L'equazioneè un'uguaglianza in cui sono presenti una o più variabili.
Considereremo il caso in cui nell'equazione è presente una variabile, ovvero un numero sconosciuto. In sostanza, un'equazione è una specie di modello matematico. Pertanto, prima di tutto, abbiamo bisogno di equazioni per risolvere i problemi.
Ricordiamo come viene compilato un modello matematico per risolvere un problema.
Ad esempio, nel nuovo anno accademico, il numero di studenti della scuola n. 5 è raddoppiato. Dopo che 20 studenti si sono trasferiti in un'altra scuola, un totale di 720 studenti hanno iniziato a studiare nella scuola n. 5. Quanti studenti c'erano l'anno scorso?
Dobbiamo esprimere ciò che è detto nella condizione in linguaggio matematico. Sia X il numero di studenti dell'ultimo anno. Quindi, a seconda della condizione del problema,
2X - 20 = 720. Abbiamo un modello matematico, che è un'equazione variabile. Più precisamente, questa è un'equazione di primo grado con una variabile. Resta da trovare la sua radice.
Qual è la radice dell'equazione?
Il valore della variabile a cui la nostra equazione si trasforma in una vera uguaglianza è chiamato radice dell'equazione. Ci sono equazioni che hanno molte radici. Ad esempio, nell'equazione 2*X = (5-3)*X qualsiasi valore di X è una radice. E l'equazione X \u003d X + 5 non ha alcuna radice, poiché indipendentemente da ciò che sostituiamo il valore di X, non otterremo l'uguaglianza corretta. Risolvere un'equazione significa trovare tutte le sue radici o determinare che non ha radici. Quindi, per rispondere alla nostra domanda, dobbiamo risolvere l'equazione 2X - 20 = 720.
Come risolvere le equazioni con una variabile?
Per prima cosa, scriviamo alcune definizioni di base. Ogni equazione ha un lato destro e uno sinistro. Nel nostro caso, (2X - 20) è il lato sinistro dell'equazione (è a sinistra del segno di uguale) e 720 è il lato destro dell'equazione. I termini dei lati destro e sinistro dell'equazione sono chiamati termini dell'equazione. I nostri termini nell'equazione sono 2X, -20 e 720.
Diciamo subito circa 2 proprietà delle equazioni:
- Qualsiasi termine dell'equazione può essere trasferito dal lato destro dell'equazione a quello sinistro e viceversa. In questo caso, è necessario cambiare il segno di questo termine dell'equazione nel contrario. Cioè, voci come 2X - 20 = 720, 2X - 20 - 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 - 2X sono equivalenti.
- Entrambi i lati dell'equazione possono essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero. Questo numero non deve essere zero. Cioè, anche voci come 2X - 20 = 720, 5*(2X - 20) = 720*5, (2X - 20):2 = 720:2 sono equivalenti.
Spostiamoci -20 sul lato destro con il segno opposto. Noi abbiamo:
2X = 720 + 20. Aggiungiamo quello che abbiamo sul lato destro. Otteniamo che 2X = 740.
Ora dividi i lati sinistro e destro dell'equazione per 2.
2X:2 = 740:2 o X = 370. Abbiamo trovato la radice della nostra equazione e allo stesso tempo abbiamo trovato la risposta al nostro problema. L'anno scorso c'erano 370 studenti nella scuola n. 5.
Verifichiamo se la nostra radice trasforma davvero l'equazione in una vera uguaglianza. Sostituiamo X con il numero 370 nell'equazione 2X - 20 = 720.
2*370-20 = 720.
Tutto bene.
Quindi, per risolvere un'equazione con una variabile, deve essere ridotta alla cosiddetta equazione lineare della forma ax \u003d b, dove aeb sono alcuni numeri. Quindi dividi le parti sinistra e destra per il numero a. Otteniamo che x = b:a.
Cosa significa portare un'equazione in un'equazione lineare?
Considera questa equazione:
5X - 2X + 10 = 59 - 7X + 3X.
Questa è anche un'equazione con una variabile sconosciuta X. Il nostro compito è portare questa equazione nella forma ax = b.
Per fare ciò, raccogliamo prima tutti i termini che hanno X come fattore sul lato sinistro dell'equazione e i termini rimanenti sul lato destro. I termini che hanno la stessa lettera come fattore sono chiamati termini simili.
5X - 2X + 7X - 3X = 59 - 10.
Secondo la proprietà distributiva della moltiplicazione, possiamo togliere lo stesso fattore tra parentesi e aggiungere i coefficienti (moltiplicatori per la variabile x). Questo processo è anche chiamato riduzione di termini simili.
X(5-2+7-3) = 49.
7X = 49. Abbiamo ridotto l'equazione alla forma ax = b, dove a = 7, b = 49.
E come abbiamo scritto sopra, la radice dell'equazione della forma ax \u003d b sarà x \u003d b: a.
Cioè X = 49:7 = 7.
Algoritmo per trovare le radici di un'equazione con una variabile.
- Raccogli i termini simili sul lato sinistro dell'equazione, i termini rimanenti sul lato destro dell'equazione.
- Porta termini simili.
- Porta l'equazione nella forma ax = b.
- Trova le radici usando la formula x = b:a.
- L'uguaglianza con una variabile è chiamata equazione.
- Risolvere un'equazione significa trovare l'insieme delle sue radici. Un'equazione può avere una, due, molte, molte radici o nessuna.
- Ogni valore della variabile in corrispondenza del quale l'equazione data si trasforma in una vera uguaglianza è chiamato radice dell'equazione.
- Le equazioni che hanno le stesse radici sono dette equazioni equivalenti.
- Qualsiasi termine dell'equazione può essere trasferito da una parte all'altra dell'uguaglianza, cambiando il segno del termine nell'opposto.
