Iracionālu skaitļu ir vairāk nekā racionālu. Kas ir racionāli un iracionāli skaitļi

Veseli skaitļi

Dabiskos skaitļus definē kā pozitīvos skaitļus. Dabiskos skaitļus izmanto objektu skaitīšanai un daudziem citiem mērķiem. Šie skaitļi ir:

Šī ir dabiska skaitļu sērija.
Vai nulle ir dabisks skaitlis? Nē, nulle nav dabisks skaitlis.
Cik ir dabisko skaitļu? Dabisko skaitļu ir bezgalīgi daudz.
Kāds ir mazākais dabiskais skaitlis? Viens ir mazākais dabiskais skaitlis.
Kāds ir lielākais dabiskais skaitlis? To nav iespējams norādīt, jo dabisko skaitļu ir bezgalīgi daudz.

Dabisko skaitļu summa ir dabiskais skaitlis. Tātad, dabisko skaitļu a un b pievienošana:

Dabisko skaitļu reizinājums ir naturāls skaitlis. Tātad dabisko skaitļu a un b reizinājums:

c vienmēr ir dabisks skaitlis.

Dabisko skaitļu atšķirība Ne vienmēr dabiskais skaitlis. Ja atņemtais ir lielāks nekā atņemtais, tad dabisko skaitļu starpība ir dabiskais skaitlis, pretējā gadījumā tā nav.

Dabisko skaitļu koeficients Ne vienmēr ir dabiskais skaitlis. Ja dabiskajiem skaitļiem a un b

kur c ir naturāls skaitlis, tas nozīmē, ka a pilnībā dalās ar b. Šajā piemērā a ir dividende, b ir dalītājs, c ir koeficients.

Dabiskā skaitļa dalītājs ir dabiskais skaitlis, ar kuru pirmais skaitlis vienmērīgi dalās.

Katrs dabiskais skaitlis dalās ar vienu un pats par sevi.

Galvenie dabiskie skaitļi dalās tikai ar vienu un ar sevi. Šeit tas ir domāts, lai pilnībā sadalītu. Piemērs, skaitļi 2; 3; 5; 7 ir dalāmi tikai ar vienu un paši par sevi. Tie ir galvenie dabiskie skaitļi.

Vienība netiek uzskatīta par galveno skaitli.

Skaitļus, kas ir lielāki par vienu un nav galvenie, sauc par saliktiem skaitļiem. Saliktu numuru piemēri:

Vienība netiek uzskatīta par saliktu skaitli.

Dabisko skaitļu kopa ir viens, galvenie skaitļi un saliktie skaitļi.

Dabisko skaitļu kopu apzīmē ar latīņu burtu N.

Dabisko skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas īpašības:

papildinājuma pārvietošanas īpašība

kombinācijas īpašība

(a + b) + c \u003d a + (b + c);

reizināšanas ceļojuma īpašība

kombinācijas reizināšanas īpašība

(ab) c \u003d a (bc);

reizināšanas sadales īpašība

A (b + c) \u003d ab + ac;

Veseli skaitļi

Veseli skaitļi ir dabiskie skaitļi, nulle un pretēji dabiskajiem skaitļiem.

Skaitļi, kas ir pretēji dabiskajiem skaitļiem, ir negatīvi veseli skaitļi, piemēram:

1; -2; -3; -4;...

Veselu skaitļu kopu apzīmē ar latīņu burtu Z.

Racionālie skaitļi

Racionālie skaitļi ir veseli skaitļi un frakcijas.

Jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā periodisku daļu. Piemēri:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Piemēri parāda, ka jebkurš vesels skaitlis ir periodiska daļa ar nulles periodu.

Jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā m / n daļu, kur m ir vesels skaitlis, n ir dabisks skaitlis. Šādas daļas veidā atveidosim skaitli 3, (6) no iepriekšējā piemēra.

Racionāls skaitlis - skaitlis, ko attēlo parastā daļa m / n, kur skaitītājs m ir vesels skaitlis un saucējs n ir dabisks skaitlis. Jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā periodisku bezgalīgu decimāldaļu. Racionālo skaitļu kopu apzīmē ar Q.

Ja reālais skaitlis nav racionāls, tad tas ir iracionāls skaitlis... Decimāldaļas, kas izsaka iracionālus skaitļus, ir bezgalīgas un nav periodiskas. Iracionālo skaitļu kopu parasti apzīmē ar lielo burtu I.

