तर्कहीन संख्या तर्कसंगत से अधिक हैं। तर्कसंगत और तर्कहीन संख्या क्या है

पूर्णांकों

प्राकृतिक संख्या परिभाषा पूरी सकारात्मक संख्या है। वस्तुओं और कई अन्य उद्देश्यों के साथ प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग किया जाता है। ये ये संख्याएं हैं:

यह संख्याओं की एक प्राकृतिक संख्या है।
शून्य प्राकृतिक संख्या? नहीं, शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।
कितने प्राकृतिक संख्याएँ मौजूद हैं? प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट है।
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या क्या है? इकाई सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है।
सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या क्या है? यह इंगित करना असंभव है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट है।

प्राकृतिक संख्याओं का योग एक प्राकृतिक संख्या है। तो, प्राकृतिक संख्याओं के अलावा ए और बी:

प्राकृतिक संख्या का उत्पाद एक प्राकृतिक संख्या है। तो, प्राकृतिक संख्याओं का उत्पाद ए और बी:

सी हमेशा एक प्राकृतिक संख्या है।

प्राकृतिक संख्याओं में अंतर हमेशा एक प्राकृतिक संख्या नहीं है। यदि एक और अधिक घटाया जाता है, तो प्राकृतिक संख्याओं में अंतर एक प्राकृतिक संख्या है, अन्यथा कोई नहीं है।

निजी प्राकृतिक संख्या में हमेशा प्राकृतिक संख्या नहीं होती है। यदि प्राकृतिक संख्याओं के लिए ए और बी

जहां सी एक प्राकृतिक संख्या है, तो इसका मतलब है कि ए बी एथ में विभाजित है। इस उदाहरण में, एक विभाजित है, बी एक विभक्त है, सी - निजी।

एक प्राकृतिक संख्या विभाजक एक प्राकृतिक संख्या है कि पहली संख्या को ध्यान से विभाजित किया गया है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक और अपने आप में विभाजित है।

सरल प्राकृतिक संख्या केवल एक और खुद पर विभाजित की जाती है। यहां मेरा मतलब है, वे एक फोकस से विभाजित हैं। उदाहरण, संख्या 2; 3; पांच; 7 केवल एक और खुद पर विभाजित हैं। ये सरल प्राकृतिक संख्याएं हैं।

इकाई को एक साधारण संख्या नहीं माना जाता है।

संख्याएं जो अधिक इकाइयां हैं और जो सरल नहीं हैं, जिन्हें समग्र कहा जाता है। यौगिक संख्या के उदाहरण:

इकाई को एक घटक नहीं माना जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं का सेट एक इकाई, सरल संख्या और घटक संख्या का गठन करता है।

प्राकृतिक संख्याओं का सेट लैटिन पत्र एन द्वारा दर्शाया गया है।

प्राकृतिक संख्याओं के अतिरिक्त और गुणा के गुण:

अतिरिक्त संपत्ति ले जाएँ

संयोजन की संपत्ति

(ए + बी) + सी \u003d ए + (बी + सी);

चलती संपत्ति गुणा

पूर्ण चरित्र गुणा

(Ab) c \u003d a (bc);

वितरण संपत्ति गुणा

ए (बी + सी) \u003d एबी + एसी;

पूर्ण संख्या

पूर्णांक प्राकृतिक संख्या, शून्य और प्राकृतिक के विपरीत संख्या हैं।

प्राकृतिक के विपरीत संख्या - ये पूरी नकारात्मक संख्या हैं, उदाहरण के लिए:

1; -2; -3; -4;...

कई पूर्णांक लैटिन पत्र जेड द्वारा दर्शाए गए हैं।

परिमेय संख्या

तर्कसंगत संख्या पूर्णांक और अंश हैं।

किसी भी तर्कसंगत संख्या को आवधिक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

उदाहरण बताते हैं कि कोई भी पूर्णांक शून्य की अवधि के साथ आवधिक अंश है।

किसी भी तर्कसंगत संख्या को एक अंश एम / एन के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां एम पूर्णांक, एन प्राकृतिक संख्या। पिछले उदाहरण से इस तरह के एक अंश संख्या 3, (6) के रूप में कल्पना कीजिए।

परिमेय संख्या - एम / एन के सामान्य अंश द्वारा प्रतिनिधित्व की गई संख्या, जहां संख्यात्मक एम एक पूर्णांक है, और denominator n एक प्राकृतिक संख्या है। कोई भी तर्कसंगत संख्या आवधिक अंतहीन दशमलव अंश के रूप में वैचारिक है। तर्कसंगत संख्याओं का सेट Q द्वारा दर्शाया गया है।

यदि एक वैध संख्या तर्कसंगत नहीं है, तो यह अपरिमेय संख्या। तर्कहीन संख्याओं को व्यक्त करने वाले दशमलव अंश अनंत हैं और आवधिक नहीं हैं। कई तर्कहीन संख्या आमतौर पर शीर्षक लैटिन पत्र I द्वारा इंगित की जाती हैं।

एक वैध संख्या कहा जाता है बीजगणितीययदि यह तर्कसंगत गुणांक के साथ कुछ बहुपद (नॉनज़ेरो डिग्री) की जड़ है। किसी भी nongrgebraic नंबर कहा जाता है उत्कृष्ट.