- Se entrambi i membri dell'equazione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente a questa equazione.
Esempi. Risolvi l'equazione.
1. 1,5x+4 = 0,3x-2.
1,5x-0,3x = -2-4. Abbiamo raccolto i termini contenenti la variabile sul lato sinistro dell'uguaglianza e i membri liberi sul lato destro dell'uguaglianza. È stata utilizzata la seguente proprietà:
1,2x = -6. Abbiamo portato termini simili secondo la regola:
x = -6 : 1.2. Entrambe le parti dell'uguaglianza sono state divise per il coefficiente della variabile, poiché
x = -5. Diviso secondo la regola della divisione di una frazione decimale per una frazione decimale:
per dividere un numero per un decimale, devi spostare le virgole nel dividendo e nel divisore di tante cifre a destra quante sono dopo la virgola nel divisore, quindi dividere per un numero naturale:
6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
Risposta: 5.
2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).
6x-27 = 4x-16. Abbiamo aperto le parentesi usando la legge distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ C.
6x-4x = -16+27. Abbiamo raccolto i termini contenenti la variabile sul lato sinistro dell'uguaglianza e i membri liberi sul lato destro dell'uguaglianza. È stata utilizzata la seguente proprietà: qualsiasi termine dell'equazione può essere trasferito da una parte all'altra dell'uguaglianza, cambiando il segno del termine al contrario.
2x \u003d 11. Hanno portato termini simili secondo la regola: per portare termini simili, devi sommare i loro coefficienti e moltiplicare il risultato per la loro parte di lettere comuni (cioè, aggiungere la loro parte di lettere comuni al risultato).
x = 11 : 2. Entrambe le parti dell'uguaglianza sono state divise per il coefficiente della variabile, poiché se entrambe le parti dell'equazione vengono moltiplicate o divise per lo stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente a questa equazione.
Risposta: 5,5.
3. 7x-(3+2x)=x-9.
7x-3-2x = x-9. Abbiamo aperto le parentesi secondo la regola per l'apertura delle parentesi, che sono precedute da un segno "-": se c'è un segno "-" davanti alle parentesi, rimuoviamo le parentesi, il segno "-" e scriviamo i termini tra parentesi con segni opposti.
7x-2x-x \u003d -9 + 3. Abbiamo raccolto i termini contenenti la variabile sul lato sinistro dell'uguaglianza e i membri liberi sul lato destro dell'uguaglianza. È stata utilizzata la seguente proprietà: qualsiasi termine dell'equazione può essere trasferito da una parte all'altra dell'uguaglianza, cambiando il segno del termine al contrario.
4x = -6. Abbiamo portato termini simili secondo la regola: per portare termini simili, devi sommare i loro coefficienti e moltiplicare il risultato per la loro parte di lettere comuni (cioè, aggiungere la loro parte di lettere comuni al risultato).
x = -6 : 4. Entrambe le parti dell'uguaglianza sono state divise per il coefficiente della variabile, poiché se entrambe le parti dell'equazione vengono moltiplicate o divise per lo stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente a questa equazione.
Risposta: -1,5.
3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per 12, il minimo comune denominatore per i denominatori di queste frazioni.
3x-15 = 84-8x+44. Abbiamo aperto le parentesi usando la legge distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: per moltiplicare la differenza di due numeri per il terzo numero, puoi moltiplicare separatamente il ridotto e separatamente sottratto per il terzo numero, quindi sottrarre il secondo risultato dal primo risultato, ad es.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ C.
3x+8x = 84+44+15. Abbiamo raccolto i termini contenenti la variabile sul lato sinistro dell'uguaglianza e i membri liberi sul lato destro dell'uguaglianza. È stata utilizzata la seguente proprietà: qualsiasi termine dell'equazione può essere trasferito da una parte all'altra dell'uguaglianza, cambiando il segno del termine al contrario.
Piano della lezione di algebra in 7a elementare.
Equazione lineare con una variabile.
(04.10.2012)
Lo scopo della lezione. Formazione dell'abilità di risolvere un'equazione con un'incognita, riducendola a un'equazione lineare utilizzando le proprietà di equivalenza.
Tipo di lezione: combinato.
Obiettivi della lezione:
1) educativo:
Far conoscere agli studenti il tipo di equazione lineare e il metodo per risolverla, per ottenere l'assimilazione della regola per risolvere le equazioni lineari, la sua comprensione e capacità di usarla nella risoluzione;
2) sviluppando:
continuare la formazione di conoscenze matematiche e metodi di attività mentale (la capacità di analizzare la situazione e navigare nelle azioni, imparare come eseguire una nuova azione, portarla all'automazione). Forma elementi di logica matematica.
3) educativo:
formazione dell'abilità del lavoro passo dopo passo sotto la guida di un insegnante (spiegazione di nuovo materiale, consolidamento iniziale), percezione delle informazioni a orecchio (carte), formazione dell'autostima (riflessione).
Durante le lezioni
I. Controllo dei compiti frontalmente.
II. Lavoro orale (su schede)
Lo scopo del lavoro orale: diagnostica della formazione di abilità per la risoluzione di equazioni lineari con una variabile.
1. Invece di (*), metti il segno "+" o "-" e invece di punti - numeri:
a) (*5)+(*7)=2;
b) (*8)-(*8)=(*4)-12;
c) (*9)+(*4)=-5;
d) (-15)-(*…)=0;
e) (*8)+(*…)=-12;
e (*10)-(*…)=12.
2. Scrivi equazioni equivalenti all'equazione:
a) x-7=5;
b) 2x-4=0;
c) x-11=x-7;
d) 2(x-12)=2x-24.
III. Generalizzazione della capacità di risolvere equazioni riducendole ad un'equazione lineare.
Lavoro collettivo con la classe.