Tiek izsaukts reālais skaitlis algebriskaisja tā ir kāda polinoma (nenulles pakāpes) sakne ar racionāliem koeficientiem. Tiek izsaukts jebkurš skaitlis, kas nav algebrisks pārpasaulīgs.

Daži īpašumi:

Racionālo skaitļu kopa visur blīvi atrodas uz skaitļa ass: starp jebkuriem diviem dažādiem racionāliem skaitļiem ir vismaz viens racionāls skaitlis (un līdz ar to bezgalīgs racionālo skaitļu kopums). Neskatoties uz to, izrādās, ka racionālo skaitļu kopa Q un dabisko skaitļu kopa N ir līdzvērtīgas, tas ir, starp tām var izveidot savstarpēju atbilstību (visus racionālo skaitļu kopas elementus var pārnumurēt).

Racionālo skaitļu kopa Q ir slēgta attiecībā uz saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu, tas ir, divu racionālo skaitļu summa, starpība, reizinājums un koeficients ir arī racionāli skaitļi.

Visi racionālie skaitļi ir algebriski (otrādi nav taisnība).

Katrs reālais pārpasaulīgais skaitlis ir iracionāls.

Katrs iracionāls skaitlis ir vai nu algebrisks, vai pārpasaulīgs.

Iracionālo skaitļu kopa skaitļu līnijā ir visur blīva: starp jebkuriem diviem skaitļiem ir iracionāls skaitlis (un līdz ar to bezgalīgs iracionālu skaitļu kopums).

Iracionālo skaitļu kopa nav saskaitāma.

Risinot problēmas, var būt ērti kopā ar iracionālo skaitli a + b√ c (kur a, b ir racionāli skaitļi, c ir vesels skaitlis, kas nav dabiska skaitļa kvadrāts), ņemot vērā “konjugēto” skaitli a - b√ c: tā summu un reizinājumu ar sākotnējo - racionālie skaitļi. Tātad a + b√ c un a - b√ c ir kvadrātvienādojuma saknes ar veseliem skaitļiem.

Problēmas ar risinājumiem

1. Pierādi to

a) skaitlis √ 7;

b) skaitlis lg 80;

c) skaitlis √ 2 + 3 √ 3;

ir neracionāls.

a) Pieņemsim, ka skaitlis √ 7 ir racionāls. Tad ir koprime p un q, kas √ 7 \u003d p / q, no kurienes mēs iegūstam p 2 \u003d 7q 2. Tā kā p un q ir koprime, p ir 2, un tāpēc p dalās ar 7. Tad p \u003d 7k, kur k ir kāds naturāls skaitlis. Tādējādi q 2 \u003d 7k 2 \u003d pk, kas ir pretrunā ar faktu, ka p un q ir koprime.

Tātad pieņēmums ir kļūdains, kas nozīmē, ka skaitlis √ 7 ir iracionāls.

b) Pieņemsim, ka skaitlis lg 80 ir racionāls. Tad pastāv dabiskie skaitļi p un q tā, ka lg 80 \u003d p / q vai 10 p \u003d 80 q, no kurienes mēs iegūstam 2 p - 4q \u003d 5 q - p. Ņemot vērā, ka skaitļi 2 un 5 ir koprime, mēs iegūstam, ka pēdējā vienādība ir iespējama tikai p - 4q \u003d 0 un q - p \u003d 0. No kurienes p \u003d q \u003d 0, kas nav iespējams, jo p un q tiek izvēlēti dabiski.

Tātad pieņēmums ir kļūdains, kas nozīmē, ka skaitlis lg 80 ir iracionāls.

c) Mēs apzīmējam šo skaitli ar x.

Tad (x - √ 2) 3 \u003d 3 vai x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 · (3x 2 + 2). Pēc šī vienādojuma kvadrātā secinām, ka x ir jāapmierina vienādojums

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 \u003d 0.

Tās racionālās saknes var būt tikai skaitļi 1 un -1. Pārbaude parāda, ka 1 un –1 nav saknes.

Tātad dotais skaitlis √ 2 + 3 √ 3 \u200b\u200bir iracionāls.

2. Ir zināms, ka skaitļi a, b, √ a –√ b, - racionāls. Pierādi to √ a un √ bIr arī racionāli skaitļi.

Apsveriet produktu

(√ a - √ b) (√ a + √ b) \u003d a - b.