कुछ गुण:

तर्कसंगत संख्याओं की बहुलता संख्यात्मक अक्ष पर हर जगह घनीभूत रूप से स्थित है: किसी भी दो अलग तर्कसंगत संख्याओं के बीच, कम से कम एक तर्कसंगत संख्या स्थित है (और इसलिए तर्कसंगत संख्याओं के अनंत सेट)। फिर भी, यह पता चला है कि तर्कसंगत संख्याओं का सेट क्यू और प्राकृतिक संख्याओं का सेट एन समतुल्य हैं, यानी, उनके बीच एक पारस्परिक रूप से अस्पष्ट मैच स्थापित करना संभव है (तर्कसंगत संख्याओं के सेट के सभी तत्वों को किराए पर लिया जा सकता है)।

सेट क्यू तर्कसंगत संख्याओं को जोड़, घटाव, गुणा और विभाजन के सापेक्ष बंद है, जो कि राशि, अंतर, उत्पाद और निजी दो तर्कसंगत संख्या भी तर्कसंगत संख्याएं हैं।

सभी तर्कसंगत संख्याएं बीजगणितीय हैं (विपरीत कथन गलत है)।

प्रत्येक वास्तविक अनुवांशिक संख्या तर्कहीन है।

प्रत्येक तर्कहीन संख्या या तो बीजगणितीय या अनुवांशिक है।

एक संख्यात्मक प्रत्यक्ष पर हर जगह कई तर्कहीन संख्याएं: किसी भी दो संख्याओं के बीच एक तर्कहीन संख्या है (और इसलिए तर्कहीन संख्या के अनंत सेट)।

कई तर्कहीन संख्याएं होती हैं।

कार्यों को हल करते समय, यह तर्कहीन संख्या ए + बीए सी के साथ सुविधाजनक है (जहां ए, बी तर्कसंगत संख्या है, सी - एक प्राकृतिक संख्या का एक संपूर्ण वर्ग) "संयुग्मित" संख्या ए - b√ c: इसकी राशि पर विचार करें और प्रारंभिक - तर्कसंगत संख्या के साथ काम करते हैं। तो ए + बीए सी और ए - बीए सी पूर्णांक गुणांक के साथ एक वर्ग समीकरण की जड़ें हैं।

समाधान के साथ कार्य

1. साबित करो

ए) संख्या √ 7;

बी) एलजी 80 की संख्या;

सी) संख्या √ 2 + 3 √ 3;

तर्कहीन है।

ए) मान लीजिए कि संख्या √ 7 तर्कसंगत है। फिर, ऐसे पारस्परिक रूप से सरल पी और क्यू हैं, जो √ 7 \u003d पी / क्यू है, जहां से हमें पी 2 \u003d 7 क्यू 2 मिलता है। चूंकि पी और क्यू परस्पर सरल हैं, फिर पी 2, और इसलिए पी 7 से विभाजित है। फिर पी \u003d 7 के, जहां के कुछ प्राकृतिक संख्या है। इसलिए क्यू 2 \u003d 7 के 2 \u003d पीके, जो इस तथ्य का खंडन करता है कि पी और क्यू परस्पर सरल हैं।

तो, धारणा गलत है, इसका मतलब है कि संख्या √ 7 तर्कहीन है।

बी) मान लीजिए कि एलजी 80 की संख्या तर्कसंगत है। फिर ऐसे प्राकृतिक पी और क्यू हैं जो एलजी 80 \u003d पी / क्यू, या 10 पी \u003d 80 क्यू, जहां से हमें 2 पी -4 क्यू \u003d 5 क्यू-पी मिलता है। यह मानते हुए कि संख्या 2 और 5 पारस्परिक रूप से सरल हैं, हम यह प्राप्त करते हैं कि अंतिम समानता केवल पी -4Q \u003d 0 और QP \u003d 0. पर संभव है जहां से पी \u003d क्यू \u003d 0, जो संभव नहीं है, क्योंकि पी और क्यू चुने गए हैं प्राकृतिक द्वारा।

तो, धारणा झूठी है, इसका मतलब है कि संख्या एलजी 80 तर्कहीन है।

सी) एक्स के माध्यम से इस संख्या से denote।

फिर (x - √ 2) 3 \u003d 3, या x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 · (3x 2 + 2)। वर्ग में इस समीकरण के निर्माण के बाद हम प्राप्त करते हैं कि x को समीकरण को पूरा करना चाहिए

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 \u003d 0।

इसकी तर्कसंगत जड़ें केवल संख्या 1 और -1 हो सकती हैं। जांचें कि 1 और -1 की जड़ें नहीं हैं।

तो, यह संख्या √ 2 + 3 √ 3 \u200b\u200bतर्कहीन है।

2. यह ज्ञात है कि संख्या ए, बी, √ a-√ b, - तर्कसंगत। साबित करो √ ए और √ बी- तर्कसंगत संख्या भी।

काम पर विचार करें

(√ ए - √ बी) · (√ ए + √ बी) \u003d ए - बी।

संख्या √ ए + √ बी, जो संख्या के अनुपात के बराबर है - बी और √ a-√ b, यह तर्कसंगत है, क्योंकि दो तर्कसंगत संख्याओं को विभाजित करने से निजी एक तर्कसंगत संख्या है। दो तर्कसंगत संख्याओं का योग

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) \u003d √ a

- संख्या तर्कसंगत है, उनका अंतर,

½ (√ ए + √ बी) - ½ (√ ए - √ बी) \u003d √ बी,

एक तर्कसंगत संख्या भी, जो साबित करने के लिए आवश्यक था।

3. साबित करें कि सकारात्मक तर्कहीन संख्या ए और बी, जिसके लिए संख्या बी प्राकृतिक है।

4. क्या कोई तर्कसंगत संख्या ए, बी, सी, डी संतुष्ट समानता है

(ए + बी √ 2) 2 एन + (सी + डी 2) 2 एन \u003d 5 + 4√ 2,

जहां एन एक प्राकृतिक संख्या है?

