.7.
यादृच्छिक चर X को संभाव्यता वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है: x पर f(x)= 0<0, 0.4 e-0.4 x x≥0 पर। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप X अंतराल (2.5;5) से एक मान लेगा। 3.8.
एक सतत यादृच्छिक चर X को वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है: F(x)= 0 x पर<0, 1st-0.6x x≥0 पर प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, X खंड से एक मान लेगा। 3.9.
सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान और मानक विचलन क्रमशः 8 और 2 हैं। खोजें: ए) वितरण घनत्व एफ(एक्स); बी) संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्स अंतराल (10;14) से एक मान लेगा। 3.10.
यादृच्छिक चर X को सामान्यतः 3.5 की गणितीय अपेक्षा और 0.04 के भिन्नता के साथ वितरित किया जाता है। खोजो: ए) वितरण घनत्व एफ(एक्स); बी) संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्स खंड से एक मूल्य लेगा। 3.11.
यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=0 और D(X)=1 के साथ वितरित किया जाता है। इनमें से कौन सी घटना: |X|≤0.6 या |X|≥0.6 अधिक संभावित है? 3.12.
यादृच्छिक चर 3.13.
प्रति शेयर मौजूदा कीमत को एम(एक्स)=10 डेन के साथ सामान्य वितरण कानून का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है। इकाइयां और σ (X)=0.3 डेन. इकाइयां खोजो: ए) संभावना है कि मौजूदा शेयर की कीमत 9.8 डेन से होगी। इकाइयां 10.4 दिन तक इकाइयाँ; बी) "थ्री सिग्मा नियम" का उपयोग करके, उन सीमाओं का पता लगाएं जिनके भीतर वर्तमान स्टॉक मूल्य स्थित होगा। 3.14.
पदार्थ को व्यवस्थित त्रुटियों के बिना तौला जाता है। यादृच्छिक वजन त्रुटियां माध्य वर्ग अनुपात σ=5g के साथ सामान्य कानून के अधीन हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चार स्वतंत्र प्रयोगों में तीन भारों में त्रुटि निरपेक्ष मान 3r में नहीं होगी। 3.15.
यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=12.6 के साथ वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के अंतराल (11.4;13.8) में गिरने की संभावना 0.6826 है। मानक विचलन ज्ञात करें σ. 3.16.
यादृच्छिक चर 3.17.
स्वचालित मशीन द्वारा निर्मित एक भाग को दोषपूर्ण माना जाता है यदि इसके नियंत्रित पैरामीटर का नाममात्र मूल्य से विचलन माप की मॉड्यूलो 2 इकाइयों से अधिक हो। यह माना जाता है कि यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=0 और σ(X)=0.7 के साथ वितरित किया जाता है। मशीन कितने प्रतिशत ख़राब हिस्से बनाती है? 3.18.
भाग का एक्स पैरामीटर सामान्य रूप से नाममात्र मूल्य के बराबर 2 की गणितीय अपेक्षा और 0.014 के मानक विचलन के साथ वितरित किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नाममात्र मूल्य से X का विचलन नाममात्र मूल्य के 1% से अधिक नहीं होगा। जवाब
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width=”14” ऊंचाई=”110 src=”> बी) x≤-3 के लिए 0, एफ(एक्स)=बाएं"> 3.10.