Skaits √ a + √ b, kas ir vienāds ar skaitļu a - b un √ a –√ b, ir racionāls, jo divu racionālo skaitļu dalīšanas koeficients ir racionāls skaitlis. Divu racionālu skaitļu summa

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) \u003d √ a

- racionāls skaitlis, to atšķirība,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) \u003d √ b,

ir arī racionāls skaitlis, kā nepieciešams.

3. Pierādiet, ka ir pozitīvi iracionāli skaitļi a un b, kuriem skaitlis a b ir dabisks.

4. Vai ir racionāli skaitļi a, b, c, d, kas apmierina vienlīdzību?

(a + b √ 2) 2n + (c + d√ 2) 2n \u003d 5 + 4√ 2,

kur n ir naturāls skaitlis?

Ja nosacījumā norādītā vienlīdzība ir spēkā un skaitļi a, b, c, d ir racionāli, tad vienādība ir:

(a - b √ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n \u003d 5 - 4√ 2.

Bet 5 - 4√2 (a - b√2) 2n + (c - d√2) 2n\u003e 0. Iegūtā pretruna pierāda, ka sākotnējā vienlīdzība nav iespējama.

Atbilde: nav.

5. Ja segmenti ar garumu a, b, c veido trīsstūri, tad visiem n \u003d 2, 3, 4 ,. ... ... segmenti ar garumu n √ a, n √ b, n √ c veido arī trīsstūri. Pierādi.

Ja segmenti ar garumu a, b, c veido trijstūri, tad trijstūra nevienādība dod

Tāpēc mums ir

(n √ a + n √ b) n\u003e a + b\u003e c \u003d (n √ c) n,

N √ a + n √ b\u003e n √ c.

Pārējie trīsstūra nevienlīdzības pārbaudes gadījumi tiek izskatīti līdzīgi, no kā izriet secinājums.

6. Pierādiet, ka bezgalīgā decimāldaļa 0.1234567891011121314 ... (pēc kārtas aiz komata ir ierakstīti visi naturālie skaitļi pēc kārtas) iracionāls skaitlis.

Kā jūs zināt, racionālie skaitļi tiek izteikti decimāldaļās, kuru periods sākas no noteiktas zīmes. Tāpēc pietiek pierādīt, ka dotā frakcija nav periodiska no jebkuras zīmes. Pieņemsim, ka tas tā nav, un kāda secība T, kas sastāv no n cipariem, ir frakcijas periods, sākot no m aiz komata. Ir skaidrs, ka starp cipariem aiz m-tā rakstzīmes ir nulle, tāpēc T ciparu secībā ir nulle. Tas nozīmē, ka, sākot ar m-to ciparu aiz komata, starp visiem n cipariem pēc kārtas ir nulle cipars. Tomēr šīs daļas decimālajam apzīmējumam ir jābūt skaitļa decimāldaļai no 100 ... 0 \u003d 10 k, kur k\u003e m un k\u003e n. Ir skaidrs, ka šis ieraksts notiks pa labi no m-tā cipara un satur vairāk nekā n nulles pēc kārtas. Tādējādi mēs iegūstam pretrunu, kas pabeidz pierādījumu.

7. Jums tiek dota bezgalīga decimāldaļa 0, a 1 a 2 .... Pierādiet, ka skaitļus decimāldaļā var pārkārtot tā, lai iegūtā daļa izsaka racionālu skaitli.

Atgādināsim, ka frakcija izsaka racionālu skaitli tikai tad, ja tas ir periodisks, sākot ar noteiktu zīmi. Sadalām skaitļus no 0 līdz 9 divās klasēs: pirmajā klasē iekļausim tos skaitļus, kas sākotnējā frakcijā sastopami neierobežoti daudz reižu, otrajā klasē - tos, kas sastopami sākotnējā frakcijā bezgalīgi daudz reižu. Sāksim rakstīt periodisko daļu, kuru var iegūt no sākotnējās skaitļu permutācijas. Pirmkārt, pēc nulles un komata mēs nejaušā secībā uzrakstām visus skaitļus no pirmās klases - katru tik reižu, cik tas notiek sākotnējā frakcijā. Pirmie reģistrētie klases cipari pirms perioda aizrit decimāldaļās. Tālāk mēs pierakstām kādā secībā, reiz skaitļus no otrās klases. Mēs pasludināsim šo kombināciju par periodu un atkārtosim to bezgalīgi daudz reižu. Tādējādi mēs esam izrakstījuši nepieciešamo periodisko daļu, izsakot kādu racionālu skaitli.

8. Pierādīt, ka katrā bezgalīgajā decimāldaļā ir patvaļīga garuma decimāldaļu secība, kas bezgalīgi daudzas reizes notiek frakcijas paplašināšanās laikā.