यदि समानता की जाती है, तो स्थिति में दी जाती है, और संख्या ए, बी, सी, डी तर्कसंगत है, तो समानता का प्रदर्शन किया जाता है:

(ए - बी √ 2) 2n + (c - d √ 2) 2n \u003d 5 - 4√ 2.

लेकिन 5 - 4√ 2 (ए - बी 2) 2 एन + (सी - डी√ 2) 2 एन\u003e 0. परिणामी विरोधाभास साबित करता है कि प्रारंभिक समानता असंभव है।

उत्तर: मौजूद नहीं है।

5. यदि लंबाई के साथ सेगमेंट ए, बी, सी एक त्रिभुज बनाते हैं, तो सभी एन \u003d 2, 3, 4 के लिए। । । लंबाई के साथ सेगमेंट एन √ ए, एन √ बी, एन √ सी बस एक त्रिकोण बनाते हैं। इसे साबित करो।

यदि ए, बी, सी की लंबाई के साथ सेगमेंट एक त्रिभुज बनाते हैं, तो त्रिभुज की असमानता देता है

इसलिए, हमारे पास है

(एन √ ए + एन √ बी) एन\u003e ए + बी\u003e सी \u003d (एन √ सी) एन,

एन √ ए + एन √ बी\u003e एन √ सी।

त्रिभुज की असमानता के सत्यापन के शेष मामलों का समान व्यवहार किया जाता है, जहां से यह निम्नानुसार है।

6. साबित करें कि अनंत दशमलव अंश 0,1234567891011121314 ... (एक पंक्ति में अर्धविराम के बाद, सभी प्राकृतिक संख्या क्रम में लिखी गई हैं) एक तर्कहीन संख्या है।

जैसा कि ज्ञात है, तर्कसंगत संख्याएं दशमलव भिन्नताओं से व्यक्त की जाती हैं जिनके पास कुछ संकेतों की अवधि होती है। इसलिए, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि यह अंश किसी भी चिह्न से आवधिक नहीं है। मान लीजिए कि यह मामला नहीं है, और कुछ अनुक्रम टी, एन संख्याओं से मिलकर, अल्पविराम के बाद सुबह से शुरू होने वाले अंश की अवधि है। यह स्पष्ट है कि एम-वें मार्क के बाद संख्याओं में नॉनज़रो हैं, इसलिए संख्याओं के अनुक्रम में एक नॉनज़रो अंक है। इसका मतलब है कि अल्पविराम के बाद एम-वीं संख्या से शुरू, किसी भी एन संख्या में एक पंक्ति में एक नॉनज़रो अंक होता है। हालांकि, इस अंश के दशमलव रिकॉर्ड में, संख्या 100 का दशमलव रिकॉर्ड होना चाहिए ... 0 \u003d 10 के, जहां के\u003e एम और के\u003e एन। यह स्पष्ट है कि यह प्रविष्टि एम-ओएच संख्याओं के अधिकार को पूरा करेगी और इसमें एक पंक्ति में अधिक एन शून्य शामिल होंगे। इस प्रकार, हम एक विरोधाभास, अंतिम साक्ष्य प्राप्त करते हैं।

7. एक अनंत दशमलव अंश 0, 1 ए 2 दिया गया है .... साबित करें कि इसके दशमलव रिकॉर्ड में संख्याओं को पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि परिणामी अंश तर्कसंगत संख्या को व्यक्त कर सके।

याद रखें कि अंश उसमें एक तर्कसंगत संख्या व्यक्त करता है और केवल मामला जब आवधिक होता है, तो कुछ संकेत से शुरू होता है। 0 से 9 तक के आंकड़े हम दो वर्गों में विभाजित होते हैं: प्रथम श्रेणी में, हम उन संख्याओं को शामिल करेंगे जो मूल अंश में पाए जाते हैं। दूसरी कक्षा में समय की अंतिम संख्या - जो अनंत संख्या के मूल अंश में सामना करते हैं बार। हम एक आवधिक अंश लिखना शुरू करते हैं जिसे संख्याओं के प्रारंभिक क्रमपरिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है। सबसे पहले, शून्य और अल्पविराम के बाद, किसी भी क्रम में पहली कक्षा से सभी नंबरों को लिखें - मूल अंश की रिकॉर्डिंग में जितनी बार इसे पाया जाता है। रिकॉर्ड किए गए प्रथम श्रेणी अंक दशमलव अंश के आंशिक भाग में अवधि से पहले होंगे। इसके बाद, हम दूसरे वर्ग से संख्याओं को एक बार में लिखते हैं। यह संयोजन अवधि घोषित करेगा और अपने अनंत संख्या को दोहराएगा। इस प्रकार, हमने कुछ तर्कसंगत संख्या व्यक्त करने वाले वांछित आवधिक अंश को निर्वहन किया।

8. साबित करें कि प्रत्येक अनंत दशमलव अंश में मनमानी लंबाई के दशमलव संकेतों का एक अनुक्रम है, जो कि फ्रैसी के अपघटन में असीम रूप से कई बार होता है।