ए)एफ(एक्स)= , बी) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185। 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
ए) पी(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562। 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. एक्स; अर्थ एफ(5); संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सखंड से मान लेगा. एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम निर्धारित करें एक्सएक तालिका के रूप में. एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. फ़ंक्शंस और के ग्राफ़ बनाएं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका की गणना करें एक्स. नमूना ए: 6 9 7 6 4 4 नमूना बी: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 विकल्प 17. इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें। एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. फ़ंक्शंस और के ग्राफ़ बनाएं। यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका की गणना करें। · नमूना औसत; · नमूना विचरण; मोड और माध्यिका; नमूना ए: 0 0 2 2 1 4 · नमूना औसत; · नमूना विचरण; मानक नमूना विचलन; · मोड और माध्यिका; नमूना बी: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 विकल्प 18. इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें। यादृच्छिक चर X का वितरण फ़ंक्शन ढूंढें। फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं और। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका की गणना करें एक्स। · नमूना औसत; · नमूना विचरण; मानक नमूना विचलन; · मोड और माध्यिका; नमूना ए: 4 7 6 3 3 4 · नमूना औसत; · नमूना विचरण; मानक नमूना विचलन; · मोड और माध्यिका; नमूना बी: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 विकल्प 19. 1. साइट पर 16 महिलाएं और 5 पुरुष काम कर रहे हैं। 3 लोगों को उनके कर्मियों की संख्या का उपयोग करके यादृच्छिक रूप से चुना गया था। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सभी चयनित व्यक्ति पुरुष होंगे। 2. चार सिक्के उछाले गए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि केवल दो सिक्कों पर "हथियारों का कोट" होगा। 3. शब्द "PSYCHOLOGY" कार्डों से बना है, जिनमें से प्रत्येक पर एक अक्षर लिखा हुआ है। कार्डों को मिलाया जाता है और बिना वापस लौटाए एक-एक करके निकाल लिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए अक्षर एक शब्द बनाते हैं: a) मनोविज्ञान; बी) कर्मचारी। 4. कलश में 6 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से हैं: एक। 3 सफेद गेंदें; बी। 3 से कम सफेद गेंदें; सी। कम से कम एक सफेद गेंद. 5. किसी घटना के घटित होने की संभावना एएक परीक्षण में 0.5 के बराबर है. निम्नलिखित घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए: एक। आयोजन ए 5 स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में 3 बार प्रकट होता है; बी। आयोजन ए 50 परीक्षणों की श्रृंखला में कम से कम 30 और 40 से अधिक बार दिखाई देगा। 6. एक ही शक्ति की 100 मशीनें हैं, जो एक ही मोड में एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करती हैं, जिनमें उनकी ड्राइव 0.8 कार्य घंटों के लिए चालू रहती है। क्या संभावना है कि किसी भी समय 70 से 86 मशीनें चालू हो जाएंगी? 7. पहले कलश में 4 सफेद और 7 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 8 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। पहले कलश से 4 गेंदें और दूसरे से 1 गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंदों में से केवल 4 काली गेंदें हैं। 8. कार बिक्री शोरूम में प्रतिदिन तीन ब्रांडों की कारें आती हैं: "मोस्कविच" - 40%; "ओका" - 20%; "वोल्गा" - सभी आयातित कारों का 40%। मोस्कविच कारों में, 0.5% में चोरी-रोधी उपकरण है, ओका - 0.01%, वोल्गा - 0.1% है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निरीक्षण के लिए ली गई कार में चोरी-रोधी उपकरण है। 9. खंड पर संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ये संख्याएँ असमानताओं को संतुष्ट करती हैं। 10. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स: एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स; अर्थ एफ(2); संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से मान लेगा. एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें. संभाव्यता सिद्धांत के अनुप्रयोगों में, प्रयोग की मात्रात्मक विशेषताएं प्राथमिक महत्व की हैं। एक मात्रा जिसे मात्रात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है और जो एक प्रयोग के परिणामस्वरूप मामले के आधार पर विभिन्न मान ले सकती है, कहलाती है अनियमित परिवर्तनशील वस्तु। यादृच्छिक चर के उदाहरण: 1. एक पासे को दस बार उछालने पर सम संख्या में अंक कितनी बार आते हैं। 2. एक निशानेबाज द्वारा निशाने पर लगाए गए प्रहारों की संख्या, जो श्रृंखलाबद्ध तरीके से गोलियाँ दागता है। 3. विस्फोटित गोले के टुकड़ों की संख्या। दिए गए प्रत्येक उदाहरण में, यादृच्छिक चर केवल पृथक मान ले सकता है, अर्थात वे मान जिन्हें संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला का उपयोग करके क्रमांकित किया जा सकता है। ऐसा यादृच्छिक चर, जिसके संभावित मान अलग-अलग पृथक संख्याएँ हैं, जिन्हें यह चर कुछ संभावनाओं के साथ लेता है, कहलाता है पृथक. असतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या परिमित या अनंत (गणनीय) हो सकती है। वितरण का नियमएक असतत यादृच्छिक चर इसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं की एक सूची है। असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को एक तालिका (संभावना वितरण श्रृंखला), विश्लेषणात्मक और ग्राफिक रूप से (संभावना वितरण बहुभुज) के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। किसी प्रयोग को करते समय, अध्ययन किए जा रहे मूल्य का "औसतन" मूल्यांकन करना आवश्यक हो जाता है। एक यादृच्छिक चर के औसत मान की भूमिका एक संख्यात्मक विशेषता द्वारा निभाई जाती है जिसे कहा जाता है गणितीय अपेक्षा,जो सूत्र द्वारा निर्धारित होता है कहाँ एक्स 1 , एक्स 2
,.. , एक्स एन- यादृच्छिक चर मान एक्स, ए पी 1 ,पी 2 ,
... , पी एन- इन मूल्यों की संभावनाएँ (ध्यान दें पी 1
+
पी 2
+…+
पी एन =
1). उदाहरण। लक्ष्य पर निशानेबाजी की जाती है (चित्र 11)। I में एक हिट तीन अंक देता है, II में - दो अंक, III में - एक अंक। एक निशानेबाज द्वारा एक शॉट में बनाए गए अंकों की संख्या के रूप में वितरण कानून होता है निशानेबाजों के कौशल की तुलना करने के लिए, प्राप्त अंकों के औसत मूल्यों की तुलना करना पर्याप्त है, अर्थात। गणितीय अपेक्षाएँ एम(एक्स) और एम(वाई):
एम(एक्स)
=
1
0,4
+ 2
0,2
+ 3
0,4
= 2,0, एम(वाई)
=
1
0,2
+ 2
0,5
+ 3
0,3
= 2,1. दूसरा शूटर औसतन कुछ अधिक अंक देता है, यानी। बार-बार फायर करने पर यह बेहतर परिणाम देगा। आइए गणितीय अपेक्षा के गुणों पर ध्यान दें: 1. किसी स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है: एम(सी)
= सी. 2. यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: एम =(एक्स 1 +
एक्स 2 +…+
एक्स एन)=
एम(एक्स 1)+
एम(एक्स 2)+…+
एम(एक्स एन). 3. परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा कारकों की गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है एम(एक्स 1 एक्स 2 …
एक्स एन)
=
एम(एक्स 1)एम(एक्स 2)…
एम(एक्स एन). 4. द्विपद वितरण का गणितीय निषेध परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में घटित होने वाली घटना की संभावना के उत्पाद के बराबर है (कार्य 4.6)। एम(एक्स)
= जनसंपर्क. यह आकलन करने के लिए कि एक यादृच्छिक चर "औसतन" अपनी गणितीय अपेक्षा से कैसे विचलित होता है, अर्थात संभाव्यता सिद्धांत में यादृच्छिक चर के मूल्यों के प्रसार को चिह्नित करने के लिए, फैलाव की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। झगड़ाअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सवर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा कहलाती है: डी(एक्स)
=
एम[(एक्स
-
एम(एक्स)) 2 ]. फैलाव एक यादृच्छिक चर के फैलाव की एक संख्यात्मक विशेषता है। परिभाषा से यह स्पष्ट है कि एक यादृच्छिक चर का फैलाव जितना छोटा होता है, उसके संभावित मान उतने ही करीब गणितीय अपेक्षा के आसपास स्थित होते हैं, अर्थात, यादृच्छिक चर के मान उतने ही बेहतर होते हैं जो उसकी गणितीय अपेक्षा से चित्रित होते हैं। . परिभाषा से यह पता चलता है कि विचरण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है किसी अन्य सूत्र का उपयोग करके विचरण की गणना करना सुविधाजनक है: डी(एक्स)
=
एम(एक्स 2)
- (एम(एक्स)) 2 .