Forma di lavoro di squadra: frontale
Risolviamo l'equazione
12 - (4x-18) \u003d (36 + 5x) + (28 - 6x). (uno)
Per fare ciò, eseguire le seguenti trasformazioni:
1. Espandi le parentesi. Se c'è un segno più davanti alle parentesi, allora le parentesi possono essere omesse, conservando il segno di ogni termine racchiuso tra parentesi. Se c'è un segno meno davanti alle parentesi, allora le parentesi possono essere omesse cambiando il segno di ogni termine racchiuso tra parentesi:
12 - 4x + 18 = 36 + 5x + 28 - 6x. (2)
Le equazioni (2) e (1) sono equivalenti.
2. Trasferiamo i termini incogniti con segni opposti in modo che siano solo in una parte dell'equazione (a sinistra oa destra). Allo stesso tempo, spostiamo i termini noti con segni opposti in modo che si trovino solo nell'altra parte dell'equazione.
Ad esempio, spostiamo i termini sconosciuti con segni opposti a sinistra e i termini noti a destra dell'equazione, quindi otteniamo l'equazione
4x-5x+6x=36+28-18, (3)
che è equivalente all'equazione (2) e, di conseguenza, all'equazione (1).
3. Presentiamo termini simili:
3x=46. (4)
L'equazione (4) è equivalente all'equazione (3), e quindi all'equazione (1).
4. Dividi entrambi i membri dell'equazione (4) per il coefficiente dell'incognita. L'equazione risultante x=46/-3 o -15 1/3 sarà equivalente all'equazione (4), e quindi alle equazioni (3), (2), (1).
Pertanto, la radice dell'equazione (1) sarà il numero -15 1/3.
Secondo questo schema (algoritmo), risolviamo le equazioni nella lezione di oggi:
1. Espandi le parentesi.
2. Raccogli i termini contenenti incognite in una parte dell'equazione e i termini rimanenti nell'altra.
3. Porta termini simili.
4. Dividi entrambi i membri dell'equazione per il coefficiente dell'incognita.
Nota: va notato che lo schema sopra non è obbligatorio, poiché spesso ci sono equazioni per le quali alcuni dei passaggi indicati non sono necessari. Quando si risolvono altre equazioni, è più facile deviare da questo schema, come, ad esempio, nell'equazione:
7(x-2)=42.
IV. Esercizi di formazione.
№№ 132(a, d), 133 (a, d), 136 (c), 138 (d) - con scritta alla lavagna.
№132. Trova la radice dell'equazione:
a) (13x-15) - (9 + 6x) \u003d -3x
Espandiamo le parentesi:
13x-15-9-6x=-3x.
Trasferiamo i termini sconosciuti con segni opposti a sinistra e i termini noti a destra dell'equazione, quindi otteniamo l'equazione:
13x-6x+3x=15+9.
Presentiamo termini simili.
10x=24.
Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per il coefficiente dell'incognita.
x=2.4
Risposta: 2.4
d) (0,5x + 1,2) - (3,6-4,5x) \u003d (4,8-0,3x) + (10,5x + 0,6);
0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6;
0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6;
5,2x=7,8;
x=-1,5
Risposta: -1.5
№133 Trova la radice dell'equazione:
a) 5 (3x + 1,2) + x \u003d 6,8,
15x + 6 + x = 6,8,
15x + x \u003d 6,8 - 6,
16x = 0,8,
x \u003d 0,8: 16,
x = 0,05,
Risposta: 0,05
d) 5,6 - 7 anni \u003d - 4 (2 anni - 0,9) + 2, 4,
5,6 - 7 anni \u003d - 8 anni + 3, 6 + 2,4,
8 anni - 7 anni \u003d 3,6 + 2,4 - 5,6,
y = 0,4,
Risposta: 0.4
№ 136. Risolvi l'equazione:
c) 0,8x - (0,7x + 0,36) = 7,1,
0,8x - 0,7x - 0,36 \u003d 7,1,
0,1x \u003d 0,36 + 7,1,
0,1x = 7,46,
x \u003d 7,46: 0,1,
x = 74,6
Risposta: 74.6.
№ 138. Trova la radice dell'equazione:
d) -3(y + 2,5) = 6,9 - 4,2y,
3 anni - 7,5 \u003d 6,9 - 4,2 anni,
4,2 anni - 3 anni \u003d 6,9 + 7,5,
1,2 anni = 14,4,
y \u003d 14.4: 1.2,
y = 12,
Risposta: 12
V. Lavoro indipendente, tenendo conto delle capacità individuali degli studenti.
IO. Opzione.
1. Per risolvere l'equazione 5x \u003d -40, devi dividere -40 per 5. Qual è la radice di questa equazione?
2. Sottolinea il coefficiente in x e risolvi le equazioni:
a) 7x = 49;
6) - Zx = 111;
c) 12x = 1.
3. Risolvendo l'equazione 12x = -744, Kolya trovò, che cosa x = -62. Sostituendo il numero - 62 invece di x, controlla se la radice dell'equazione è trovata correttamente.
4. Risolvi le equazioni.
a) 6x = 24;
b) 13x = -39;
c) 8x = 4;
d) 6x = 7,5; e) 7x = 63;
e) - 4x \u003d 12;
g) 9x = - 3;
h) 9x = 0,36.
5. A quale valore di x:
a) il valore dell'espressione 8x è -64;
b) il valore dell'espressione 7x è uguale a 1;
c) il valore dell'espressione -x è uguale a 11?
6. Spostare a sinistra i termini contenenti x parte equazioni e il resto a destra, mentre si cambia i loro segni al contrario:
a) 2x - 3 \u003d 5x + 8; c) -2x - 5 \u003d 6x - 8;
b) 4x - 12 \u003d -3x + 3; d) -4x - 2 = - 13 volte+ 21.