मी को मनमाने ढंग से निर्दिष्ट प्राकृतिक संख्या होने दें। हम प्रत्येक में एम संख्याओं पर सेगमेंट पर इस अनंत दशमलव अंश को तोड़ते हैं। असीम रूप से इनमें से कई खंड होंगे। दूसरी तरफ, एम संख्याओं से युक्त विभिन्न प्रणालियों में केवल 10 मीटर, यानी अंतिम संख्या मौजूद है। नतीजतन, इनमें से कम से कम एक सिस्टम को अनिश्चित काल तक कई बार दोहराया जाना चाहिए।

टिप्पणी। अपरिमेय संख्या के लिए √ 2, π या इ। हम यह भी नहीं जानते कि कौन से अंकों को अपने अनंत दशमलव अंशों का प्रतिनिधित्व करने में असीमित रूप से कई बार दोहराया जाता है, हालांकि इनमें से प्रत्येक संख्या, आसानी से साबित की जा सकती है, इसमें कम से कम दो अलग-अलग संख्याएं होती हैं।

9. समीकरण की सकारात्मक जड़ को प्राथमिक तरीके से साबित करें

तर्कहीन है।

एक्स\u003e 0 के लिए, समीकरण के बाएं हिस्से में बढ़ते एक्स के साथ बढ़ता है, और यह देखना आसान है कि एक्स \u003d 1.5 पर यह 10 से कम है, और x \u003d 1.6 पर - 10 से अधिक। इसलिए, केवल सकारात्मक जड़ समीकरण अंतराल के अंदर है (1.5; 1.6)।

हम रूट को एक असंतुलित अंश पी / क्यू के रूप में लिखते हैं, जहां पी और क्यू कुछ पारस्परिक रूप से सरल प्राकृतिक संख्याएं हैं। फिर x \u003d p / q पर समीकरण निम्न फ़ॉर्म ले जाएगा:

पी 5 + पीक्यू 4 \u003d 10 क्यू 5,

जहां से यह इस प्रकार है कि पी विभक्त 10 है, इसलिए, पी संख्या 1, 2, 5, 10 में से एक के बराबर है। हालांकि, अंक 1, 2, 5, 10 के साथ अंशों को निर्धारित करना, हम तुरंत ध्यान देते हैं कि उनमें से कोई भी नहीं अंतराल के अंदर गिरता है (1.5; 1.6)।

इसलिए, स्रोत समीकरण की सकारात्मक जड़ को सामान्य अंश के रूप में दर्शाया नहीं जा सकता है, जिसका अर्थ एक तर्कहीन संख्या है।

10. ए) क्या विमान पर ऐसे तीन बिंदु ए, बी और सी हों, जो किसी भी बिंदु के लिए कम से कम एक सेगमेंट एक्सए, एक्सबी और एक्ससी तर्कहीन की लंबाई के लिए?

बी) त्रिभुज के शिखर के निर्देशांक तर्कसंगत हैं। साबित करें कि इसके वर्णित सर्कल के केंद्र के समन्वय भी तर्कसंगत हैं।

सी) क्या ऐसा क्षेत्र है जिस पर वास्तव में एक तर्कसंगत बिंदु है? (तर्कसंगत बिंदु - एक बिंदु, जिसमें सभी तीन कार्टेशियन निर्देशांक हैं - तर्कसंगत संख्याएं।)

a) हाँ, मौजूद हैं। चलो ए एबी के बीच में हो। फिर xc 2 \u003d (2xa 2 + 2xb 2 - ab 2) / 2। यदि संख्या एबी 2 तर्कहीन रूप से है, तो एक्सए, एक्सबी और एक्ससी संख्याएं एक साथ तर्कसंगत नहीं हो सकती हैं।

बी) चलो (ए 1; बी 1), (ए 2; बी 2) और (ए 3; बी 3) - त्रिभुज के शिखर के निर्देशांक। इसके वर्णित सर्कल के केंद्र के निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली द्वारा निर्धारित किए गए हैं:

(एक्स - ए 1) 2 + (वाई - बी 1) 2 \u003d (एक्स - ए 2) 2 + (वाई - बी 2) 2,

(एक्स - ए 1) 2 + (वाई - बी 1) 2 \u003d (एक्स - ए 3) 2 + (वाई - बी 3) 2।

यह सत्यापित करना आसान है कि ये समीकरण रैखिक हैं, और इसलिए प्रश्न में समीकरणों की प्रणाली का समाधान तर्कसंगत रूप से है।

सी) इस तरह के एक क्षेत्र मौजूद है। उदाहरण के लिए, समीकरण के साथ क्षेत्र

(एक्स - √ 2) 2 + वाई 2 + जेड 2 \u003d 2।

निर्देशांक के साथ बिंदु ओ (0; 0; 0) - इस क्षेत्र पर तर्कसंगत बिंदु झूठ बोल रहा है। क्षेत्र के शेष बिंदु तर्कहीन हैं। हम इसे साबित करते हैं।

इसके विपरीत मान लें: (x; y; z) - क्षेत्र के तर्कसंगत बिंदु, बिंदु ओ से अलग। यह स्पष्ट है कि एक्स 0 से अलग है, क्योंकि x \u003d 0 पर एक एकल समाधान (0; 0; 0) कि अब हम इसमें रुचि नहीं रखते हैं। याद रखें ब्रैकेट और एक्सप्रेस √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

तर्कसंगत एक्स, वाई, जेड और अपरिमेय √ 2 के साथ क्या नहीं हो सकता है। तो, ओ (0; 0; 0) इस क्षेत्र में विचाराधीन एकमात्र तर्कसंगत बिंदु है।

समाधान के बिना कार्य

1. साबित करें कि संख्या

\\ [\\ Sqrt (10+ \\ sqrt (24) + \\ sqrt (40) + \\ sqrt (60)) \\]

तर्कहीन है।

2. किस अन्य एम और एन समानता का प्रदर्शन किया जाता है (5 + 3√ 2) एम \u003d (3 + 5√ 2) एन?