Ļaujiet m būt patvaļīgam naturālam skaitlim. Sadalīsim doto bezgalīgo decimāldaļu daļās ar m cipariem katrā. Šādu segmentu būs bezgalīgi daudz. No otras puses, ir tikai 10 m dažādas sistēmas, kas sastāv no m cipariem, tas ir, ierobežota skaitļa. Līdz ar to vismaz viena no šīm sistēmām šeit jāatkārto bezgalīgi daudzas reizes.

Komentēt. Iracionāliem skaitļiem √ 2, π vai e mēs pat nezinām, kurš cipars bezgalīgi daudzas reizes tiek atkārtots bezgalīgajās decimāldaļās, kas tos pārstāv, lai gan katrs no šiem skaitļiem, kā viegli pierādīt, satur vismaz divus dažādus šādus ciparus.

9. Elementāri pierādīt, ka vienādojuma pozitīvā sakne

ir neracionāls.

Ja x\u003e 0, kreisā vienādojuma puse palielinās, palielinoties x, un ir viegli redzēt, ka x \u003d 1,5 tas ir mazāks par 10 un x \u003d 1,6 ir lielāks par 10. Tāpēc vienīgā vienādojuma pozitīvā sakne atrodas intervālā (1,5 ; 1.6).

Sakni mēs rakstām kā nereducējamu daļu p / q, kur p un q ir daži kopprima dabiskie skaitļi. Pēc tam x \u003d p / q vienādojumam būs šāda forma:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

no kā izriet, ka p ir dalītājs 10, tāpēc p ir vienāds ar vienu no skaitļiem 1, 2, 5, 10. Tomēr, izrakstot frakcijas ar skaitītājiem 1, 2, 5, 10, mēs uzreiz pamanām, ka neviena no tām neietilpst intervālā (1,5; 1,6).

Tātad sākotnējā vienādojuma pozitīvo sakni nevar attēlot kā parasto daļu, kas nozīmē, ka tas ir iracionāls skaitlis.

10. a) Vai plaknē ir trīs punkti A, B un C tā, ka jebkuram punktam X vismaz viena no XA, XB un XC segmentiem garums ir iracionāls?

b) Trijstūra virsotņu koordinātas ir racionālas. Pierādiet, ka arī tās riņķa līnijas centra koordinātas ir racionālas.

c) Vai ir kāda sfēra, kurā atrodas tieši viens racionāls punkts? (Racionāls punkts ir punkts, kurā visas trīs Dekarta koordinātas ir racionāli skaitļi.)

a) Jā, ir. Ļaujiet C būt segmenta AB viduspunktam. Tad XC 2 \u003d (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2. Ja skaitlis AB 2 iracionāls, tad skaitļi XA, XB un XC vienlaikus nevar būt racionāli.

b) Ļaujiet (a 1; b 1), (a 2; b 2) un (a 3; b 3) būt trijstūra virsotņu koordinātām. Apkārt norobežotā apļa centra koordinātas norāda vienādojumu sistēma:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Ir viegli pārbaudīt, vai šie vienādojumi ir lineāri, kas nozīmē, ka aplūkotās vienādojumu sistēmas risinājums ir racionāls.

c) Šāda sfēra pastāv. Piemēram, sfēra ar vienādojumu

(x - √ 2) 2 + y 2 + z 2 \u003d 2.

Punkts O ar koordinātām (0; 0; 0) ir racionāls punkts, kas atrodas uz šīs sfēras. Pārējie sfēras punkti ir iracionāli. Pierādīsim to.

Pieņemsim, ka ir pretējs: (x; y; z) ir racionāls sfēras punkts, kas atšķiras no punkta O. Ir skaidrs, ka x atšķiras no 0, jo x \u003d 0 ir unikāls risinājums (0; 0; 0), kas mēs tagad neesam interesē. Paplašināsim iekavas un izteiksim √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

kas nevar būt racionāliem x, y, z un iracionāliem √ 2. Tātad O (0; 0; 0) ir vienīgais racionālais punkts aplūkotajā sfērā.

Uzdevumi bez risinājumiem

1. Pierādiet, ka skaitlis

\\ [\\ sqrt (10+ \\ sqrt (24) + \\ sqrt (40) + \\ sqrt (60)) \\]

ir neracionāls.