7. Completa la soluzione dell'equazione:
a) 2x - 4 \u003d -8x + 12; b) Zx - 2 \u003d 7x - 14;
c) 2x + 8x \u003d 12 + 4 d) Zx - 7x \u003d -14 + 2
8. Risolvi l'equazione:
a) Zx + 8 \u003d x - 12;
b) x + 4 = 3 - 2x;
c) 5 anni = 2 anni + 16;
d) -2x + 9 - 8 \u003d x - 1.
9. Risolvi l'equazione:
a) 1,2x = -4,8; d) Zx - 4 = 11; g) 2x - 1 \u003d Zx + 6;
b) -6x = 7,2; e) 5 - 2x = 0; h) x - 8 = 4x - 9;
C)-X \u003d -0,6; f) -12 - x = 3; i) 5 - 6x \u003d 0,3 - 5x.
10. A quale valore di a
a) il valore dell'espressione 3 + 2a è 43,
b) il valore dell'espressione 12 - a è uguale a 100;
c) i valori delle espressioni 13a + 17 e 5a + 9 sono uguali;
d) sono i valori delle espressioni 5a + 14 e 2a + 7 contatore numeri positivi?
II. Opzione
1. Per ogni equazione della forma ax \u003d b, annota ciò che è uguale a a e ciò che è uguale a:
a) 2,3x = 6,9;
b) –x = -1;
c) - x = 6;
d) 1,2x = 0.
2. a) Termina la voce: per risolvere l'equazione ax \u003d b, in cui a = 0 bisogno...
b) Risolvi l'equazione 12x = -60 e verifica.
3. Risolvi l'equazione:
1) a) 2x = 12; b) -5x = 15; c) - x = 32; d) -11x = 0;
2) a) 3x = 5; b) - 6x = -15; c) 29x = - 27; d) 16x = - 1;
3) a) 5x = 1/3|; b) 4x \u003d - 2/7; c) 1/3x = 6; d) -2/7x = 14.
4) a) 0,01x = 6,5; b) - 1,4x = 0,42; c) 0,3x = 10; d) -0,6x = -0,5.
4. A quale valore di x:
a) il valore dell'espressione 5x è - 1;
b) il valore dell'espressione -0.1x è uguale a 0.5;
c) il valore dell'espressione 16x è uguale a 0?
5. La soluzione di un'equazione della forma ax = b è stata scritta alla lavagna, ma il lato destro dell'equazione è stato cancellato. Ripristinalo:
a) 5x = ... b) 3x = ... c) 4x = ...
x = -12; x=1/6; x = 0,8.
6. Trova un valore di a per il quale l'equazione ax \u003d 114 ha una radice di 6.
7. Risolvi l'equazione:
a) Zx-4 = 20
b) 54 - 5x ~ -6;
c) 1,2 - 0,3x = 0;
d) 16-7x = 0;
e) 5/6-x = 1/6
8. Risolvi l'equazione:
a) 5x-11 \u003d 2x + 8; d) 0,8x-4 = 0,5-7;
b) 6-7 volte = 11-6 volte; e) 2,6x + 8 = 2x;
c) 3 - x = x + 13; f) 12 + 1/3x = 15 - 1/6x
9. A quale valore di:
a) il valore dell'espressione 5-For è 17;
b) il significato delle espressioni 3-2a e 5a+10 sono uguali;
c) il valore dell'espressione 5 - 9a è 4 in più rispetto al valore dell'espressione a + 1;
d) il valore dell'espressione 7+8a 5 è inferiore al valore dell'espressione 2a+1?
10. Risolvi l'equazione:
a) 15(x+2) = 40; c) 5(2x+1) = 3(2x);
b) - 2(1-x) = x; d) -6 (2-x) -5 (1 + x).
11. Risolvi l'equazione:
a) 43 + 4x + (11-5x) \u003d 7; d) 6(x+11)-7x = 73+x;
b) 12-4x - (2 +x) = 5x; e) 8 (3-x) - 12 + 6x \u003d 25-x;
c) 5x + 12-3 (x + 16) \u003d - 20; f) 6-x-3(2-5x) - 12+8x.
Per l'autocontrollo: dopo aver aperto le parentesi si ottiene l'equazione:
a) 43+4x+11-5x = 7; d) 6x + 66-7x = 73 + x;
b) 12-4x-2-x = 5x; e) 24-8x-12+6x - 25°;
c) 5x + 12-3x-48 \u003d -20; f) 6-x-6+15x = 12+8x.
III. Opzione
1. Risolvi l'equazione:
a) 6x = 36; c) -x = 18; e) 49x = 0; g) 21x = - 3;
b) 5x=5/7; d) 11x \u003d -1/3; c) 1/3x = 0; e) -3/7x = - 1;
2. Risolvi l'equazione e controlla:
a) 0,08x - 1; c) - 0,1x = 1; e) 0,6x = - 5; g) - 0,3x = - 1,1;
b) 0,3x = 1/3; d) – 1/7х = 0; e) 0,2x \u003d 1/7 h) - 3,6x - - 6.
3. Crea un'equazione della forma ax \u003d b, quale
a) ha una radice numero 3;
b) ha radice 0;
c) non ha radici;
d) ha infinite radici.
4. Per quali valori di x
A) il valore dell'espressione 1/3x è 3;
b) il valore dell'espressione - 0,8x è uguale a 0;
c) il valore dell'espressione 0.01x è pari a 30;
d) il valore dell'espressione -15x è uguale a -0,1.
5. Dopo aver risolto l'equazione della forma ax \u003d b, lo studente ha cancellato il coefficiente a. Ripristinalo se possibile:
a) ... x \u003d 1/8 b) ... x \u003d -4 c) ... x \u003d 0
x=4 x= - 1 x = 0
6 . Per quali valori interi di a è la radice dell'equazione ax = 8 un intero?