फैलाव में निम्नलिखित गुण हैं: 1. स्थिरांक का प्रसरण शून्य है: डी(सी)
=
0.
2. अचर गुणनखंड को विचरण चिह्न से वर्गित करके निकाला जा सकता है: डी(सीएक्स)
=
सी 2 डी(एक्स). 3. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण पदों के प्रसरण के योग के बराबर है: डी(एक्स 1 +
एक्स 2 +
एक्स 3 +…+
एक्स एन)=
डी(एक्स 1)+
डी(एक्स 2)+…+
डी(एक्स एन) 4. द्विपद वितरण का विचरण परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने और न होने की संभावना के उत्पाद के बराबर है: डी(एक्स)
= एनपीक्यू. संभाव्यता सिद्धांत में, एक यादृच्छिक चर के विचरण के वर्गमूल के बराबर एक संख्यात्मक विशेषता का उपयोग अक्सर किया जाता है। इस संख्यात्मक विशेषता को माध्य वर्ग विचलन कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है यह एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य से विचलन के अनुमानित आकार को दर्शाता है और इसका आयाम यादृच्छिक चर के समान है। 4.1.
निशानेबाज़ लक्ष्य पर तीन गोलियाँ चलाता है। प्रत्येक शॉट के साथ लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.3 है। हिट की संख्या के लिए एक वितरण श्रृंखला का निर्माण करें। समाधान. हिट की संख्या एक अलग यादृच्छिक चर है एक्स. प्रत्येक मान एक्स एन
अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सएक निश्चित संभावना से मेल खाता है पी एन . इस मामले में एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण कानून निर्दिष्ट किया जा सकता है निकट वितरण. इस समस्या में एक्सबर्नौली के सूत्र के अनुसार मान 0, 1, 2, 3 लेता है आइए यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संभावनाएं खोजें: आर 3 (0)
= (0,7) 3 =
0,343, आर 3 (1)
= आर 3 (2)
= आर 3 (3)
= (0,3) 3 =
0,027. यादृच्छिक चर के मानों को व्यवस्थित करके एक्सबढ़ते क्रम में, हम वितरण श्रृंखला प्राप्त करते हैं: एक्स एन ध्यान दें कि राशि इसका मतलब है कि यादृच्छिक चर की संभावना एक्ससंभावित मानों में से कम से कम एक मान लेगा, और इसलिए यह घटना विश्वसनीय है 4.2
कलश में 1 से 4 तक संख्याओं वाली चार गेंदें हैं। दो गेंदें निकाली जाती हैं। यादृच्छिक मूल्य एक्स– गेंद संख्या का योग. एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला का निर्माण करें एक्स. समाधान।यादृच्छिक चर मान एक्स 3, 4, 5, 6, 7 हैं। आइए संगत प्रायिकताएँ ज्ञात करें। यादृच्छिक चर मान 3 एक्सइसे केवल उसी स्थिति में स्वीकार किया जा सकता है जब चयनित गेंदों में से एक का नंबर 1 और दूसरे का 2 हो। संभावित परीक्षण परिणामों की संख्या दो के चार (गेंदों के संभावित जोड़े की संख्या) के संयोजन की संख्या के बराबर है। शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है वैसे ही, आर(एक्स= 4) =आर(एक्स= 6) =आर(एक्स= 7) = 1/6. योग 5 दो स्थितियों में प्रकट हो सकता है: 1 + 4 और 2 + 3, इसलिए एक्सइसका रूप है: वितरण फलन ज्ञात कीजिए एफ(एक्स) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सऔर इसकी साजिश रचें. के लिए गणना करें एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण। समाधान. एक यादृच्छिक चर का वितरण कानून वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है एफ(एक्स)
=पी(एक्स
एक्स).