2. Kuriem veseliem skaitļiem m un n ir vienādība (5 + 3√ 2) m \u003d (3 + 5√ 2) n?

3. Vai ir tāds skaitlis a, ka skaitļi a - √ 3 un 1 / a + √ 3 ir veseli skaitļi?

4. Vai skaitļi 1, √ 2, 4 var būt aritmētiskās progresijas locekļi (ne vienmēr blakus)?

5. Pierādiet, ka jebkuram dabiskajam skaitlim n vienādojumam (x + y√ 3) 2n \u003d 1 + √ 3 nav racionālu skaitļu (x; y) risinājumu.

Kas ir iracionāli skaitļi? Kāpēc viņus tā sauc? Kur tos lieto un kādi viņi ir? Tikai nedaudzi var bez vilcināšanās atbildēt uz šiem jautājumiem. Bet patiesībā atbildes uz tām ir diezgan vienkāršas, lai arī ne visiem tās ir vajadzīgas un ļoti retās situācijās.

Būtība un apzīmējums

Iracionālie skaitļi ir bezgalīgi periodiski Nepieciešamība ieviest šo jēdzienu ir saistīta ar faktu, ka iepriekš pastāvošie reālo vai reālo, veselu skaitļu, dabisko un racionālo skaitļu jēdzieni jau bija nepietiekami jaunu jaunu problēmu risināšanai. Piemēram, lai aprēķinātu kvadrātu, kas ir 2, jums jāizmanto neperiodiskas bezgalīgas decimāldaļas. Turklāt daudziem vienkāršākajiem vienādojumiem arī nav risinājuma, neieviešot iracionāla skaitļa jēdzienu.

Šis kopums tiek apzīmēts kā I. Un, kā jau ir skaidrs, šīs vērtības nevar attēlot kā vienkāršu daļu, kuras skaitītājā būs vesels skaitlis, un saucējā -

Pirmo reizi tā vai citādi Indijas matemātiķi ar šo parādību saskārās 7. gadsimtā, kad tika atklāts, ka dažu daudzumu kvadrātveida saknes nevar skaidri norādīt. Un pirmais pierādījums par šādu skaitļu esamību tiek attiecināts uz Pitagora Hipāzu, kurš to izdarīja, pārbaudot vienādsānu taisnstūri. Daži zinātnieki, kas dzīvoja pirms mūsu ēras, nopietni ieguldīja šī komplekta izpēti. Iracionālo skaitļu jēdziena ieviešana izraisīja esošās matemātiskās sistēmas pārskatīšanu, tāpēc tie ir tik svarīgi.

nosaukuma izcelsme

Ja attiecība latīņu valodā ir "frakcija", "attiecība", tad prefikss "ir"
piešķir šim vārdam pretēju nozīmi. Tādējādi šo skaitļu kopas nosaukums norāda, ka tos nevar korelēt ar veseliem vai daļējiem skaitļiem, tiem ir atsevišķa vieta. Tas izriet no viņu būtības.

Vieta vispārējā klasifikācijā

Iracionālie skaitļi kopā ar racionālajiem skaitļiem pieder reālo vai reālo skaitļu grupai, kas savukārt ir sarežģīti. Apakškopu nav, bet ir algebriskas un pārpasaulīgas šķirnes, kuras tiks aplūkotas turpmāk.

Rekvizīti

Tā kā iracionālie skaitļi ir daļa no reālo skaitļu kopas, tad viņiem ir piemērojamas visas to īpašības, kas tiek pētītas aritmētikā (tos sauc arī par algebras pamatlikumiem).

a + b \u003d b + a (maināmība);

(a + b) + c \u003d a + (b + c) (asociativitāte);

a + (-a) \u003d 0 (pretēja skaitļa esamība);

ab \u003d ba (pārvietošanās likums);

(ab) c \u003d a (bc) (izplatība);

a (b + c) \u003d ab + ac (sadalījuma likums);

a x 1 / a \u003d 1 (savstarpēja esamība);

Salīdzinājums tiek veikts arī saskaņā ar vispārējiem likumiem un principiem:

Ja a\u003e b un b\u003e c, tad a\u003e c (saistības tranzitivitāte) un. utt.

Protams, visus iracionālos skaitļus var konvertēt, izmantojot pamata aritmētiku. Tam nav īpašu noteikumu.

Turklāt Arhimēda aksiomas darbība attiecas arī uz iracionāliem skaitļiem. Tajā teikts, ka jebkuriem diviem lielumiem a un b ir taisnība, ka, pieņemot a kā terminu pietiekami daudz reižu, jūs varat pārsniegt b.