3. क्या कोई संख्या ए है ताकि संख्या ए √ 3 और 1 / ए + √ 3 पूर्णांक था?

4. संख्या 1, √ 2, 4 सदस्य हो सकते हैं (आवश्यक रूप से आसन्न नहीं) अंकगणितीय प्रगति?

5. साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक एन के साथ, समीकरण (x + o√ 3) 2n \u003d 1 + √ 3 में तर्कसंगत संख्या (x; y) में समाधान नहीं है।

तर्कहीन संख्या क्या है? उन्हें क्यों कहा जाता है? वे कहां इस्तेमाल करते हैं और वे क्या उपस्थित हैं? कुछ सवालों के जवाब देने के बिना कुछ हो सकते हैं। लेकिन वास्तव में, उनके उत्तर काफी सरल हैं, भले ही हर दुर्लभ स्थितियों में हर किसी की आवश्यकता न हो।

सार और पदनाम

तर्कहीन संख्याएं इस अवसर के कारण इस अवधारणा को पेश करने की अनंत गैर-आवधिक आवश्यक हैं कि नई समस्याओं को हल करने के लिए जो पहले से पहले वैध या वास्तविक, पूर्णांक, प्राकृतिक और तर्कसंगत संख्याओं की मौजूदा अवधारणाएं नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गणना करने के लिए, किस मूल्य का वर्ग 2 है, गैर-आवधिक अंतहीन दशमलव भिन्नताओं का उपयोग करना आवश्यक है। इसके अलावा, कई सरल समीकरणों में एक तर्कहीन संख्या की अवधारणा के परिचय के बिना कोई समाधान नहीं होता है।

यह सेट I के रूप में इंगित किया गया है। और, जैसा कि पहले से ही स्पष्ट है, इन मानों को एक साधारण अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जिसमें संख्यात्मक में एक पूर्णांक होगा, और denominator -

पहली बार या अन्यथा, वीआईआई शताब्दी में भारतीय गणितज्ञों को इस घटना का सामना करना पड़ा जब यह पाया गया कि कुछ मूल्यों से वर्ग की जड़ों को स्पष्ट रूप से संकेत नहीं दिया जा सकता है। और इस तरह के नंबरों के अस्तित्व के पहले प्रमाण को पाइथागोरियन हिप्पा के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है, जिसने इसे समान रूप से दृश्यमान आयताकार त्रिकोण का अध्ययन करने की प्रक्रिया में बनाया है। इस सेट के अध्ययन में एक गंभीर योगदान ने हमारे युग में रहने वाले कुछ और वैज्ञानिक लाए। तर्कहीन संख्याओं की अवधारणा की शुरूआत ने मौजूदा गणितीय प्रणाली के संशोधन को जन्म दिया, यही कारण है कि वे बहुत महत्वपूर्ण हैं।

नाम की उत्पत्ति

यदि लैटिन से अनुपात का अनुवाद - यह एक "अंश", "रवैया" है, तो उपसर्ग "आईएल"
इस शब्द को विपरीत मूल्य देता है। इस प्रकार, इन नंबरों के सेट का नाम बताता है कि उन्हें पूरे या आंशिक से सहसंबंधित नहीं किया जा सकता है, एक अलग जगह है। यह उनके सार से का तात्पर्य है।

सामान्य वर्गीकरण में रखें

तर्कसंगत संख्याओं के साथ तर्कहीन संख्या वास्तविक या मान्य के समूह को संदर्भित करती है, जो बदले में परिसर को संदर्भित करती है। हालांकि, कोई सबसेट नहीं हैं, हालांकि, वे बीजगणितीय और पारदर्शी विविधता को अलग करते हैं, जिन पर नीचे चर्चा की जाएगी।

गुण

चूंकि तर्कहीन संख्याएं मान्य के सेट का हिस्सा हैं, तो उनके सभी गुण उनके लिए लागू होते हैं, जिनका अध्ययन अंकगणित में किया जाता है (उन्हें प्रमुख बीजगणितीय कानून भी कहा जाता है)।

ए + बी \u003d बी + ए (कम्यूटेटिव);

(ए + बी) + सी \u003d ए + (बी + सी) (एसोसिएटिविटी);

ए + (-ए) \u003d 0 (विपरीत संख्या का अस्तित्व);

एबी \u003d बीए (आंदोलन अधिनियम);

(एबी) सी \u003d ए (बीसी) (वितरण);

ए (बी + सी) \u003d एबी + एसी (वितरण कानून);

एक x 1 / a \u003d 1 (रिवर्स संख्या का अस्तित्व);

तुलना सामान्य कानूनों और सिद्धांतों के अनुसार भी की जाती है:

यदि एक\u003e बी और बी\u003e सी, फिर एक\u003e सी (अनुपात की पारगमन) और। टी। घ।

बेशक, सभी तर्कहीन संख्याओं को मूल अंकगणितीय कार्रवाई का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है। कोई विशेष नियम नहीं हैं।