वितरण समारोह एफ(एक्स) संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित एक गैर-घटता हुआ, बाएं-निरंतर फ़ंक्शन है, जबकि एफ
(-
)=
0,एफ
(+
)=
1. असतत यादृच्छिक चर के लिए, यह फ़ंक्शन सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है इसलिए इस मामले में वितरण फ़ंक्शन ग्राफ़ एफ(एक्स) एक चरणबद्ध रेखा है (चित्र 12) एफ(एक्स) अपेक्षित मूल्यएम(एक्स) मानों का भारित अंकगणितीय औसत है एक्स 1 , एक्स 2 ,……एक्स एनअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सतराजू के साथ ρ
1,
ρ
2, ……
, ρ
एन
और इसे यादृच्छिक चर का माध्य मान कहा जाता है एक्स. सूत्र के अनुसार एम(एक्स)= एक्स 1
ρ
1 + एक्स 2
ρ
2 +……+ एक्स एन
ρ
एन एम(एक्स) = 3·0.14+5·0.2+7·0.49+11·0.17 = 6.72. फैलावएक यादृच्छिक चर के मूल्यों के उसके औसत मूल्य से फैलाव की डिग्री को दर्शाता है और दर्शाया गया है डी(एक्स): डी(एक्स)=एम[(एचएम(एक्स)) 2 ]= एम(एक्स 2)
–[एम(एक्स)] 2 . असतत यादृच्छिक चर के लिए, विचरण का रूप होता है या इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है समस्या के संख्यात्मक डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: एम(एक्स 2)
=
3 2
∙ 0,14+5 2
∙ 0,2+7 2
∙ 0,49+11 2
∙ 0,17 = 50,84 डी(एक्स)
= 50,84-6,72 2
= 5,6816. 4.4.
दो पासे एक ही समय में दो बार फेंके जाते हैं। असतत यादृच्छिक चर के वितरण का द्विपद नियम लिखिए एक्स- दो पासों पर अंकों की सम कुल संख्या के घटित होने की संख्या। समाधान. आइए एक यादृच्छिक घटना का परिचय दें ए= (दो पासों को एक बार फेंकने पर कुल अंक सम संख्या में प्राप्त हुए)। संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हुए हम पाते हैं आर(ए)=
कहाँ एन
- संभावित परीक्षण परिणामों की संख्या नियम के अनुसार पाई जाती है गुणा: एन
= 6∙6 =36, एम
-
आयोजन का समर्थन करने वाले लोगों की संख्या एपरिणाम - बराबर एम= 3∙6=18. इस प्रकार, एक परीक्षण में सफलता की संभावना है ρ
= पी(ए)=
1/2.
बर्नौली परीक्षण योजना का उपयोग करके समस्या का समाधान किया जाता है। यहां एक चुनौती एक बार दो पासे पलटने की होगी। ऐसे परीक्षणों की संख्या एन
= 2. यादृच्छिक चर एक्ससंभावनाओं के साथ मान 0, 1, 2 लेता है आर 2 (0)
= यादृच्छिक चर का आवश्यक द्विपद वितरण एक्सवितरण श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है: एक्स एन ρ
एन 4.5
. छह भागों के एक बैच में चार मानक भाग होते हैं। तीन भागों को यादृच्छिक रूप से चुना गया। एक असतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण बनाएं एक्स- चयनित भागों में से मानक भागों की संख्या और इसकी गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें। समाधान।यादृच्छिक चर मान एक्ससंख्याएँ 0,1,2,3 हैं। यह स्पष्ट है कि आर(एक्स=0)=0, चूँकि केवल दो गैर-मानक भाग हैं। आर(एक्स=1) = आर(एक्स= 2) = आर(एक्स=3) = यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक्सआइए इसे वितरण श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करें: एक्स एन ρ
एन अपेक्षित मूल्य एम(एक्स)=1
∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2. 4.6
. सिद्ध कीजिए कि असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स- घटना की घटनाओं की संख्या एवी एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की संभावना बराबर होती है ρ
- एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की संभावना द्वारा परीक्षणों की संख्या के उत्पाद के बराबर, यानी यह साबित करने के लिए कि द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा एम(एक्स)
=एन .