8. Vengono fornite le espressioni per +2 e a-5. Per quali valori a
a) i valori di queste espressioni sono uguali;
b) il valore della prima espressione è 12 in più rispetto al valore della seconda;
c) il valore della prima espressione è 7 inferiore al valore della seconda;
d) il valore della prima espressione è 5 volte maggiore del valore della seconda
eccitato?
9. Risolvi l'equazione:
a) - (2x + 1) = 41; d) 5(x-1) - 3(2x+2) = - 1;
b) 5(12-x) = 27; e) 12 (1-x) - 4 \u003d 2 (4x + 6);
c) 1,2(2x-1) = 3,6; e) 0,5 (2x-1) - x \u003d 6,5.
10. Per l'equazione ax-11 \u003d Zx + 1, trova
a) valori di a per i quali la radice di questa equazione è il numero 6;
b) valori di a per i quali questa equazione non ha radici;
c) valori naturali di a per i quali la radice dell'equazione è un numero naturale.
11. Risolvi l'equazione:
a) 5 (x - 18) - 7x \u003d 21 + x; d) 6(x - 1) + 12(3 - 2x) = 45 - 17x;
b) Zx + 6 (1 - x) \u003d - 2 (2 + x); e) 15 (3 - x) - 5 (x + 11) \u003d 1 - 19x;
c) 1,7 - 8 (x - 1) = 3,7 + 2x; e) - (5 - x) - 8 (6 + x) \u003d 11,8 + x.
VI . Riassunto della lezione. Algoritmo per ridurre un'equazione ad un'equazione lineare.
VII . Compiti a casa: punto 3, nn. 128, 129, 131.
Il controllo ha mostrato che gli studenti hanno completato questi compiti, cioè hanno imparato questo argomento.
Introspezione della lezione
1. Ci sono 25 studenti nella classe. Cinque persone possono studiare per 4-5, 8 persone per quattro, il resto non può studiare senza un aiuto guida. Durante la pianificazione della lezione, questo è stato preso in considerazione e ha determinato la scelta di metodi e tecniche per presentare nuovo materiale e modi per consolidare le conoscenze acquisite.
2. Questa è la seconda lezione sull'argomento "Equazioni con una variabile". Questo anno accademico è stato studiato questo materiale, all'inizio della lezione, la conoscenza è stata aggiornata sotto forma di promemoria da parte dell'insegnante delle informazioni necessarie. Questa lezione è importante per il successivo studio dell'argomento "Funzione lineare" nel corso di algebra. Specificità: molti concetti, modelli, conoscenze che è meglio sistematizzare e organizzare sotto forma di riassunto. Tipo di lezione - lezione combinata.
3. Durante la lezione sono stati risolti i seguenti compiti:
Obiettivo didattico della lezione: Contribuire alla consapevolezza e alla comprensione di nuove informazioni educative sui modelli geometrici e analitici di un'equazione lineare con una variabile.
Scopo educativo: Formare il concetto di equazione lineare e metodi per risolverlo e ottenere una comprensione dell'essenza del suo nome, designazione e notazione algebrica.
Obiettivo di sviluppo: Promuovere lo sviluppo della capacità di modellare una situazione e sistematizzare la conoscenza sotto forma di tabella.
obiettivo educativo: Formazione dell'autostima, rispetto per il lavoro intellettuale.
La complessità della loro soluzione è ben ponderata. I compiti principali erano i compiti di apprendimento, mentre li risolvevano, sia i compiti di sviluppo che quelli di educazione venivano risolti lungo il percorso. Il compito di sviluppo è stato risolto attraverso i metodi di studio accessibile del materiale e il compito educativo era già nella fase di scelta di una classe per una lezione aperta.
4. Questa struttura della lezione è dettata dall'incapacità degli studenti di percepire a lungo e con concentrazione il materiale presentato in modo monotono. Pertanto, la lezione nel primo tempo è più densa e dinamica. L'indagine è stata condotta al fine di aggiornare le conoscenze esistenti e consolidarne di nuove. I collegamenti tra le fasi sono logici. I compiti a casa contengono tre numeri, gli studenti possono completare il numero che desiderano: per 3-un numero, per 4-due, per 5-tre.
5. L'enfasi principale è stata posta sui concetti: equazione lineare, radice dell'equazione. Si scelgono i concetti principali dell'argomento, si elaborano le abilità per designare, nominare, scrivere il modello algebrico dell'intervallo numerico.
6. Metodi didattici selezionati parzialmente ricerca, visuale, attività.
7. Non è stato necessario utilizzare metodi di apprendimento differenziati.È sufficiente fornire assistenza individuale.
8. Controllo dell'apprendimentoè stato effettuato monitorando l'indipendenza e l'attività degli studenti, man mano che veniva studiato nuovo materiale.
9. Sono stati utilizzati strumenti di apprendimento: Libro di testo Yu.N. Makarychev e altri - 2009, carte per lavoro orale e individuale, la lavagna è stata utilizzata attivamente.
10. I compiti sono completamente implementati.
Scuola secondaria di Khatsyzsk n. 25 "Intelletto"
con approfondimento delle singole materie
Lezione introduttiva di algebra nella classe 7
Equazione lineare
con una variabile
Insegnante di matematica
Nakonechnaya LP
Chartsizsk, 2017
Argomento della lezione. Equazione lineare con una variabile
Tipo di lezione: combinato.
Metodo di insegnamento della lezione: l'uso della tecnologia modulare.
Lo scopo della lezione. Approfondire, ampliare e generalizzare le conoscenze precedentemente acquisite in merito
equazione.