Izmantojot

Neskatoties uz to, ka parastajā dzīvē jums bieži nav ar tiem jātiek galā, iracionālus skaitļus nevar saskaitīt. Viņu ir daudz, bet tie ir gandrīz neredzami. Mūs visur ieskauj neracionāli skaitļi. Visiem pazīstami piemēri ir pi, vienāds ar 3,1415926 ... vai e, kas būtībā ir dabiskā logaritma pamats, 2,718281828 ... Algebrā, trigonometrijā un ģeometrijā tie ir pastāvīgi jāizmanto. Starp citu, arī "zelta proporcijas" slavenā nozīme, tas ir, gan lielākās daļas, gan mazākā attiecība, un otrādi, arī

attiecas uz šo kopu. Arī mazāk pazīstamais "sudrabs" ir.

Skaitļu līnijā tie atrodas ļoti blīvi, tāpēc starp jebkuriem diviem lielumiem, kas minēti racionālo lielumu komplektā, obligāti jāsastopas ar iracionālu.

Ar šo komplektu joprojām ir saistītas daudzas neatrisinātas problēmas. Ir tādi kritēriji kā iracionalitātes mērs un skaitļa normālums. Matemātiķi turpina izskatīt nozīmīgākos piemērus piederībai vienai vai otrai grupai. Piemēram, tiek uzskatīts, ka e ir normāls skaitlis, tas ir, dažādu ciparu varbūtība, ka tā ierakstā parādās, ir vienāda. Runājot par pi, tiek veikti tā pētījumi. Iracionalitātes mēru sauc par lielumu, kas parāda, cik labi konkrēto skaitli var tuvināt ar racionāliem skaitļiem.

Algebriskais un pārpasaulīgais

Kā jau minēts, iracionālie skaitļi tiek tradicionāli sadalīti algebriskos un pārpasaulīgos. Nosacīti, tā kā, stingri ņemot, šo klasifikāciju izmanto, lai sadalītu kopu C.

Šis apzīmējums slēpj sarežģītus skaitļus, kas ietver reālus vai reālus.

Tātad algebriskā vērtība ir vērtība, kas ir polinoma sakne, kas nav identiski nulle. Piemēram, kvadrātsakne no 2 būtu šajā kategorijā, jo tas ir vienādojuma x 2 - 2 \u003d 0 risinājums.

Visus pārējos reālos skaitļus, kas neapmierina šo nosacījumu, sauc par pārpasaulīgiem. Šai šķirnei pieder slavenākie un jau minētie piemēri - skaitlis pi un dabiskā logaritma bāze e.

Interesanti, ka matemātiķi šajā ziņā sākotnēji nav secinājuši ne vienu, ne otro, viņu neracionalitāte un pārpasaulība tika pierādīta daudzus gadus pēc viņu atklāšanas. Attiecībā uz pi pierādījums tika iesniegts 1882. gadā un vienkāršots 1894. gadā, tādējādi izbeidzot 2,5 tūkstošus gadu ilgo polemiku par apļa kvadrātā sastādīšanas problēmu. Tas joprojām nav pilnībā izprasts, tāpēc mūsdienu matemātiķiem ir pie kā strādāt. Starp citu, pirmo pietiekami precīzo šīs vērtības aprēķinu veica Arhimēds. Pirms viņa visi aprēķini bija pārāk rupji.

Attiecībā uz e (Eulera vai Napjē skaitli) pierādījumi par tā transcendenci tika atrasti 1873. gadā. To izmanto, lai atrisinātu logaritmiskos vienādojumus.

Citi piemēri ietver sinusa, kosinusa un pieskares vērtības jebkurām algebriskām nulles vērtībām.

Iracionāls skaitlis - tas reālais skaitlis, kas nav racionāli, tas ir, to nevar attēlot kā daļu, kur ir veseli skaitļi. Iracionālu skaitli var attēlot kā bezgalīgu neperiodisku decimāldaļu.

Daudz neracionālu skaitļu parasti norāda ar lielo latīņu burtu treknrakstā, bez aizpildīšanas. Tādējādi: t.i. iracionālo skaitļu kopa ir atšķirība starp reālo un racionālo skaitļu kopām.

Par iracionālu skaitļu esamību, precīzāk segmenti, kas nav samērojami ar vienības garuma segmentu, jau bija zināmi senajiem matemātiķiem: viņi zināja, piemēram, diagonāles un kvadrāta malas nesamērojamību, kas ir līdzvērtīga skaitļa iracionalitātei.