ρ
, और फैलाव डी(एक्स)
=एन.पी.
. समाधान।यादृच्छिक मूल्य एक्समान ले सकते हैं 0, 1, 2..., एन. संभावना आर(एक्स= k) बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है: आर(एक्स=क)= आर एन(के)= एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला एक्सइसका रूप है: एक्स एन ρ
एन क्यू एन कहाँ क्यू=
1-
ρ
. गणितीय अपेक्षा के लिए हमारे पास अभिव्यक्ति है: एम(एक्स)= एक परीक्षण के मामले में, अर्थात्, साथ में एन=यादृच्छिक चर के लिए 1 एक्स 1 - घटना के घटित होने की संख्या ए- वितरण श्रृंखला का रूप है: एक्स एन ρ
एन एम(एक्स 1)=
0∙q +
1
∙ पी
=
पी डी(एक्स 1)
=
पी
–
पी 2
=
पी(1-
पी)
=
पी क्यू. अगर एक्स k - घटना के घटित होने की संख्या एफिर किस परीक्षा में आर(एक्स को)=
ρ
और एक्स=एक्स 1 +एक्स 2 +...+एक्स एन . यहीं से हमें मिलता है एम(एक्स)=एम(एक्स 1
)+एम(एक्स 2)+
… +एम(एक्स एन)=
nρ,
डी(एक्स)=डी(एक्स 1)+डी(एक्स 2)+
...
+डी(एक्स एन)=npq. 4.7.
गुणवत्ता नियंत्रण विभाग मानकता के लिए उत्पादों की जाँच करता है। उत्पाद के मानक होने की प्रायिकता 0.9 है। प्रत्येक बैच में 5 उत्पाद होते हैं। असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एक्स- बैचों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में 4 मानक उत्पाद होंगे - यदि 50 बैच निरीक्षण के अधीन हैं। समाधान. प्रत्येक यादृच्छिक रूप से चयनित बैच में 4 मानक उत्पाद होने की संभावना स्थिर है; आइए इसे निरूपित करें ρ
.तब यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्सके बराबर होती है एम(एक्स)=
50∙ρ.
आइए संभाव्यता ज्ञात करें ρ
बर्नौली के सूत्र के अनुसार: ρ=पी 5 (4)= एम(एक्स)=
50∙0,32=16. 4.8
. तीन पासे फेंके जाते हैं. गिराए गए अंकों के योग की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए। समाधान।आप एक यादृच्छिक चर का वितरण पा सकते हैं एक्स- गिराए गए अंकों का योग और फिर उसकी गणितीय अपेक्षा। हालाँकि, यह रास्ता बहुत कठिन है। यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने वाली किसी अन्य तकनीक का उपयोग करना आसान है एक्स, जिसकी गणितीय अपेक्षा की गणना कई सरल यादृच्छिक चरों के योग के रूप में की जानी चाहिए, जिसकी गणितीय अपेक्षा की गणना करना आसान है। यदि यादृच्छिक चर एक्स मैंरोल किए गए अंकों की संख्या है मैं–वें हड्डियाँ ( मैं= 1, 2, 3), तो अंकों का योग एक्सरूप में व्यक्त किया जायेगा एक्स = एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 . मूल यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा की गणना करने के लिए, जो कुछ बचा है वह गणितीय अपेक्षा की संपत्ति का उपयोग करना है एम(एक्स 1
+ एक्स 2 + एक्स 3
)= एम(एक्स 1
)+ एम(एक्स 2)+ एम(एक्स 3
). यह तो स्पष्ट है आर(एक्स मैं = के)=
1/6, को=
1, 2, 3, 4, 5, 6,
मैं=
1,
2, 3. इसलिए, यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स मैंकी तरह लगता है एम(एक्स मैं)
=
1/6∙1
+ 1/6∙2
+1/6∙3
+ 1/6∙4
+ 1/6∙5
+ 1/6∙6
= 7/2, एम(एक्स)
=
3∙7/2 = 10,5.
4.9.