Obiettivi della lezione
Esercitazioni:
Approfondire e consolidare le conoscenze degli studenti sulla risoluzione di equazioni;
Formazione dell'abilità di risolvere un'equazione con una riduzione incognita a un'equazione lineare utilizzando le proprietà di equivalenza;
Per formare la capacità di risolvere equazioni con un modulo;
Far conoscere agli studenti la risoluzione di equazioni con un parametro;
Per formare un vocabolario di termini sull'argomento dell'equazione.
Sviluppando:
Formare l'indipendenza e la capacità di analizzare, confrontare e generalizzare;
Sviluppare il pensiero creativo;
Sviluppare la capacità di applicare le conoscenze in situazioni di vita reale.
Sviluppa il discorso matematico;
Educativo:
Contribuire all'educazione di un atteggiamento consapevole e interessato alla materia;
Instillare interesse nelle attività di ricerca;
Coltiva un buon atteggiamento verso i compagni, la capacità di offrire il loro aiuto.
Durante le lezioni
1. Fase organizzativa
Controlla che gli studenti abbiano provviste.
La natura non può separarsi dal calore -
Allora lasciati andare e addormentati....
Settembre arriva sempre, anno dopo anno
Un po' come agosto
E il verde della foresta non è ancora sbiadito,
E d'estate le pellicce la bestia,
E il sole splende come l'estate nel cielo,
Sprecare il tuo calore.
In un'atmosfera calda e amichevole, inizieremo il nostro viaggio nel mondo di ALGEBRA
2. Conversazione introduttiva dell'insegnante
In questa calda giornata di settembre, stiamo iniziando a studiare per te una nuova materia: l'algebra, con la quale sarai amico fino alla laurea.
L'algebra è una scienza antica. Gli antichi babilonesi ed egiziani più di 4000 anni fa conoscevano già alcuni concetti algebrici e metodi generali per risolvere i problemi. Ma il "padre dell'algebra" è giustamente chiamato l'eccezionale matematico greco antico Diofanto (III secolo). Già in quei tempi lontani, era in grado di risolvere equazioni molto complesse, usando designazioni di lettere per numeri sconosciuti.
Nell'825, lo studioso arabo Muhammad al-Khwarizmi scrisse il libro "Kitab al jabr wal-muqabala", che significa "Il libro della restaurazione e della contraddizione", in cui l'algebra è considerata un campo indipendente della matematica. È stato il primo libro di testo di algebra al mondo. La stessa parola "algebra" deriva dalla parola "al-jabr", che significa "trasferimento di termini negativi da un lato dell'equazione all'altro con un cambio di segno".
Il matematico francese Francois Vieta, nato nel 1540 nella cittadina francese di Fontenay, è considerato il "padre dell'algebra moderna". Era un avvocato di professione, ma la sua vera vocazione era la matematica. Travolto da qualche problema matematico, a volte poteva lavorarci sopra per tre giorni di seguito senza cibo e senza dormire.
L'eccezionale matematico e filosofo francese René Descartes (1596 - 1650) diede un grande contributo all'ulteriore sviluppo del simbolismo algebrico; la notazione da lui introdotta è sopravvissuta fino ai nostri giorni.
La collaborazione con l'algebra non finisce a scuola. Ci sono istituzioni educative speciali dove vengono formati i matematici, per i quali questa scienza diventa una professione.
La conoscenza dell'algebra è necessaria nella vita di tutti i giorni. Consente di risolvere problemi complessi che riguardano le esigenze della tecnologia e della produzione.
Per passare alla fase successiva della conoscenza dell'algebra, ti suggerisco di indovinare il "Pentagono"
1. Insegna a molti, sebbene sia costantemente silenziosa.
2. Alcuni cercano di insegnarlo anche loro, ma non tutti ci riescono.
3. Può deliziarti, può farti arrabbiare, può mandarti in viaggio e persino rinchiuderti in una stanza per alcuni giorni.
4. Può dirti qualcosa, consigliarti qualcosa, può darti un compito, ma in ogni caso ti farà pensare.
5. Puoi portarlo con te, anche metterlo in una valigetta o metterlo in un armadio.
Proprio così gente, questo è un libro. E ora faremo conoscenza con un libro di testo che ci porterà nell'affascinante mondo dell'algebra.
(Introduzione al libro di testo Algebra. Grado 7: un libro di testo per le organizzazioni educative / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov; a cura di S.A. Telyakovsky. - Edizione 6 -e - M.: Enlightenment, 2016.)
3. Attualizzazione delle conoscenze di base.
Indagine frontale
Che cos'è un'equazione?
(Un'equazione è un'uguaglianza contenente una variabile il cui valore deve essere trovato)
Qual è la radice dell'equazione?
(La radice dell'equazione è il valore della variabile, quando si sostituisce nell'equazione si ottiene l'uguaglianza corretta)
Cosa significa risolvere un'equazione?
(Risolvere un'equazione significa trovare tutte le sue radici o mostrare che non ce ne sono);
Come aprire le parentesi precedute da un segno "+".
(Lasciare invariati i segni tra parentesi)
Come aprire le parentesi precedute da un segno "-".
(I segni tra parentesi sono invertiti)
Quali termini sono chiamati simili?
(I termini che hanno la stessa parte della lettera sono chiamati simili)
Come portare termini simili?
(eseguiamo azioni con coefficienti e attribuiamo la parte della lettera al risultato)
Qual è il modulo di un numero?
(Il modulo di un numero è la distanza dall'origine a un punto con una data coordinata)
4. Formulazione dello scopo e degli obiettivi della lezione
Nelle classi 5-6 abbiamo lavorato principalmente con le espressioni numeriche. In algebra, le azioni vengono studiate principalmente non con numeri specifici, ma con numeri indicati da lettere e l'argomento della lezione di oggi è "Equazione lineare con una variabile" (Definisci i compiti della lezione di oggi insieme agli studenti.) Nella lezione di oggi, approfondiremo la tua conoscenza dell'equazione e continueremo la familiarità con le equazioni con un modulo e le equazioni contenenti un parametro.