Rekvizīti

• Jebkuru reālo skaitli var ierakstīt bezgalīgas decimāldaļas veidā, bet neracionālus skaitļus un tikai tos - neperiodiskās bezgalīgās decimāldaļās.
• Iracionālie skaitļi racionālo skaitļu komplektā definē Dedekind sadaļas, kurām zemākajā klasē nav vislielākais skaitlis, un augšējai klasei nav mazākā.
• Katrs reālais pārpasaulīgais skaitlis ir iracionāls.
• Katrs iracionālais skaitlis ir vai nu algebrisks, vai pārpasaulīgs.
• Iracionālo skaitļu kopa skaitļu rindā ir visur blīva: starp jebkuriem diviem skaitļiem ir iracionāls skaitlis.
• Iracionālo skaitļu kopas secība ir izomorfiska nekā reālo pārpasaulīgo skaitļu kopai.
• Iracionālo skaitļu kopa nav saskaitāma, tā ir otrās kategorijas kopa.

Piemēri

Iracionāli skaitļi - ζ (3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Iracionāli ir:

Iracionalitātes pierādīšanas piemēri

2 sakne

Pieņemsim, ka ir pretējs: racionāls, tas ir, tas tiek attēlots kā nereducējama frakcija, kur ir vesels skaitlis un dabisks skaitlis. Apvērsim pieņemto vienlīdzību:

.

No tā izriet, ka tas nozīmē pat un. Ļaujiet, kur ir viss. Tad

Tāpēc pat nozīmē vienmērīgi un. Mēs to saņēmām un esam vienmērīgi, kas ir pretrunā ar frakcijas nereducējamību. Tas nozīmē, ka sākotnējais pieņēmums bija nepareizs, un - iracionāls skaitlis.

3 binārs logaritms

Pieņemsim, ka ir pretējs: racionāls, tas ir, attēlots kā daļa, kur un ir veseli skaitļi. Tā kā, un to var izvēlēties pozitīvu. Tad

Bet pāra un nepāra. Mēs iegūstam pretrunu.

e

Vēsture

Iracionālo skaitļu jēdzienu netieši pieņēma Indijas matemātiķi 7. gadsimtā pirms mūsu ēras, kad Manava (ap 750. gadu pirms mūsu ēras - ap 690. gadu pirms mūsu ēras) saprata, ka dažu dabisko skaitļu kvadrātsaknes, piemēram, 2. un 61. nevar skaidri izteikt.

Pirmais iracionālo skaitļu esamības pierādījums parasti tiek attiecināts uz Hipasu no Metaponta (ap 500. gadu pirms mūsu ēras), pitagorieti, kurš šo pierādījumu atrada, pētot pentagrammas sānu garumus. Pitagoriešu laikā tika uzskatīts, ka pastāv viena vienība, pietiekami maza un nedalāma garuma vienība, kas jebkurā segmentā nonāk veselu skaitu reižu. Tomēr Hippasus pierādīja, ka nav vienas garuma vienības, jo pieņēmums par tā esamību noved pie pretrunām. Viņš parādīja, ka, ja taisnstūra taisnstūra trīsstūra hipotenūzā ir vesels skaitlis vienību segmentu, tad šim skaitlim jābūt gan pāra, gan nepāra. Pierādījums izskatījās šādi:

• Hipotenūza garuma un taisnstūra taisnā trīsstūra kājas garuma attiecību var izteikt kā a:bkur a un b izvēlēts kā mazākais iespējamais.
• Pēc Pitagora teorēmas: a² \u003d 2 b².
• Kā a² pat, a jābūt vienmērīgam (jo nepāra skaitļa kvadrāts būtu nepāra).
• Tāpēc ka a:b nesamazināms, b jābūt nepāra.
• Kā a pat, apzīmē a = 2y.
• Tad a² \u003d 4 y² \u003d 2 b².
• b² \u003d 2 y², tāpēc bTad ir vienmērīgs b pat.
• Tomēr tas ir pierādīts b nepāra. Pretruna.

Grieķijas matemātiķi šo nesamērojamo lielumu attiecību nosauca aalogos (neizsakāmi), tomēr saskaņā ar leģendām tie Hipam nepiešķīra cienīgu cieņu. Leģenda vēsta, ka Hipasss atklāja, atrodoties jūras braucienā, un citi pitagorieši viņu aizmeta aiz borta, "radot Visuma elementu, kas noliedz doktrīnu, ka visas Visuma vienības var reducēt līdz veseliem skaitļiem un to attiecībām". Hipāza atklāšana sagādāja nopietnu problēmu Pitagora matemātikā, iznīcinot pieņēmumu, kas ir visas teorijas pamatā, ka skaitļi un ģeometriskie objekti ir viens un nedalāms.