परीक्षण के दौरान विफल हुए उपकरणों की संख्या की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें यदि: ए) सभी उपकरणों के लिए विफलता की संभावना समान है आर, और परीक्षण के तहत उपकरणों की संख्या के बराबर है एन; बी) विफलता की संभावना मैं
–
डिवाइस के बराबर है पी मैं
,
मैं=
1,
2, … , एन. समाधान।चलो यादृच्छिक चर एक्सतो, विफल उपकरणों की संख्या है एक्स = एक्स 1 + एक्स 2 +… + एक्स एन ,
एक्स मैं
=
यह स्पष्ट है कि आर(एक्स मैं =
1)=
आर मैं ,
आर(एक्स मैं =
0)=
1–
आर मैं ,मैं= 1,
2,
…
,एन। एम(एक्स मैं)=
1∙आर मैं +
0∙(1-आर मैं)=पी मैं , एम(एक्स)=एम(एक्स 1)+एम(एक्स 2)+… +एम(एक्स एन)=पी 1 +पी 2 +… + पी एन .
मामले "ए" में डिवाइस विफलता की संभावना समान है, अर्थात आर मैं =पी,मैं= 1,
2, …
,एन. एम(एक्स)=
एन.पी.. यह उत्तर तुरंत प्राप्त किया जा सकता है यदि हम ध्यान दें कि यादृच्छिक चर एक्समापदंडों के साथ एक द्विपद वितरण है ( एन,
पी).
4.10.
दो पासे एक साथ दो बार फेंके जाते हैं। असतत यादृच्छिक चर के वितरण का द्विपद नियम लिखिए एक्स -दो पासों पर सम संख्या में अंकों को घुमाने की संख्या। समाधान। होने देना ए=(पहले पासे पर एक सम संख्या घुमाना), बी =(दूसरे पासे पर एक सम संख्या घुमाने पर)। एक बार में दोनों पासों पर सम संख्या प्राप्त करना गुणनफल द्वारा व्यक्त किया जाता है एबी.तब आर
(अब)
= आर(ए)∙आर(में)
=
दो पासों को दूसरी बार फेंकने का परिणाम पहले पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए बर्नौली का सूत्र कब लागू होता है एन
=
2,पी = 1/4,
क्यू
=
1– पी = 3/4.
यादृच्छिक मूल्य एक्समान 0, 1, 2 ले सकते हैं ,
जिसकी संभाव्यता बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है: आर(एक्स= 0)= पी 2
(0)
=
क्यू
2
= 9/16, आर(एक्स= 1)= पी 2
(1)= सी आर(एक्स= 2)= पी 2
(2)= सी एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला एक्स: 4.11.
डिवाइस में बड़ी संख्या में स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्व होते हैं और समय के साथ प्रत्येक तत्व की विफलता की बहुत कम संभावना होती है टी. समय के साथ इनकारों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए टीतत्व, यदि संभावना है कि इस समय के दौरान कम से कम एक तत्व विफल हो जाएगा 0.98 है। समाधान।
समय के साथ इनकार करने वाले लोगों की संख्या टीतत्व - यादृच्छिक चर एक्स, जो पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, क्योंकि तत्वों की संख्या बड़ी है, तत्व स्वतंत्र रूप से काम करते हैं और प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना छोटी है। किसी घटना के घटित होने की औसत संख्या एनपरीक्षण बराबर हैं एम(एक्स)
=
एन.पी..