Risultati aspettati:
Conoscere: Definizioni dei concetti "equazione", "radice dell'equazione", "equazione lineare", "equazione equivalente", algoritmo per la risoluzione di un'equazione lineare.
Essere in grado di: Risolvere equazioni lineari, determinare il numero di radici di un'equazione lineare, risolvere le equazioni più semplici contenenti il segno del modulo, studiare la soluzione di semplici equazioni contenenti un parametro.
5. Motivazione dell'attività educativa e cognitiva
Poco si sa di Diofanto, è persino impossibile determinare con precisione gli anni della sua vita. Ma era un matematico così famoso che, secondo la leggenda, anche l'epitaffio sulla sua lapide era scritto sotto forma di un problema. Ha detto: “Viaggiatore! Sotto questa pietra riposano le ceneri di Diofanto, morto in tarda età. Trascorse un sesto della sua lunga vita da bambino, un dodicesimo da giovane e un settimo da celibe. Cinque anni dopo il suo matrimonio, ebbe un figlio che visse metà della vita di suo padre. Quattro anni dopo la morte di suo figlio, lo stesso Diofanto cadde in un sonno eterno, pianto dai suoi parenti. Dimmi, se sai contare, quanti anni visse Diofanto?
Il modo più comune per risolvere questo problema è scrivere un'equazione. E mi propongo di comporlo e risolverlo a casa dopo la nostra lezione.
(Decisione. Prendiamo per x - l'età di Diofanto, quindi possiamo fare un'equazione:
6. Approfondimento e sistematizzazione delle conoscenze(Lavoro degli studenti con un libro di testo)
Definizione. Viene chiamata un'equazione della forma ax \u003d b, dove x è una variabile eeb sono alcuni numeri equazione lineare con una variabile
Definizione Le equazioni sono chiamate equivalente se hanno le stesse radici. Anche le equazioni che non hanno soluzioni sono considerate equivalenti.
Proprietà delle equazioni
1. Se entrambe le parti dell'equazione vengono moltiplicate o divise per lo stesso numero diverso da zero, otteniamo un'equazione equivalente a quella data;
2. Se nell'equazione trasferiamo il termine da una parte all'altra, cambiandone il segno, otteniamo un'equazione equivalente a quella data.
Per risolvere un'equazione lineare con una variabile, devi:
1. Espandi le parentesi.
2. Raccogli i termini contenenti incognite in una parte dell'equazione e i termini rimanenti nell'altra.
3. Porta termini simili
su entrambi i lati dell'equazione.
4. Dividi entrambe le parti dell'equazione per il coefficiente dell'incognita
ah = dentro
Se a ≠ 0, l'equazione ha una soluzione univoca;
Se a = 0 e b = 0, l'equazione ha molte radici;
Se a \u003d 0 e b ≠ 0, l'equazione non ha soluzioni
|x| = a
Se a = 0, allora x = 0
Se a ˂ 0, non ci sono soluzioni
Se a ˃ 0, x = a o x = -a
Abbiamo grandi case, (mani in alto)
Ci sono molte case più piccole (mani abbassate un po')
I verdi sono luminosi intorno (allargando le braccia ai lati)
Oscillare nel vento (le mani oscillano a destra, poi a sinistra)
Tu sei mio amico e io sono tuo amico (mano destra avanti, poi mano sinistra avanti)
Lascia che l'amicizia non finisca mai (batti le mani)
7. Consolidamento di conoscenze e competenze.
(Lavoro collettivo e lavoro in coppia. Eseguiamo il compito a in ogni blocco, i compiti b) e c) risolviamo in modo indipendente, seguito da verifica reciproca)
1. A quale valore di x:
a) il valore dell'espressione 11x è uguale a -1;
b) il valore dell'espressione - 0,1x è pari a 0,7;
c) il valore dell'espressione 19x è uguale a 0?
2. A quale valore di y:
a) il valore dell'espressione 7 - 4y è 19;
b) il valore delle espressioni 3 - 2y e 5y + 10 sono uguali;
c) il valore dell'espressione 5 - 9y è 4 in più rispetto al valore dell'espressione y + 1;
2. La soluzione di un'equazione della forma ax = b è stata scritta alla lavagna, ma il lato destro dell'equazione è stato cancellato. Ripristina il lato destro dell'equazione
a) 19x = ... b) 6x = ... c) 7x = ...
x = - 4; x =; x = 2,6.
3.Risolvi equazioni
a) 7,2(x + 5) = 36 + 7,2x; b) 12x - (3x +4) = 17 + 9x; c) 1,3x + 9 = 0,7x + 27;
7,2x + 36 = 36 + 7,2x; 12x - 3x - 4 = 17 + 9x; 1,3x - 0,7x \u003d 27 - 9;
0x = 0. 12x - 3x - 9x = 17 +4; 0,6x = 18;
0x = 21.x = 18: 0,6;
- (Soluzione dell'equazione d) commento alla lavagna)
d) (2 - x)(x - 7) = 0;
Il prodotto di due fattori è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero.
2 - x = 0 oppure x - 7 = 0
a) la soluzione è un numero qualsiasi.
b) non ci sono soluzioni;
c) una soluzione x = 30.
d) due soluzioni x = 2, x = 7.
"Brainstorming" (Posizionamento di una domanda problematica)
Un'equazione ha sempre radici? Ha una radice?
Un'equazione può avere tre radici, quattro radici, cinque radici? Fai un esempio di tale equazione.