इसके अलावा, आर्किमिडीज एक्सिमार्ट्स की क्रिया तर्कहीन संख्याओं पर लागू होती है। यह कहता है कि किसी भी दो परिमाण ए और बी के लिए, दावा सच है कि, काफी समय के रूप में एक लेने के लिए, आप बी से अधिक हो सकते हैं।

का उपयोग करते हुए

इस तथ्य के बावजूद कि सामान्य जीवन में इसे अक्सर उनके साथ सामना नहीं किया जाता है, तर्कहीन संख्या बिल के लिए उपयुक्त नहीं हैं। उनका विशाल सेट, लेकिन वे व्यावहारिक रूप से अपरिहार्य हैं। हम हर जगह अपरिमेय संख्या के आसपास हैं। सभी से परिचित उदाहरण पीआई की संख्या, 3,1415 9 26 के बराबर हैं ..., या वास्तव में, वास्तव में, प्राकृतिक लॉगरिदम का आधार, 2,718281828 ... बीजगणित, त्रिकोणमिति और ज्यामिति में उन्हें स्थायी रूप से उपयोग करें। वैसे, "गोल्डन सेक्शन" का प्रसिद्ध मूल्य, यानी, दोनों को छोटे और विपरीत दोनों का अनुपात भी

इस सेट को संदर्भित करता है। कम प्रसिद्ध "चांदी" - भी।

संख्यात्मक प्रत्यक्ष पर, वे बहुत तंग होते हैं, ताकि तर्कसंगत सेट से संबंधित किसी भी दो मानों के बीच तर्कहीन हो।

अब तक, इस सेट से जुड़े कई अनसुलझे समस्याएं हैं। तर्कसंगतता और संख्या की सामान्यता जैसे मानदंड हैं। गणित किसी विशेष समूह से संबंधित सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों का पता लगाना जारी रखता है। उदाहरण के लिए, ऐसा माना जाता है कि ई एक सामान्य संख्या है, यानी, इसकी रिकॉर्डिंग में विभिन्न संख्याओं की संभावना समान है। पीआई के लिए, अध्ययन अभी भी आयोजित किया जा रहा है। तर्कहीनता के माप को यह दर्शाता है कि एक या दूसरा कितना अच्छा तर्कसंगत संख्या हो सकता है।

बीजगणितीय और अनुवांशिक

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, तर्कहीन संख्याएं सशर्त रूप से बीजगणितीय और अनुवांशिक में विभाजित हैं। सख्ती से, सख्ती से बोलते हुए, इस वर्गीकरण का उपयोग सेट सी को विभाजित करने के लिए किया जाता है।

इस पदनाम के तहत, जटिल संख्या छिपी हुई हैं, जिनमें वैध या वास्तविक शामिल हैं।

इसलिए, बीजगणित को ऐसे मूल्य कहा जाता है जो बहुपद की जड़ है, शून्य के बराबर नहीं। उदाहरण के लिए, 2 का वर्ग रूट इस श्रेणी का उल्लेख करेगा, क्योंकि यह समीकरण x 2 - 2 \u003d 0 का समाधान है।

फिर भी, शेष वास्तविक संख्याएं जो इस स्थिति को संतुष्ट नहीं करती हैं उन्हें पारदर्शी कहा जाता है। इस प्रजाति में सबसे प्रसिद्ध और पहले से उल्लेखित उदाहरण शामिल हैं - पीआई की संख्या और प्राकृतिक लॉगरिदम ई का आधार।

दिलचस्प क्या है, न ही दूसरा मूल रूप से गणितज्ञों द्वारा इस क्षमता में पैदा हुआ था, उनकी तर्कहीनता और उत्थान उनकी खोज के कई सालों साबित हुए थे। पीआई प्रमाण के लिए, यह 1882 में दिखाया गया था और 18 9 4 में सरलीकृत किया गया था, जिसने सर्कल वर्गों की चुनौती के विवादों को समाप्त कर दिया, जो 2.5 हजार साल तक चलता रहा। यह अभी भी अंत तक अध्ययन नहीं किया गया है, इसलिए क्या काम करने के लिए आधुनिक गणितज्ञ हैं। वैसे, इस मूल्य की पहली सटीक गणना आर्किमिडीज द्वारा की गई थी। उसके सामने, सभी गणना बहुत अनुमानित थीं।

ई (यूलर या एनईएफई की संख्या) के लिए, 1873 में इसकी अनुवांशिकता का प्रमाण पाया गया था। इसका उपयोग लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने में किया जाता है।

अन्य उदाहरण किसी भी बीजगणित गैर-शून्य मानों के लिए साइनस, कोसाइन और टेंगेंट के मूल्य हैं।

अपरिमेय संख्या - यह है कुल गणनाजो तर्कसंगत नहीं है, यानी, एक अंश के रूप में प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, जहां - पूर्णांक ,. अपरिमेय संख्या को अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

कई अपरिमेय संख्या आमतौर पर बिना भरने के बोल्ड-अप सिलाई में शीर्षक लैटिन पत्र द्वारा दर्शायी जाती हैं। इस प्रकार :, यानी। कई तर्कहीन संख्याएँ हैं वास्तविक और तर्कसंगत संख्या के सेट का अंतर।

अपरिमेय संख्या के अस्तित्व पर, अधिक सटीक रूप से कटौती जो एक लंबाई के एक सेगमेंट के साथ असामान्य हैं, पहले से ही प्राचीन गणितज्ञों को जानते थे: उदाहरण के लिए, अपूर्ण विकर्ण और वर्ग के पक्ष, जो संख्या की तर्कहीनता के बराबर है।