Iepriekš mēs parādījām, ka $ 1 \\ frac25 $ ir tuvu $ \\ sqrt2 $. Ja tas būtu tieši $ \\ sqrt2 $ ,. Tad relācija - $ \\ frac (1 \\ frac25) (1) $, kuru var pārvērst par veselu skaitļu $ \\ frac75 $ attiecību, reizinot frakcijas augšējo un apakšējo daļu ar 5, un tā būtu vēlamā vērtība.

Diemžēl $ 1 \\ frac25 $ nav precīza vērtība $ \\ sqrt2 $. Precīzāka atbilde $ 1 \\ frac (41) (100) $ sniedz mums sakarību $ \\ frac (141) (100) $. Mēs iegūstam vēl lielāku precizitāti, ja vienādojam $ $ sqrt2 $ ar $ 1 \\ frac (207) (500) $. Šajā gadījumā attiecība veselos skaitļos būs $ \\ frac (707) (500) $. Bet $ 1 \\ frac (207) (500) $ nav precīza 2 kvadrātsaknes vērtība. Grieķijas matemātiķi pavadīja daudz laika un pūļu, lai aprēķinātu precīzu $ \\ sqrt2 $ vērtību, taču viņiem tas nekad neizdevās. Viņi nespēja attēlot attiecību $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) $ kā veselu skaitļu attiecību.

Visbeidzot, izcilais grieķu matemātiķis Eiklīds pierādīja, ka neatkarīgi no tā, kā palielinās aprēķinu precizitāte, nav iespējams iegūt precīzu $ \\ sqrt2 $ vērtību. Nav nevienas daļas, kuras kvadrātā iegūstot rezultātu 2. Viņi saka, ka Pitagors bija pirmais, kurš nonāca pie šāda secinājuma, taču šis neizskaidrojamais fakts tik ļoti pārsteidza zinātnieku, ka viņš pats zvērēja un nodeva zvērestu no saviem studentiem, lai šis atklājums būtu noslēpums. ... Tomēr ir iespējams, ka šī informācija nav patiesa.

Bet, ja skaitli $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) $ nevar attēlot kā veselu skaitļu attiecību, tad nevienu, kas satur $ \\ sqrt2 $, piemēram, $ \\ frac (\\ sqrt2) (2) $ vai $ \\ frac (4) (\\ sqrt2) $ arī nevar attēlot kā veselu skaitļu attiecību, jo visas šādas daļas var pārvērst par $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) $, reizinot ar kādu skaitli. Tātad $ \\ frac (\\ sqrt2) (2) \u003d \\ frac (\\ sqrt2) (1) \\ reizes \\ frac12 $. Vai $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) \\ reizes 2 \u003d 2 \\ frac (\\ sqrt2) (1) $, ko var pārveidot, reizinot augšējo un apakšējo daļu ar $ \\ sqrt2 $, lai iegūtu $ \\ frac (4) (\\ sqrt2) $. (Atcerieties, ka neatkarīgi no skaitļa $ \\ sqrt2 $ ir tas, ka, reizinot to ar $ \\ sqrt2 $, mēs saņemam 2.)

Tā kā skaitli $ \\ sqrt2 $ nevar attēlot kā skaitļu attiecību, to sauc iracionāls skaitlis... No otras puses, tiek saukti visi skaitļi, kurus var attēlot kā skaitļu attiecību racionāls.

Visi veselie skaitļi un daļējie skaitļi, gan pozitīvie, gan negatīvie, ir racionāli.

Kā izrādās, lielākā daļa kvadrātveida sakņu ir iracionāli skaitļi. Racionālas kvadrātsaknes ir tikai skaitļiem kvadrātu skaitļu sērijā. Šos skaitļus sauc arī par perfektiem kvadrātiem. Racionālie skaitļi ir arī daļas, kas sastāv no šiem perfektiem kvadrātiem. Piemēram, $ \\ sqrt (1 \\ frac79) $ ir racionāls skaitlis, jo $ \\ sqrt (1 \\ frac79) \u003d \\ frac (\\ sqrt16) (\\ sqrt9) \u003d \\ frac43 $ vai $ 1 \\ frac13 $ (4 ir sakne kvadrāts ir 16, un 3 ir kvadrātsakne no 9).