Una simile equazione è lineare?
Su quale proprietà della moltiplicazione si basa la soluzione di tali equazioni?
(Compiti 4, 5, 6, 7 lavoro collettivo)
4. Risolvi le equazioni
a) |x| = 4,5; b) |x| = - 17; c) |3x + 2| = 8;
x = 4,5; non ci sono soluzioni; 3x + 2 = 8; o 3x + 2 = - 8;
3x = 6; 3x = -10;
x = 2. x = - 3.
5. Trova un valore di a per il quale l'equazione ax \u003d 156 ha una radice di 6.
Soluzione. Poiché la radice dell'equazione è 6, quindi sostituendo nell'equazione, otteniamo l'uguaglianza corretta a 6 = 156
6. Risolvi l'equazione (a - 2) x = 4;
Soluzione. Quando a \u003d 2, (a - 2) \u003d 0, otteniamo l'equazione 0 x \u003d 4, che non ha radici. Se a - 2 ≠ 0, a ≠ 2, allora x = .
7. Trova tutti i valori interi di a per i quali la radice dell'equazione ax = 8 è un numero intero.
Soluzione. Trova il valore di x in a ≠ 0, x = . Affinché la radice dell'equazione sia un numero intero, è necessario che a sia un divisore del numero 8. Pertanto, a \u003d ( -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8)
8. Riepilogo della lezione
Che cos'è un'equazione lineare?
Quante radici ha un'equazione lineare?
Quali proprietà per risolvere le equazioni conosci?
9. Riflessione.
Parabola: Un uomo saggio camminava e tre persone portavano verso di lui pietre da costruzione. Il saggio si fermò e fece una domanda a ciascuno di loro. Chiese al primo: "Cosa hai fatto tutto il giorno?" E lui rispose: "Ho portato pietre maledette". Secondo: "E ho fatto coscienziosamente il mio lavoro". E il terzo sorrise e rispose: "E ho partecipato alla costruzione del tempio".
Ragazzi, chi ha lavorato in buona fede oggi? Chi ha preso parte alla “costruzione del tempio”?
9. Compiti a casa
Impara le definizioni e le proprietà delle equazioni
131 (a, b), n. 134 (a), n. 135 (a, b, c), risolvono il problema dell'età di Diofanto.
Letteratura.
1. Algebra. Grado 7: libro di testo per l'istruzione generale. organizzazioni /Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I. Neshkov, SB Suvorova; ed. SA Telyakovsky. - 6a ed. - M.: Istruzione, 2016.
2. Kostrykina NP Compiti di maggiore difficoltà nel corso di algebra gradi 7 - 9. - M.: Illuminismo, 1991.
3. Bartenev FA Problemi non standard in algebra. - M.: Illuminismo, 1976.
4. Chervatyuk O.G., Shimanskaya G.D. Elementi di matematica interessante nelle lezioni di matematica. - K.: "Scuola di Radyansk", 1968.
5. Perelman Ya.I. Matematica dal vivo. - M.: "Scienza", 1978.
6. Shunda N.M. Raccolta di problemi di algebra per 6 - 8 classi. - K.: "Scuola di Radyansk", 1987.
Equazione lineare con una variabile
Prova n. 1
Obbiettivo:
Mostra le capacità di padroneggiare l'argomento "Equazione lineare con una variabile" Essere in grado di comporre un'espressione con variabili in base alla condizione del problema. Esegui trasformazioni di espressioni: dai termini simili, parentesi aperte. Trova il valore di un'espressione con variabili dati i valori delle variabili.
Compito numero 1
- Risolvi l'equazione:
- 1 opzione
- a) 6x-15 = 4x + 11;
- b) 9 - 7 (x + 3) \u003d 5 - 4x.
- opzione 2
- a) 9x - 8 \u003d 4x + 12;
- b) 6 - 8 (x + 2) \u003d 3 - 2x.
Compito numero 2
- 1 opzione
La prima scatola conteneva 5 volte più mele della seconda. Quando sono stati prelevati 7 kg di mele dalla prima scatola e 5 kg sono stati aggiunti alla seconda, le mele nelle scatole sono state equamente divise. Quanti kg. All'inizio c'erano delle mele in ogni scatola?
- opzione 2
Il primo cesto conteneva 4 volte più funghi del secondo. Quando altri 4 funghi sono stati messi nel primo cesto e altri 31 funghi nel secondo, il numero di funghi nei cestini è diventato uguale. Quanti funghi c'erano all'inizio in ogni cestino?
Compito numero 3
- Risolvi l'equazione:
- 1 opzione
a) (8 anni - 16) (2,1 + 0,3 anni) = 0;
b) 7x - (4x + 3) = 3x + 2.
- opzione 2
a) (12 anni + 30) (1,4 - 0,7 anni) = 0;
b) 9x - (5x - 4) \u003d 4x + 4.
Compito numero 4
- 1 opzione
100 kg consegnati al primo negozio dolci e nel secondo - 240 kg. Il primo negozio vendeva 12 kg di dolci al giorno e il secondo - 46 kg ciascuno. Dopo quanti giorni il secondo negozio avrà 4 volte meno caramelle rispetto al primo negozio?
- opzione 2
Il primo magazzino aveva 300 tonnellate di carbone e il secondo - 178 tonnellate 15 tonnellate di carbone venivano prelevate ogni giorno dal primo magazzino e 18 tonnellate dal secondo. In quanti giorni ci saranno 3 volte più tonnellate di carbone nel primo magazzino rispetto al secondo?
Compito numero 5
- 1 opzione
A quale valore di a è l'equazione (a + 3)x \u003d 12
a) ha radice pari a 6;
b) non ha radici?
- opzione 2
A quale valore di un'equazione (a -2) x \u003d 35
a) ha radice pari a 5;
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