गुण

• किसी भी वास्तविक संख्या को अनंत दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है, जबकि तर्कहीन संख्याएं और केवल वे गैर-आवधिक अनंत दशमलव भिन्नताओं द्वारा दर्ज की जाती हैं।
• तर्कहीन संख्याएं तर्कसंगत संख्याओं के एक सेट में अनुभाग के कटौती का निर्धारण करती हैं, जो निम्न वर्ग में कोई सबसे बड़ी नहीं होती है, और ऊपरी में कोई छोटी संख्या नहीं होती है।
• प्रत्येक वास्तविक अनुवांशिक संख्या तर्कहीन है।
• प्रत्येक तर्कहीन संख्या या तो बीजगणितीय या अनुवांशिक है।
• एक संख्यात्मक प्रत्यक्ष पर हर जगह कई तर्कहीन संख्याएं: किसी भी दो संख्याओं के बीच एक तर्कहीन संख्या है।
• तर्कहीन संख्याओं के सेट पर आदेश वास्तविक अनुवांशिक संख्याओं के सेट के बारे में आइसोमोर्फिक है।
• कई तर्कहीन संख्या अनावश्यक हैं, दूसरी श्रेणी की एक भीड़ है।

उदाहरण

अपरिमेय संख्या - ζ (3) - √2 - √3 - √5 - - - - - - -

तर्कहीन हैं:

तर्कहीनता के साक्ष्य के उदाहरण

2 से जड़।

मान लीजिए कि विपरीत: तर्कसंगत, यानी, यह एक अस्थिर अंश के रूप में दर्शाया गया है, जहां एक पूर्णांक है, लेकिन एक प्राकृतिक संख्या है। वर्ग में अनुमानित समानता का निर्माण किया:

.

यहां से यह स्पष्ट रूप से क्या है, इसका मतलब यह है कि और। पूरा होने दो। फिर

नतीजतन, इसका मतलब है कि यह भी है। हमें मिल गया कि वे काले हैं, जो अंश की असंगतता का खंडन करते हैं। इसका मतलब है कि प्रारंभिक धारणा गलत थी, और यह एक तर्कहीन संख्या है।

बाइनरी लॉगरिदम संख्या 3

मान लीजिए कि विपरीत: तर्कसंगत, यानी, यह एक अंश के रूप में लगता है, जहां और पूर्णांक। चूंकि, और सकारात्मक चुना जा सकता है। फिर

लेकिन यहां तक \u200b\u200bकि, और विषम में। हमें एक विरोधाभास मिलता है।

इ।

इतिहास

तर्कहीन संख्याओं की अवधारणा को आठवीं शताब्दी ईसा पूर्व में भारतीय गणितज्ञों द्वारा स्पष्ट रूप से माना जाता था, जब मानवा (लगभग 750 ईसा पूर्व। ई। - ठीक। 690 ईसा पूर्व) यह पता चला कि कुछ प्राकृतिक संख्याओं की वर्ग जड़ों, जैसे कि 2 और 61, व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

तर्कहीन संख्याओं के अस्तित्व का पहला सबूत आमतौर पर मेटापोंट (लगभग 500 ग्राम ईसी), पायथागोरियन, पाइथागोरियन से हाइपोस्पेस के लिए जिम्मेदार होता है, जिसने इस प्रमाण को पाया, पेंटाग्राम के किनारों की लंबाई का अध्ययन किया। पाइथागोरियन के समय, ऐसा माना जाता था कि लंबाई की एक लंबाई, पर्याप्त रूप से छोटी और अविभाज्य है, जो किसी भी सेगमेंट में एक पूर्णांक है। हालांकि, हिप्पस ने प्रमाणित किया कि लंबाई की कोई लंबाई नहीं है, क्योंकि इसके अस्तित्व की धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है। यह दिखाया गया कि यदि एक समान आयताकार त्रिभुज के hypotenuze में एकल खंडों की एक पूर्णांक इकाई है, तो यह संख्या भी और विषम होनी चाहिए। सबूत इस प्रकार दिखे:

• एक समान आयताकार त्रिभुज के अनुपात की लंबाई तक hypotenuses की लंबाई का अनुपात व्यक्त किया जा सकता है ए।:बीकहां है ए। तथा बी सबसे छोटा संभव चुना।
• पायथागोर के प्रमेय के अनुसार: ए।² \u003d 2। बी².
• जैसा ए।² भी ए। यह भी होना चाहिए (चूंकि एक विषम संख्या का वर्ग विषम होगा)।
• जहां तक \u200b\u200bकि ए।:बी अस्थिर बी अजीब होना चाहिए।
• जैसा ए। यहां तक \u200b\u200bकि, दर्शाया गया ए। = 2वाई.
• फिर ए।² \u003d 4। वाई² \u003d 2। बी².
• बी² \u003d 2। वाई², इसलिए बी² फिर भी, फिर और बी यहाँ तक की।
• हालांकि, यह साबित हुआ था बी विषम। अंतर्विरोध।