असफलता की संभावना के बाद से कोसे तत्व एनसूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है आर एन
(को)
कहाँ
=
एन.पी., तो संभावना है कि समय के दौरान एक भी तत्व विफल नहीं होगा टी
हम पहुंच गए के = 0: आर एन
(0)= ई - . इसलिए, विपरीत घटना की संभावना समय में है टी
कम से कम एक तत्व विफल रहता है - 1 के बराबर - इ -
. समस्या की स्थितियों के अनुसार, यह संभावना 0.98 है। Eq से. 1
- इ -
= 0,98, इ -
= 1 – 0,98 =
0,02, यहाँ से
=
-एल.एन
0,02
4. तो, समय में टीडिवाइस के संचालन में, औसतन 4 तत्व विफल हो जाएंगे। 4.12
. पासों को तब तक घुमाया जाता है जब तक कि "दो" न आ जाएँ। थ्रो की औसत संख्या ज्ञात कीजिए। समाधान. आइए एक यादृच्छिक चर का परिचय दें एक्स- हमारे लिए रुचि की घटना घटित होने तक किए जाने वाले परीक्षणों की संख्या। संभावना यह है कि एक्स= 1 इस प्रायिकता के बराबर है कि पासे को एक बार फेंकने पर "दो" दिखाई देंगे, अर्थात आर(एक्स= 1)
= 1/6. आयोजन एक्स= 2 का अर्थ है कि पहले परीक्षण में "दो" सामने नहीं आए, लेकिन दूसरे में आए। घटना की संभावना एक्स= 2 स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने के नियम से पाया जाता है: आर(एक्स= 2)
= (5/6)∙(1/6) वैसे ही, आर(एक्स= 3)
= (5/6) 2 ∙1/6, आर(एक्स= 4)
= (5/6) 2 ∙1/6 वगैरह। हमें संभाव्यता वितरणों की एक श्रृंखला प्राप्त होती है: (5/6) को
∙1/6 थ्रो (परीक्षण) की औसत संख्या गणितीय अपेक्षा है एम(एक्स)
=
1∙1/6 +
2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6
+ … + को
(5/6) को -1 ∙1/6
+ … = 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2
+ … + को
(5/6) को -1
+ …) आइए श्रृंखला का योग ज्ञात करें: इस तरह, एम(एक्स)
=
(1/6) (1/ (1 –
5/6) 2
= 6. इस प्रकार, आपको "दो" आने तक पासों को औसतन 6 बार उछालना होगा। 4.13.
घटना के घटित होने की समान संभावना के साथ स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं एहर परीक्षा में. किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ए, यदि तीन स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना की घटनाओं की संख्या का अंतर 0.63 है .
समाधान।तीन परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या एक यादृच्छिक चर है एक्स, द्विपद नियम के अनुसार वितरित। स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या का अंतर (प्रत्येक परीक्षण में घटना के घटित होने की समान संभावना के साथ) घटना के घटित होने और न होने की संभावनाओं द्वारा परीक्षणों की संख्या के उत्पाद के बराबर होता है। (समस्या 4.6) डी(एक्स)
=
एनपीक्यू.
शर्त से एन
=
3,
डी(एक्स)
=
0.63, तो आप कर सकते हैं आरसमीकरण से खोजें 0,63
= 3∙आर(1-आर), जिसके दो समाधान हैं आर 1
=
0.7 और आर 2
=
0,3.
1.2.
p4=0.1; 0 x≤-1 पर,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width=”14” ऊंचाई=”86”> 0 x≤a के लिए,
,
सामान्य वक्र सीधी रेखा x=m के संबंध में सममित है, x=a पर अधिकतम है, के बराबर।
,
एक्स
–28
–20
–12
–4
पी
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
एक्स
पी
0,1
0,2
0,3
0,4
.
.
,
0,3(0,7) 2
= 0,441,
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
.
.
.
,
,आर 2 (1)
=
∙
,आर 2 (2)
=
=1/5,
= 3/5,
= 1/5.
ρ
को
(1-ρ
) एन-को
ρq एन- 1
ρq एन- 2
ρ
एन
ρq एन -
1
+2
ρ
2
क्यू एन -
2
+…+.एन
ρ
एन
= 0,94∙0,1=0,32.
.
,आर∙क्यू
=
6/16,
,
आर 2
=
1/16.
,
कोजी
को -1
= (
जी को)
जी
.
एकरसता और एक्स्ट्रेमा के कार्यों का अध्ययन
औसत या माध्यिका
यादृच्छिक चरों के वितरण का नियम
नाम का अर्थ: इल्या
ऐदर नाम की उत्पत्ति और चरित्र