ग्रीक गणित को इस अनुपात को असामान्य मूल्यों का नाम कहा जाता है alogos। (अतिसंवेदनशील), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार हिप्पसस उचित सम्मान नहीं दिया। एक किंवदंती है कि हिप्पस ने समुद्र की वृद्धि में एक खोज की, और ब्रह्मांड के एक तत्व के निर्माण के लिए अन्य पायथागोरियन के साथ ओवरबोर्ड फेंक दिया, जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी इकाइयों को पूर्णांक संख्या में कम किया जा सकता है और उनके रिश्ते। " हिप्पा के उद्घाटन ने पाइथागोरियन गणित के सामने एक गंभीर समस्या प्रदान की है, इस धारणा को नष्ट कर दिया है जो आधार पर गिर गया है कि संख्याएं और ज्यामितीय वस्तुएं एकजुट और अविभाज्य हैं।

इससे पहले, हमने पहले ही दिखाया है कि $ 1 \\ frac25 $ $ \\ SQRT2 $ के करीब है। यदि यह बिल्कुल $ \\ SQRT2 $ था ,. फिर अनुपात $ \\ frac (1 \\ frac25) (1) $ है, जिसे पूर्णांक $ \\ FRAC75 $ के अनुपात में बदल दिया जा सकता है, जो 5 पर अंश के ऊपरी और निचले हिस्सों को गुणा करता है, और यह एक वांछित मूल्य होगा ।

लेकिन, दुर्भाग्य से, $ 1 \\ frac25 $ $ \\ SQRT2 $ का सटीक मान नहीं है। अधिक सटीक उत्तर $ 1 \\ frac (41) (100) $ है, हमें $ \\ frac (141) (100) $ का अनुपात देता है। जब हम $ 1 \\ sqrt2 $ 1 \\ frac (207) (500) $ तक $ \\ sqrt2 $ के बराबर होते हैं तो हम भी अधिक सटीकता प्राप्त करते हैं। इस मामले में, पूर्णांक में अनुपात $ \\ FRAC (707) (500) $ के बराबर होगा। लेकिन दोनों $ 1 \\ frac (207) (500) $ 2. से वर्ग की जड़ का सटीक मूल्य नहीं है। ग्रीक गणितज्ञों ने $ \\ SQRT2 $ के सटीक मूल्य की गणना करने के लिए बहुत समय और प्रयास किया, लेकिन यह नहीं था संभव के। वे पूर्णांक के अनुपात के रूप में $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) $ के अनुपात का प्रतिनिधित्व नहीं कर सके।

अंत में, ग्रेट यूनानी गणितज्ञ यूक्लाइड ने साबित किया कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणना की सटीकता कैसे बढ़ जाती है, $ \\ SQRT2 $ का सटीक मूल्य प्राप्त करना असंभव है। ऐसा कोई अंश नहीं है, जो कि वर्ग में ऊंचा हो रहा है, परिणामस्वरूप देगा। 2. वे कहते हैं कि पाइथागोरास इस निष्कर्ष पर पहुंचे, लेकिन इस अकल्पनीय तथ्य ने वैज्ञानिक को मारा कि उसने खुद को शपथ ली और इसे रखने के लिए शपथ ली गुप्त में खोलना। हालांकि, शायद यह जानकारी वास्तविकता के अनुरूप नहीं है।

लेकिन यदि संख्या $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) $ को पूर्णांक के अनुपात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, तो नहीं, $ \\ sqrt2 $ युक्त, उदाहरण के लिए $ \\ frac (\\ sqrt2) (2) $ या $ \\ frac (4) (\\ SQRT2) $ को पूर्णांक के अनुपात के रूप में भी दर्शाया जा सकता है, क्योंकि ऐसे सभी अंशों को $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) $ को कुछ संख्या से गुणा किया जा सकता है। इस प्रकार $ \\ frac (\\ sqrt2) (2) \u003d \\ frac (\\ sqrt2) (1) \\ Tales \\ Frac12 $। या $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) \\ Times 2 \u003d 2 \\ frac (1) $, जिसे परिवर्तित किया जा सकता है, $ \\ sqrt2 $ पर ऊपरी और निचले हिस्सों को गुणा कर सकता है, और $ \\ frac प्राप्त करें ( 4) (\\ SQRT2) $। (हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि $ \\ SQRT2 $ की संख्या क्या है, अगर हम इसे $ \\ sqrt2 $ पर गुणा करते हैं, तो हमें 2 मिलते हैं।)

चूंकि संख्या $ \\ SQRT2 $ पूर्णांक के अनुपात के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, इसलिए इसे एक नाम मिला अपरिमेय संख्या। दूसरी ओर, पूर्णांक के अनुपात के रूप में प्रतिनिधित्व किए जा सकने वाले सभी संख्याओं को बुलाया जाता है युक्तिसंगत.

अन्य सभी और आंशिक संख्याएं सकारात्मक और नकारात्मक दोनों तर्कसंगत हैं।

जैसा कि यह निकला, अधिकांश वर्ग की जड़ें तर्कहीन संख्याएं हैं। तर्कसंगत वर्ग जड़ों केवल संख्याओं में शामिल संख्या में हैं। इन नंबरों को भी सही वर्ग कहा जाता है। तर्कसंगत संख्या भी इन आदर्श वर्गों से बने अंशांकन हैं। उदाहरण के लिए, $ \\ sqrt (1 \\ frac79) $ एक तर्कसंगत संख्या है, क्योंकि $ \\ sqrt (1 \\ frac79) \u003d \\ frac (\\ sqrt16) (\\ sqrt9) \u003d \\ frac43 $ या $ 1 \\ frac13 $ (4 है 16 से रूट स्क्वायर, और 3 - 9 में से स्क्वायर रूट)।